穩(wěn)恒磁場一章習(xí)題解答

..穩(wěn)恒磁場一章習(xí)題解答習(xí)題9—1無限長載流空心圓柱導(dǎo)體的內(nèi)外半徑分別為a、b,電流在導(dǎo)體截面上均勻分布,則空間各處的的大小與場點到圓柱中心軸線的距離r的關(guān)系定性地如圖所示。正確的圖是：[]rrBOab<A><B>BabrOBrOab<C>BOrab<D>習(xí)題9―1圖解：根據(jù)安培環(huán)路定理,容易求得無限長載流空心圓柱導(dǎo)體的內(nèi)外的磁感應(yīng)強度分布為所以,應(yīng)該選擇答案<B>。–XY+qm習(xí)題9―2圖習(xí)題9—2如圖,一個電量為+q、質(zhì)量為m的質(zhì)點,以速度沿X–XY+qm習(xí)題9―2圖<A>。<B>。<C>。<D>。解：依右手螺旋法則,帶電質(zhì)點進入磁場后將在x>0和y>0區(qū)間以勻速v經(jīng)一個半圓周而從磁場出來,其圓周運動的半徑為因此,它從磁場出來點的坐標(biāo)為x=0和,故應(yīng)選擇答案<B>。QIaPIaaaa2aIIO習(xí)題9―QIaPIaaaa2aIIO習(xí)題9―3圖<A>。<B>。<C>。<D>說明：本題得通過計算才能選出正確答案。對P點,其磁感應(yīng)強度的大小對Q點,其磁感應(yīng)強度的大小對O點,其磁感應(yīng)強度的大小顯然有,所以選擇答案<D>。［注：對一段直電流的磁感應(yīng)強度公式應(yīng)當(dāng)熟練掌握。］I1I2轉(zhuǎn)動方向AB題解9―4圖習(xí)題9—4如圖所示,一固定的載流大平板,在其附近有一載流小線框能自由轉(zhuǎn)動或平動,線框平面與大平板垂直,大平板的電流與線框中的電流方向如圖所示,則通電線框的運動情況從大平板向外看是：［］<A>順時針轉(zhuǎn)動<B>靠近大平板AB<C>逆時針轉(zhuǎn)動<D>離開大平板向外運動解：根據(jù)大平板的電流方向可以判斷其右側(cè)磁感應(yīng)強度的方向平行于大平板、且垂直于I1；小線框的磁矩方向向上,如圖所示。由公式可以判斷小線框受該力矩作用的轉(zhuǎn)動方向如圖所示,因此應(yīng)該選擇答案<C>。習(xí)題9—5哪一幅曲線圖能確切描述載流圓線圈在其軸線上任意點所產(chǎn)生的B隨x的變化關(guān)系?<X坐標(biāo)軸垂直于圓線圈平面,圓點在圓線圈中心O>［］線圈的軸線圈的軸電流OXBXO<A>XBO<B>XBO<C>XBO<D>XBO<E>習(xí)題9―5圖解：由載流圓線圈<N匝>軸線上的磁感應(yīng)強度公式可以判斷只有曲線圖<C>是正確的。XXYZIOIP習(xí)題9―6圖習(xí)題9—6兩根無限長直導(dǎo)線互相垂直地放著,相距d=2.0×102m,其中一根導(dǎo)線與Z軸重合,另一根導(dǎo)線與X軸平行且在XOY平面內(nèi)。設(shè)兩導(dǎo)線中皆通過I=10A的電流,則在Y軸上離兩根導(dǎo)線等距的點P處的磁感應(yīng)強度的大小為B=。解：依題給坐標(biāo)系,與Z軸重合的一根導(dǎo)線單獨在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為同理,另一根與X軸平行的導(dǎo)線單獨在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為由疊加原理,P點處的磁感應(yīng)強度的大小為XYaPlAB習(xí)題9―7圖習(xí)題9—XYaPlAB習(xí)題9―7圖<1>中點<P點>的磁感應(yīng)強度=。<2>磁感應(yīng)強度沿圖中環(huán)路l的線積分＝。解：<1>A、B兩載流導(dǎo)線在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度等大而反向,疊加的結(jié)果使P點最終的磁感應(yīng)強度為零,因此,。