量子力學(xué)第13講表象變換

量子力學(xué)光電子科學(xué)與王可嘉第十三講表象變換1零、三維各向同性諧振子的回顧一、表象及其變換二、算符的矩陣表示三、量子力學(xué)的矩陣形式四、例題2零、三維各向同性諧振子的回顧(1)三維各向同性諧振子在球坐標(biāo)下的解：與

E

EN

(N相對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)為：

n

lm(r,

,)

Rn

l

(r)Ylm

(

,)r

rnrl3

r

n

![(2l

1)!!]2R

(r)

3/

2

r

2l

2nr

(2l

2n

1)!!2

(r)l

e

2r

2

/

2F(n

,

l

3

/

2,

2r

2

)ra0nr

nr

ll

mmnr

lmnr

lmsin

dd0*(r,

,)

(r,

,)r

2

dr

20N

2nr

l,m

l,

l1,,l

1,l零、三維各向同性諧振子的回顧(2)三維各向同性諧振子在直角坐標(biāo)下的解：V

(r)

2r2

/

2

2

(x2

y2

z2

)

/

2zx

y?

?

?2

H

H

?H

V

(x,

y,

z)

H22H41?2

22

,

x,

y,

z2

22

2E

(n

1/

2)

(

)

E

(

),

n

n?H(a)n ()

A

ea2

2

/

2

Hn

n

x,

y,

z5零、三維各向同性諧振子的回顧(3)選取

(H?

x

,

H?

y

,

H?

z

)

組成力學(xué)量完全集。其共同本征函數(shù)為各自本征函數(shù)的乘積，即：n

n

n

(x,

y,

z)

n

(x)n

(

y)n

(z)x

y

z

x

y

znx

,

ny

,

nz

0,1,2

H?n

n

n

(x,

y,

z)

(H?

x

H?

y

H?

z

)n

n

n

(x,

y,

z)x

y

z

x

y

z

(H?

x

H?

y

H?

z

)n

(x,

y,

z)n

(x,

y,

z)n

(x,

y,

z)x

y

z

(Ex

Ey

Ez

)n

n

n

(x,

y,

z)x

y

z

(Ex

Ey

Ez

)n

n

n

(x,

y,

z)x

y

z即：

H?n

n

n (x,

y,

z)

En

n

n (x,

y,

z)x

y

z

x

y

z6零、三維各向同性諧振子的回顧(4)H?n

n

n (x,

y,

z)

En

n

n (x,

y,

z)x

y

z

x

y

z總能量本征態(tài)為

n

n

n

(x,

y,

z)

n

(x)n

(

y)n

(z)x

y

z

x

y

z ()

A

ea2

2

/

2

H

(a)

x,

y,

zn

n

n總能量本征值為線性諧振子解

ny

nz

0,1,2

1/

2)

En

Enx

yE

En

n

nx

y

z

Enz1/

2)

(nz

(nx

1/

2)

(ny

(N

3

/

2),

N

nx7零、三維各向同性諧振子的回顧(5)直角坐標(biāo)系下解和球坐標(biāo)系下解的關(guān)系：

(r,

,)n

lmr球坐標(biāo)下為的共同本征態(tài)。?

?

?2z(H

,l

,l

)直角坐標(biāo)下n

n

n

(x,

y,

z)

為

(H?

x

,

H?

y

,

H?

z

)

的共同本征態(tài)。x

y

z因?yàn)槭峭粏栴}在不同坐標(biāo)系下的解，應(yīng)該有相互聯(lián)系以N

1為例，能級(jí)是三重簡(jiǎn)并，即有三個(gè)態(tài)：

n

lm

011

,

011,

010

,

n

n

nr

x

y

z

100,

010,

001

00110010

0100

010

01/

2

i

/

22

i

/

20

011

＝

1/

011

可證明：稱(1)和(2)式分別為態(tài)

在

F

和

F

表象中的展開式。8一、表象及其變換(1)

k

是F的共同本征函數(shù)，k一般代表一組量子數(shù)。1

2

n設(shè)

F

代表一組力學(xué)量完全集，即

F

(

A?

,

A?

,A?

)1

2

n設(shè)F

代表一組力學(xué)量完全集，即

F

(A?,A?

,A?

