十字相乘法和分組分解法課件

新人教版·數(shù)學(xué)·八年級(上)第4課時十字相乘法和分組分解法15.3因式分解新人教版·數(shù)學(xué)·八年級(上)第4課時15.3利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法．用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式分解因式：當(dāng)q>0時，q分解的因數(shù)a、b（）當(dāng)q<0時，q分解的因數(shù)a、b（）同號異號知識要點(diǎn)q=ab，p=a+b利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx=(a+b)x(x+a)(x+b)步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)；②交叉相乘，和相加；③檢驗(yàn)確定，橫寫因式．順口溜：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫因式不能亂．x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x+12=4．x2-4x-12=(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)5．x2+13x+12=(x+1)(x+12)6．x2-x-12=(x-4)(x+3)將下列各式因式分解：1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x對二次三項(xiàng)式x2+px+q進(jìn)行因式分解，應(yīng)重點(diǎn)掌握以下三個問題：1．掌握方法：拆分常數(shù)項(xiàng)，驗(yàn)證一次項(xiàng)．

2．符號規(guī)律：當(dāng)q>0時，a、b同號，且a、b的符號與p的符號相同；當(dāng)q<0時，a、b異號，且絕對值較大的因數(shù)與p的符號相同．3．書寫格式：豎分橫積．注意對二次三項(xiàng)式x2+px+q進(jìn)行因式分解，應(yīng)重點(diǎn)掌握以下三知識要點(diǎn)分組分解法分解因式：如果一個多項(xiàng)式適當(dāng)分組，使分組后各組之間有公因式或可應(yīng)用公式，那么這個多項(xiàng)式就可以用分組的方法分解因式。

知識要點(diǎn)分組分解法分解因式：如果一個多項(xiàng)式適mx+my-nx-ny①②③④①②，③④兩組，得（mx+my）-（nx+ny）解1：原式=（mx+my）-（nx+ny）=m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)①③，②④兩組，得（mx-nx）+(my-ny)解2：原式=（mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)=(m-n)(x+y)練一練mx+my-nx-ny①②③④①②，③④兩組，得（mx+my（1）分組時小組內(nèi)能提公因式要保證組與組之間還有公因式可以提．（2）分組添括號時要注意符號的變化．（3）要將分解到底，不同分組的結(jié)果應(yīng)該是一樣的．注意（1）分組時小組內(nèi)能提公因式要保證組與組（2）分組添括號時要把下列各式因式分解：練一練（1）x2+2xy+y2-z2（2）ab+a+b+1解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2=(x+y)2-z2=(x+y+z)(x+y-z)（2）原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)把下列各式因式分解：練一練（1）x2+2xy+y2-z2（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=9a4-(4a2-4a+1)

=9a4-(2a-1)2

=(3a2+2a-1)(3a2-2a+1)=(a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24=(x2+x-2)(x2+x-12)+24=(x2+x)2-14(x2+x)+48=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x+3)(x-2)(x2+x-8)（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=（2007年株洲市）分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10解：令x4+x2=m，則原式可化為

(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)（2007年株洲市）解：令x4+x2=m，則原式可化為如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．原式=a3+a2b-(2b3+2ab2

)=a2(a+b)-2b2(a+b)=(a+b)(a2-2b2

)練一練=0如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=（2x2+1）2-（2x）2=（2x2+1+2x）（2x2+1-2x）因式分解：4x4+1解：4x4+1因式分解：4x4+1因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時，整理、化簡常將幾個同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對某些多項(xiàng)式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．注意因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)新人教版·數(shù)學(xué)·八年級(上)第4課時十字相乘法和分組分解法15.3因式分解新人教版·數(shù)學(xué)·八年級(上)第4課時15.3利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法．用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式分解因式：當(dāng)q>0時，q分解的因數(shù)a、b（）當(dāng)q<0時，q分解的因數(shù)a、b（）同號異號知識要點(diǎn)q=ab，p=a+b利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx=(a+b)x(x+a)(x+b)步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)；②交叉相乘，和相加；③檢驗(yàn)確定，橫寫因式．順口溜：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫因式不能亂．x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x+12=4．x2-4x-12=(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)5．x2+13x+12=(x+1)(x+12)6．x2-x-12=(x-4)(x+3)將下列各式因式分解：1．x2+8x+12=2．x2-11x-12=3．x2-7x對二次三項(xiàng)式x2+px+q進(jìn)行因式分解，應(yīng)重點(diǎn)掌握以下三個問題：1．掌握方法：拆分常數(shù)項(xiàng)，驗(yàn)證一次項(xiàng)．

2．符號規(guī)律：當(dāng)q>0時，a、b同號，且a、b的符號與p的符號相同；當(dāng)q<0時，a、b異號，且絕對值較大的因數(shù)與p的符號相同．3．書寫格式：豎分橫積．注意對二次三項(xiàng)式x2+px+q進(jìn)行因式分解，應(yīng)重點(diǎn)掌握以下三知識要點(diǎn)分組分解法分解因式：如果一個多項(xiàng)式適當(dāng)分組，使分組后各組之間有公因式或可應(yīng)用公式，那么這個多項(xiàng)式就可以用分組的方法分解因式。

知識要點(diǎn)分組分解法分解因式：如果一個多項(xiàng)式適mx+my-nx-ny①②③④①②，③④兩組，得（mx+my）-（nx+ny）解1：原式=（mx+my）-（nx+ny）=m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)①③，②④兩組，得（mx-nx）+(my-ny)解2：原式=（mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)=(m-n)(x+y)練一練mx+my-nx-ny①②③④①②，③④兩組，得（mx+my（1）分組時小組內(nèi)能提公因式要保證組與組之間還有公因式可以提．（2）分組添括號時要注意符號的變化．（3）要將分解到底，不同分組的結(jié)果應(yīng)該是一樣的．注意（1）分組時小組內(nèi)能提公因式要保證組與組（2）分組添括號時要把下列各式因式分解：練一練（1）x2+2xy+y2-z2（2）ab+a+b+1解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2=(x+y)2-z2=(x+y+z)(x+y-z)（2）原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)把下列各式因式分解：練一練（1）x2+2xy+y2-z2（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=9a4-(4a2-4a+1)

=9a4-(2a-1)2

=(3a2+2a-1)(3a2-2a+1)=(a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24=(x2+x-2)(x2+x-12)+24=(x2+x)2-14(x2+x)+48=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x+3)(x-2)(x2+x-8)（3）9a4-4a2+4a-1解：9a4-4a2+4a-1=（2007年株洲市）分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10解：令x4+x2=m，則原式可化為

(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)（2007年株洲市）解：令x4+x2=m，則原式可化為如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．原式=a3+a2b-(2b3+2ab2

)=a2(a+b)-2b2(a+b)=(a+b)(a2-2b2

)練一練=0如果a+b=0，求a3–2b3+a2b–2ab2的值．解：4x4+1=4x4+4x2+1-4x2=（2x2+1）2-（2x）2