<2>根據(jù)安培環(huán)路定理容易判斷,磁感應(yīng)強度沿圖中環(huán)路l的線積分等于－I。習(xí)題9—8如圖,半圓形線圈<半徑為R>通有電流I,線圈處在與線圈平面平行向右的均勻磁場中。則線圈所受磁力矩的大小為,方向為。把線圈繞轉(zhuǎn)過角度時,磁力矩恰為零。IRO習(xí)題9―8圖因而線圈所受磁力矩的大小為根據(jù)磁力矩公式可以判斷出磁力矩的方向向上。容易知道,當(dāng),k=0,±1,±2,……時,磁力矩恰為零,這等價于把線圈繞轉(zhuǎn)過,k=0,1,2,3,……。SR60°任意曲面習(xí)題9―9圖習(xí)題9SR60°任意曲面習(xí)題9―9圖。解：通過圓面的磁通量根據(jù)磁場的高斯定理,通過整個閉合曲面的磁通量等于零,即所以習(xí)題9—10如圖所示,均勻電場沿X軸正方向,均勻磁場沿Z軸正方向,今有一電子在YOZ平面沿著與Y軸正方向成135°角的方向以恒定速度運動,則電場和磁場在數(shù)值上應(yīng)滿足的關(guān)系是。135°135°XYZO習(xí)題9―10圖即∴aa2aIS1S2習(xí)題9―11圖aa2aIS1S2習(xí)題9―11圖XxdxhO解：建立如圖所示的坐標(biāo)軸OX軸,并在矩形回路內(nèi)距長直導(dǎo)線x處取寬為dx的窄條面元dS=hdx〔圖中帶陰影的面積,則通過該面元的元磁通為所以,通過回路S1的磁通量為通過回路S2的磁通量為故,IIIabcc習(xí)題9―12圖習(xí)題9—12兩根長直導(dǎo)線通頭電流I,如圖所示有三種環(huán)路,在每種情況下,等于：<對環(huán)路a><對環(huán)路b><對環(huán)路c>解：根據(jù)安培環(huán)路定理,容易得到：對環(huán)路a,等于；對環(huán)路b,等于0；對環(huán)路c,等于2。習(xí)題9—13如圖所示,在真空中有一半圓形閉合線圈,半徑為a,流過的穩(wěn)恒電流為I,則圓心O處的電流元所受的安培力的大小為,方向為。OaI習(xí)題9―OaI習(xí)題9―13圖的方向垂直于圖面向內(nèi)。根據(jù)安培力公式可知圓心O處的電流元所受的安培力的大小為力的方向垂直于電流元向左。SROIOl習(xí)題9―14圖習(xí)題9—14一根半徑為R的長直導(dǎo)線均勻載有電流I,作一寬為R、長為l的假想平面SSROIOl習(xí)題9―14圖解：見圖示,設(shè)假想平面S靠近軸線的一邊到軸線的距離為a,易知長直導(dǎo)線內(nèi)外的磁場分布為rdrxlIrdrxlIO題解9―14圖RS<>在假想平面S內(nèi)、距軸為r處,沿導(dǎo)線直徑方向取一寬度為dr的窄條面元,通過它的元磁通為通過假想平面S的磁通量為由最值條件,令即解得<其負根已舍去>RXOθdlRXOθdl題解9―15圖解：如圖所示,取一直徑方向為OX軸。并沿電流方向在球面上取一寬度為dl的球帶,該球帶可以看成載流圓環(huán),其載有的電流為dI=Kdl=,其在球心O處產(chǎn)生的元磁場為該元場的方向沿X軸的正方向。球面上所有電流在O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為場的方向沿X軸的正方向。ω習(xí)題9―16圖rRω習(xí)題9―16圖rRO均勻帶正電荷,面電荷密度為,其余部分均勻帶負電荷,面電荷密度為,當(dāng)圓盤以角速度旋轉(zhuǎn)時,測得圓盤中心O點的磁感應(yīng)強度為零,問R與r滿足什么關(guān)系?解：取與圓盤同心、半徑為r、寬度為dr的圓環(huán),其帶量電量為其等效的圓電流為其在中心O處產(chǎn)生的元場強為因此,中心O點的磁感應(yīng)強度為令該磁感應(yīng)強度為零可得習(xí)題9—17如圖,有一密繞平面螺旋線圈,其上通有電流I,總匝數(shù)為N,它被限制在半徑為R1和R2的兩個圓周之間。求此螺旋線中心O處的磁感應(yīng)強度。