)

ak

k

(1)k(2)

是

F

的共同本征函數(shù)，

一般代表一組量子數(shù)。設(shè)

是體系的一個(gè)量子態(tài)，根據(jù)態(tài)疊加原理，有：同時(shí)

a

必定有一定的關(guān)系，這種變9一、表象及其變換(2)k

kkkk

k

k

ka

d

d**

a

a

(

,

)

k

a

dd

**k

a

a

(

,

)

所謂表象，就是量子態(tài)的具體表示方式。稱在

和

表象中的表示

2

a1

a

a

為態(tài)和

2

a1

a

aFF所以和換關(guān)系即為表象變換。因?yàn)?/p>

ak

k

a

kka

a

a

a

10一、表象及其變換(3)矢量在不同坐標(biāo)系下的變換：矢量A

在(x,

y)中，有A

2

21

1a

ea

e矢量

在中，有A(x

,

y

)

A

a1e1

a2e2x(e1

)y(e2

)Ax(e1)y

(e2

)

1a2aa12

a

a

,

aa設(shè)a

a1

a1

，可證明存在一個(gè)R(

)有：a

R(

)a

1sin

cossin

cos

2

2

coscos

det

R(

)

sin

R(

)

sin

~*

~*~

cosR(

)

sin

R

R

1cos

RR

R

R

1

RRsin

稱R(

)

為幺正矩陣11一、表象及其變換(4)

ak

k

a

以*ka

k左乘上式，即

k

k

a

**

全空間積分有：kaa

d

k

k

d**

(

,

k

)**Skk寫為矩陣形式

a

Sakd

ak

(

,

k

)

Sk

ak

,k

k

a

a

a

a

d

2221

2

.

..

a2

S11

S12

a1

.

a1

a

Sa

a

S

S.kk將

a

Sk

ak即12一、表象及其變換(5)在

表象中的表示變換成

表象中的表示所以任一量子態(tài)可以通過矩陣

SFFT1 2)a

(a

,

a

,T1 2)

a

(a

,

a

,其中：.

...21

22

S11

S12S

SS

.

，即

a

Sa可證明：SS

S

S

I即變換矩陣

S是幺正矩陣。稱上述變換為幺正變換一、表象及其變換(6)所以任一量子態(tài)

能夠用任一力學(xué)量完全集F

(

A?

,

A?

)1

n的共同本征函數(shù)

k（它們構(gòu)成一組正交歸一完備基矢）來(lái)展開系數(shù)13，稱為k

k展開

a

Tka

(a

)kka

(

,

)k在F

表象中的表示。

同樣可以在

F

表象中展開為：

a

展開系數(shù)為

a

(a

)T，a

(

,

)

為

在

F

表象中的表示，這兩種表示可以通過一種幺正變換相聯(lián)系。即其中：S

(Sk

),

Sk

(

,

k

)a

Sa14二、算符的矩陣表示(1)設(shè)

L?

為某一力學(xué)量的算符，量子態(tài)

經(jīng)過

L?

運(yùn)算后變成另一量子態(tài)

，即

L?

，設(shè)在

F

表象的基矢為，其中分別為l表象中的表示。k

k

，將

和

用

k

展開，有bk

k

L?al

l和

在k列向量

(b

)T

和Tl(a

)bk

k

L?al

l

k

lll

ljkk

kFb

jad

Ld*

?*

jl

ll

lj

l

l)a

L

all

l)a

jj

b

(

d?(

,

L*

?

L其中：Ljl(

j

,L?

l

)為L(zhǎng)?在F

表象中的表示。15二、算符的矩陣表示(2)(

j

,L?

l

)為L(zhǎng)?在

F

表象中的表示。Ljll

.

.

.

.

.

a2

b

La.

a1

L11

L12L22.bj

Ljlal

b2

L21

b1

矩陣

L

(Ljl

)就是L?在F

表象中的矩陣表示。在F

表象中，同樣有：

b1

L

a

b

Lb

.

.

.

.

a

b

La

.

.

2

.

a1

2221

L11

L12L

2

矩陣L

(L

)

就是

L?

在

F

表象中的矩陣表示。16二、算符的矩陣表示(3)對(duì)量子態(tài)

和算符

L?

，在F

表象(基矢

k

)中，有k

k

kkj

kj

k

j

(

,

L?

)a

(a

)T

,

a

(

,),

L

(L

),

L對(duì)量子態(tài)

和算符

L?

，在

F表象(基矢

k

)中，有a

(a

)T

,

a

(

,),

L

(L

),

L

(

,

L?

)已知

a

和

a

可以通過幺正變換相聯(lián)系，即

a

Sa.21

22

kk..

.

S11

S12)

S

S

.,

S

(

,

)k幺正矩陣

S

(S可證明，矩陣

L

(Lkj

)和L

(L

)可以通過幺正矩陣S

相似變換相聯(lián)系：L

SLS

1二、算符的矩陣表示(4)例題：求坐標(biāo)

x?

、動(dòng)量

p?x

和諧振子能量表象中的矩陣表示。算符

H?

在一維，有如下性質(zhì)：【解】：一維諧振子能量表象的基矢為其能量本征函數(shù)2

2H

(ax)kk

a

x

/

2

A

ekx

k

(

k

/

2

k

1

(k

1)

/

2

k

1

)

/

ak

k

1

k

1

a

k

k

1/)(dxd

坐標(biāo)

x?

