經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)(第二版) 7-3概率的乘法公式與事 件的獨(dú)立性

§

7.1

隨機(jī)事件§7.2

事件的概率及概率的加法公式§

7.3

概率的乘法公式與事件的獨(dú)立性

第七章概率的基本知識(shí)及其應(yīng)用§

7.4

隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量§

7.5

連續(xù)型隨機(jī)變量§

7.6

隨機(jī)變量的數(shù)字特征1

一.概率的乘法公式

§7.3概率的乘法公式與事件的獨(dú)立性

二.事件的獨(dú)立性

2

一.概率的乘法公式案例1甲、乙兩廠生產(chǎn)同類產(chǎn)品,記錄如下表:

正品數(shù)

次品數(shù)

合計(jì)

產(chǎn)品數(shù)

生產(chǎn)廠甲廠乙廠

合計(jì)

6728955237030100求從中任取一件正品是甲廠產(chǎn)品的概率.案例1

分析

若設(shè)

{任取一件是甲廠產(chǎn)品

},{任取一件是甲廠產(chǎn)品

},則事件“任取一件正品是甲廠產(chǎn)品”是指在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率,這就是條件概率.

(未完待續(xù))31.條件概率若事件是同一試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件,則稱在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率為條件概率.記作

在解決許多概率問(wèn)題時(shí),往往需要求在有某些附加信息(條件)下事件發(fā)生的概率.一般情況下,P(A|B)≠P(A).

4P(A)=1/6，例如:擲一顆均勻骰子,A={擲出2點(diǎn)},

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？

已知事件B發(fā)生,此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B.于是,P(A|B)=1/3.

B中共有3個(gè)元素,每個(gè)元素出現(xiàn)是等可能的,且其中只有1個(gè)(2點(diǎn))在集合A中.容易看到:P(A|B)

AB5

又如:10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品;7件正品中有3件一等品(藍(lán)色),4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件,記P(A)=3/10，B={取到正品}，A={取到一等品}，P(A|B)(10件產(chǎn)品中有3件一等品)(10件產(chǎn)品中有7件正品)P(B)=7/10，

7件正品中有3件一等品(未完待續(xù))6

P(A)=3/10，B={取到正品}，A={取到一等品},(10件產(chǎn)品中有3件一等品)(10件產(chǎn)品中有7件正品)P(B)=7/10，

本例中,計(jì)算P(A)時(shí),依據(jù)前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.

計(jì)算P(A|B)時(shí),這個(gè)前提條件未變,只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.

這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”,使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來(lái)考慮問(wèn)題.7

條件概率有以下計(jì)算公式

(1)(2)

若事件B已發(fā)生,

則為使A也發(fā)生,

試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.

由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B就變成了新的樣本空間,于是,就有(1).8正品數(shù)

次品數(shù)

合計(jì)

產(chǎn)品數(shù)

生產(chǎn)廠甲廠乙廠

合計(jì)

6728955237030100求從中任取一件正品是甲廠產(chǎn)品的概率.設(shè)

{任取一件是甲廠產(chǎn)品

},{任取一件是甲廠產(chǎn)品

},

解案例1

則任取一件正品是甲廠產(chǎn)品的概率為

(完)9

練習(xí)1有圓形零件100個(gè),其中有96個(gè)直徑合格,有98個(gè)光潔度合格,有92個(gè)兩個(gè)指標(biāo)都合格.從這100個(gè)零件中任取一個(gè):(1)若此零件光潔度合格,求直徑也合格的概率;(2)若此零件直徑合格,求光潔度也合格的概率.設(shè)

{光潔度合格},{直徑合格},解

則由題設(shè)

(1)在光潔度合格的條件下,直徑也合格的概率為:(未完待續(xù))10

練習(xí)1有圓形零件100個(gè),其中有96個(gè)直徑合格,有98個(gè)光潔度合格,有92個(gè)兩個(gè)指標(biāo)都合格.從這100個(gè)零件中任取一個(gè):(1)若此零件光潔度合格,求直徑也合格的概率;(2)若此零件直徑合格,求光潔度也合格的概率.設(shè)

{光潔度合格},{直徑合格},解

則由題設(shè)

(2)在直徑合格的條件下,光潔度也合格的概率為:(完)112.概率的乘法公式

定理7.2

有

對(duì)于任意兩個(gè)事件

與由條件概率的計(jì)算公式可直接得出概率的乘法公式:

12

練習(xí)2盒中有10只晶體管,其中6只正品,4只次品.每次不放回設(shè)

(1){兩次都取到正品};解

則由題設(shè)

(1)地抽取一只進(jìn)行測(cè)試,連取兩次,求下列事件的概率:

(2){第二次才取到正品};(3){至少取到一只正品}.{第次取到正品}(),由概率的乘法公式,得

所謂不放回抽樣,是指第一次從10只晶體管中抽取一只晶體管測(cè)試后不放回去,第二次從剩下的9只晶體管中再抽取一只進(jìn)行測(cè)試.(未完待續(xù))13

練習(xí)2盒中有10只晶體管,其中6只正品,4只次品.每次不放回設(shè)

(續(xù)解)

則由題設(shè)

(2)地抽取一只進(jìn)行測(cè)試,連取兩次,求下列事件的概率:

(2){第二次才取到正品};(3){至少取到一只正品}.{第次取到正品}(),由概率的乘法公式,得

(未完待續(xù))14

練習(xí)2盒中有10只晶體管,其中6只正品,4只次品.每次不放回設(shè)

則由題設(shè)

地抽取一只進(jìn)行測(cè)試,連取兩次,求下列事件的概率:

(3){至少取到一只正品}.{第次取到正品}(),由概率的乘法公式,得

(續(xù)解)

(3){全是次品}.故

(完)15

練習(xí)3某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字而隨意撥號(hào).設(shè)

又因?yàn)?/p>

{第次接通電話}(),解

所以

求撥號(hào)不超過(guò)2次能接通電話的概率.{撥號(hào)不超過(guò)2次能接通電話

},則與因事件是互斥的,所以

(完)16

袋中有5個(gè)球,3個(gè)新的,2個(gè)舊的,任取一個(gè)記錄下觀察結(jié)果,放回去后再取一個(gè),問(wèn)第二次取到新球的概率是多少?案例2解設(shè)

所謂有放回抽樣,指第一次無(wú)論是否取到新球,都要放回袋中,第二次仍從原袋的5個(gè)球中任取一個(gè)球.

由此,事件的發(fā)生與否不影響事件的發(fā)生,故

這時(shí),稱事件與事件相互獨(dú)立.

二.事件的獨(dú)立性

本題欲求

={第二次取到新球},

={第一次取到新球},

17相互獨(dú)立

定義7.2

兩個(gè)事件、中,任一事件的發(fā)生與否不影響另一事件的概率,稱事件與事件相互獨(dú)立.相互獨(dú)立的事件有下述性質(zhì):

性質(zhì)1事件、相互獨(dú)立的充要條件是

性質(zhì)2若事件、相互獨(dú)立,則與,與,

與也都相互獨(dú)立,即(1)(2)(未完待續(xù))18

相互獨(dú)立的事件有下述性質(zhì)(續(xù)):

若事件、相互獨(dú)立,因有限多個(gè)事件的情形.

性質(zhì)2若事件、相互獨(dú)立,則與,與,

與也都相互獨(dú)立,即(3)事件之間相互獨(dú)立的概念可以推廣到19練習(xí)4