R1R2OI習(xí)題9―17圖解：以O(shè)點為圓心、以r為半徑,在線圈平面內(nèi)取寬度為dr的圓環(huán)面積,在此環(huán)面積內(nèi)含有dNR1R2OI習(xí)題9―17圖O點最終的磁感應(yīng)強度為該磁感應(yīng)強度的方向垂直于圖面向外。XxabcdjOXxabcdjO題解9―18圖解：如圖所示,在垂直于電流密度方向取一矩形回路abcda,其繞行方向與電流密度方向成右手螺旋關(guān)系。對此環(huán)路應(yīng)用安培環(huán)路定理在平板內(nèi)部有所以在平板外部有所以ABOab習(xí)題9―19圖習(xí)題9—19均勻帶電剛性細桿AB,電荷線密度為,繞垂直于直線的軸O以角速度勻速轉(zhuǎn)動<O點在細桿AB的延長線上>,求：<1>O點的磁感應(yīng)強度；<2>磁矩ABOab習(xí)題9―19圖解：<1>在桿上距軸O為r處取線元dr,其帶電量為,該線元相當(dāng)于運動的點電荷,其在O處產(chǎn)生的元磁場大小為元磁場的方向垂直于紙面向里。由于桿上各線元的元磁場的方向均一致,所以求O點的總場可直接對上述元場積分即可的方向垂直于紙面向里。［求O點磁場還可以用等效電流法作：在桿上距軸O為r處取線元dr,其帶電量為,該線元相當(dāng)于運動的點電荷,它作圓周運動的等效環(huán)電流為其在O處產(chǎn)生的元磁場大小為元磁場的方向垂直于紙面向里。對上述元場積分可得O點最終的場的方向垂直于紙面向里。與前邊作法得到的結(jié)果相同。］<2>線元dr的等效環(huán)電流為其元磁矩大小為元磁矩的方向垂直于紙面向里。帶電細桿的總磁矩大小為總磁矩的方向垂直于紙面向里。<3>當(dāng)a>>b時,帶電細桿相當(dāng)于點電荷。因此習(xí)題9—20一線圈的半徑為R,載有電流I,置于均勻外磁場中<如圖示>,在不考慮載流圓線圈本身所激發(fā)的磁場的情況下,求線圈導(dǎo)線上的張力。<已知載流圓線圈的法線方向與的方向相同。>RIRIO習(xí)題9―20圖RO題解9―20圖解：設(shè)想該載流圓線圈被截成相等的兩半,如圖所示,我們?nèi)∑渲械囊话?lt;比如右一半>并分析它的受力情況：安培力作用于中點、方向向右,上、下端點受到的張力均水平向左。由于該半線圈處于力學(xué)平衡狀態(tài),因此有即解得［在本題求解中,一是要搞清圓線圈中的"張力"的概念,二是須明確"閉合電流在均勻磁場中所受的合磁力等于零"這一結(jié)論。下一道習(xí)題我們將證明這個結(jié)論。］習(xí)題9—21試證明任一閉合載流平面線圈在均勻磁場中所受的合磁力恒等于零。證明：由安培力公式,線圈任一線元所受到的磁場力為II題解9―21圖則整個閉合載流平面線圈在均勻磁場中所受的合磁力應(yīng)該為證畢。［注意：這里的環(huán)積分,是考慮了矢量合成的多邊形法則的結(jié)果。］習(xí)題9—22有一"無限大"平面導(dǎo)體薄板,自上而下均勻通有電流,已知其電流密度為i<即單位寬度上通有的電流強度>。<1>試求板外空間任一點磁感應(yīng)強度的大小和方向；<2>有一質(zhì)量為m,帶正電量為q的粒子,以速度v沿平板法線方向向外運動<如圖>,求：<a>帶電粒子最初至少在距板什么位置處才不會與大平板碰撞？<b>須經(jīng)多長時間,才能回到初始位置<不計粒子重力>？習(xí)題9―22圖在垂直于電流流向的平面內(nèi)取一矩形環(huán)路abcda,如圖所示,環(huán)路的ab邊與cd邊都與平板平行且等距并居于平板左、右兩側(cè),bc邊和da邊都與平板垂直。對此環(huán)路應(yīng)用安培環(huán)路定理得即上式左端第二項和第四項由于與處處垂直,因而都等于零,因此有所以對題給圖示,平板左、右兩側(cè)的磁場都是均勻的,大小都等于,只不過方向相反：板右側(cè)場垂直于紙面向里,板左側(cè)場垂直于紙面向外。帶電粒子將在豎直平面內(nèi)作圓周運動,其圓周運動的半徑為可見,欲使粒子不與平板相碰撞,粒子最初至少在距板為R的位置處。