在此表象中矩陣表示的矩陣元為：(k

1)

/

2

j

,k

1

)

/

ak

/

2

j

,k

1

(

j

,

k

/

2

k

1

(k

1)

/

2

k

1

)

/

ax

jk

(17二、算符的矩陣表示(5)(

k

/2

j

,k

1

(k

1)/2

j

,k

1

)/a

寫為矩陣形式為：x

jk18a

(x

)

1

0

1/

2

0

01/

2

0 2

/

2

00 2

/

2

0 3

/

20

0 3

/

2

0

jkj,

k

0,1,2

19二、算符的矩陣表示(6)dxxj

x

k

j

kjk

p?

i

d

pdx(k

1)

/

2

k

1

))k

/

2

j,k

1

))

(

j

,ia(

k

/

2

k

1

ia( (k

1)

/

2

j,k

1

(

,

p?

)

(

,i

d

)即：(p

jk

)

ia00 3

/

200 2

/

203

/

20

1/

21/

2

00 2

/

20

0

j,

k

0,1,2

20二、算符的矩陣表示(7)對(duì)于

H?

，有

H?

k

Ek

k

H

jk

(

j

,

H?

k

)

Ek

(

j

,

k

)

(k

1/

2)

jk

0

0

0

0 3

/

2

0

0

0 5

/

2

0

0

0

0 7

/

2

1/

2)

0即：(Hjk結(jié)論：力學(xué)量在其自身表象中，其矩陣表示為一個(gè)對(duì)角陣。三、量子力學(xué)的矩陣形式(1)在

F

表象(基矢

k

)中,量子態(tài)

用列向量表示，即，算符

L?

用矩陣表示，即a

(a

,

a

,

a

)T.

..21L

.1

2

3

L11

L1222.L

L(1)含時(shí)其中：ak

(

k

,))?jkkjL

(

,

L方程的矩陣表示

i

H?

.

.

.

a1

.

a2

其中：

.

.

H11

H12H22.

a1

(t)

i

a2

(t)

H21ak

(t)

(

k

,(t))?kjkj

)H

(

,

Hkk

k

a

21三、量子力學(xué)的矩陣形式(2)例如，在一維諧振子能量表象中，含時(shí)示為：

.30a020(/t)2

.01a010(/t)2

.....

.

a2

(t)

a1

(t)

.370/.0a240(t)

5.00a/0(2t)

1a(k(/t)2，若

ak

(t

0)

ck3

a4

(t)

i

a

(t)

方程表即：iak

t

k

i

(k

1/

2)t則有：ak

(t)

cke

定態(tài)解2223三、量子力學(xué)的矩陣形式(3)(2)平均值計(jì)算公式的矩陣表示在

F

表象(基矢

k

)中,量子態(tài)

用列向量表示，即，算符

L?

用矩陣表示，即a

(a

,

a

,

a

)T

.

...1

2

3

L11

L12L22.L

L21ak

(

k

,)其中：)?kj

k jL

(

,

L

k

k

ka

j

k

kj

jkk

kj

jk

ka

L

a*)a

kj

*?a

(

,

L在態(tài)

下，力學(xué)量

L?

的平均值為

L

(,

L?)

.

..

a2

.

a1

L

(a

k,

L?a

j)

kj

L11L12

L

(a*,

a*

L

L1

2

)

21

22.kj

k

j24三、量子力學(xué)的矩陣形式(4)(3)力學(xué)量本征方程的矩陣表示力學(xué)量

L?

的本征方程為：L?

l在

F

表象(基矢

k

)中：

ak

k，算符L?

用矩陣表示，本征方程可寫為：k22.

0.

.21

.

.

.

a2

.

a1

L

l

L12

a1

.

a2

l

a2

.

a1

L

L11

L11

L12

L21

L22.

l三、量子力學(xué)的矩陣形式(5)22..

.21

.

a1

L

l

.

a2

0L12

L11

lL有非零解的條件為：..

0

久期方程，可解出本征值l.25L12L22

l.L11

lL21.例題(1)

b

cos，26221

*,2?

?

?

??

?和l

的表示。在(l

,

l

)表象中，求l

,

l

,

la

3

(8

),

b

3

(4

).?

?是(l

,

l

)的共同本征函數(shù)。當(dāng)

Y

Y2

10

3

11z

x

yzlm

zY

(

,)l

1時(shí)，m

1,0,1,得到一組正交完備基矢(

),

k

1,2,3.

Y

a

sin

ei

,k

1

11sin

ei27Z13

(1,

z

3

)212Z

(

,

l

)1

z

2

a2

(sin

ei

,

s?例題(2)?

?2在(l

,

l

)表象中，zz3

3的矩陣來(lái)表28l?

i

,在32312221

Z11

Z12

Z

Z

ZZ例題(3)?

?2在(l

,

l

)表象中，z設(shè)為X

(

X

jk

),

j,

k

1,229在坐00

1

1