粒子從開始運動到回到原處所需的最短時間剛好是一個周期,即R習(xí)題9―23圖習(xí)題9—23半徑為R的圓盤帶有正電荷,其電荷面密度,k是常數(shù),r為圓盤上一點到圓心的距離,圓盤放在一均勻磁場中,其法線方向與垂直。當(dāng)圓盤以角速度R習(xí)題9―23圖解：在圓盤上取半徑為r、寬度為dr的細圓環(huán),環(huán)面積為,環(huán)的帶電量為。其等效環(huán)電流為其元磁矩大小為的方向垂直于紙面向外。整個轉(zhuǎn)動圓盤的磁矩為的方向垂直于紙面向外。根據(jù)線圈在磁場中所受磁力矩公式可得圓盤所受磁力矩的大小為的方向垂直于向上。習(xí)題9—24如圖所示,載有電流I1和I2的長直導(dǎo)線ab和cd相互平行,相距為3r,今有載有電流I3的導(dǎo)線MN=r水平放置,且其兩端M、N分別與I1、I2的距離都是r,ab、cd和MN共面,求導(dǎo)線MN所受的磁力大小和方向。解：建立圖示坐標(biāo)系,在I1和I2之間任一點x處的磁感應(yīng)強度<暫設(shè)垂直于紙面向里為正>為MNI3xx+dxX題解9―24圖abcdI1I2MNI3rrr習(xí)題9―24圖MN上電流元受到的力為,方向"↑"整個MN受到的力的大小為,方向"↑"討論：若,則方向向上；反之,若,則方向向下。3rrr/2P﹣eO習(xí)題9―25圖習(xí)題9—25空氣中有一半徑為r的無限長直圓柱金屬導(dǎo)體,豎直線為其中心軸線,在圓柱體內(nèi)挖一個直徑為r/2的圓柱空洞,空洞側(cè)面與相切,在未挖洞部分通以均勻分布的電流I3rrr/2P﹣eO習(xí)題9―25圖分析：此題所給的載流圓柱體的內(nèi)部被挖去一洞,屬于"破缺型"問題,仿照靜電學(xué)中的類似問題采用的"反號電荷補償法",這里我們采用"反向電流補償法"進行處理。設(shè)想在空洞位置是一電流密度與未挖部分的電流密度相等而流向相反的電流,這樣原來的載流體系就等價于電流密度為的、向下均勻流動、半徑為r的完整圓柱導(dǎo)體和一個電流密度也為、但向上均勻流動、半徑為r/4的完整較小的圓柱導(dǎo)體構(gòu)建而成。因而,空間任一點的場應(yīng)為這兩個電流各自產(chǎn)生的場的疊加。解：設(shè)流經(jīng)導(dǎo)體截面的電流密度為向上的電流在P點產(chǎn)生的場為,方向"⊙"向下的電流在P點產(chǎn)生的場為,方向"⊕"P點最終的場為,方向"⊕"根據(jù)洛侖茲力公式,此刻飛經(jīng)P點的電子所受力的大小為,方向"←"習(xí)題9—26長直導(dǎo)線與半徑為R的均勻?qū)w圓環(huán)相切于點a,另一直導(dǎo)線沿半徑方向與圓環(huán)接于點b,如圖所示?，F(xiàn)有穩(wěn)恒電流I從端a流入而從端b流出。<1>求圓環(huán)中點O的磁感應(yīng)強度；<2>沿閉合環(huán)路L的環(huán)流等于什么？abLIIR120°abLIIR120°O習(xí)題9―26圖,方向"⊙"三分之一圓周電流單獨產(chǎn)生的場為,方向"⊕"三分之二圓周電流單獨產(chǎn)生的場為,方向"⊙"段電流單獨產(chǎn)生的場為因此,圓環(huán)中點O的磁感應(yīng)強度為,方向"⊙"<2>沿閉合環(huán)路L的環(huán)流為abcI1I2習(xí)題9―27圖習(xí)題9—27設(shè)右圖中兩導(dǎo)線中的電流IabcI1I2習(xí)題9―27圖各條閉合曲線上,各點的磁感應(yīng)強度B的量值是否相等?在閉合曲線c上各點的B值是否為零?為什么?解：對閉合曲線a為8A；對閉合曲線b亦為8A；對閉合曲線c為0。在個條閉合曲線上,各點的磁感應(yīng)強度的量值并不相等。在閉合曲線c上各點的磁感應(yīng)強度的量值不為零,因為該曲線上的場是由I1和I2共同產(chǎn)生的,場強疊加的結(jié)果。AcbaIXYZ習(xí)題9―28圖習(xí)題9—28一塊半導(dǎo)體