概率論課程概率論第2章課件

第2章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.4連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)2.3幾種常見的離散型分布2.2離散型隨機變量及其分布律2.6隨機變量函數(shù)及其分布2.5正態(tài)分布第2章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.1

隨機變量及其分布函數(shù)一、隨機變量二、隨機變量的分布函數(shù)2.1隨機變量及其分布函數(shù)一、隨機變量二、隨機變量的分布一、隨機變量例

袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為一、隨機變量例袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球我們記取出的黑球數(shù)為

X，則X的可能取值為1,2,3．因此,X是一個變量．但是，X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即X的取值帶有隨機性，所以，我們稱

X為隨機變量．X的取值情況可由下表給出：我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1,2,3．由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)著變量

X

的一個確定的取值，因此變量

X是樣本空間Ω上的函數(shù)：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如

表示至少取出2個黑球這一事件，等等．

表示取出2個黑球這一事件；由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)我們定義了隨機變此處用{w}表示樣本空間，并非樣本空間中只有一個元素w，而是用w表示所有的元素。隨機變量的定義定義：設(shè)隨機試驗E的樣本空間是Ω={w}，如果對于每一個w∈Ω，有一個實數(shù)X(w)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在Ω上的單值實值函數(shù)X=X(w)，且對任何一個實數(shù)是隨機事件，稱為隨機變量,簡記為X。此處用{w}表示樣本空間，并非樣本空間中只有一個元素w，而是說明說明例1

上午8:00～9:00

在某路口觀察，令Y：該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；表示通過的汽車數(shù)大于

50輛但不超過100輛這一隨機事件．例1上午8:00～9:00在某路口觀察，令表示通過

隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機試驗結(jié)果進行廣泛而深入的研究.隨機變量因其取值方式的不同，通常分為兩類：離散型隨機變量連續(xù)型非離散型其它隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨稱為X的分布函數(shù)．0xxX

設(shè)X是一個隨機變量,是任意實數(shù),函數(shù)幾何定義：二、隨機變量的分布函數(shù)稱為X的分布函數(shù)．0xxX設(shè)X是一個隨機變量,是任意實概率論課程概率論第2章課件用分布函數(shù)F(x)表示的事件概率計算公式用分布函數(shù)F(x)表示的事件概率計算公式分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(3)F(x)右連續(xù)，即

(2)分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(3)F(x)右連續(xù)，即(2)

如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(1)解(1)由題設(shè),在上單調(diào)不減,右連續(xù),并有所以是某一隨機變量的分布函數(shù).例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(1)解(1)由例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在上單調(diào)下降,不可能是分布函數(shù).所以解例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在例3解(1)因為分布函數(shù)右連續(xù),且例3解(1)因為分布函數(shù)右連續(xù),且2.2離散型隨機變量及其分布律一、離散型隨機變量的分布律二、離散型隨機變量的分布函數(shù)2.2離散型隨機變量及其分布律一、離散型隨機變量的分布律二定義如果一個隨機變量僅可能取得有限個或可數(shù)無窮多個數(shù)值，則稱該隨機變量為離散型隨機變量.設(shè)離散型隨機變量X其可能的取值為稱為離散型隨機變量X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布列或分布律一、離散型隨機變量的分布律定義如果一個隨機變量僅可能取得有限個或可數(shù)無窮多個數(shù)值，則表格形式分布列的性質(zhì)：表格形式分布列的性質(zhì)：概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.6線條圖0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0例1袋中有1個白球和4個黑球，每次不放回地從中任取一個球，直至取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布.解設(shè)X為取到白球時的取球次數(shù)X的可能取值為1,2,3,4,5不難求得因此,所求的概率分布為123450.20.20.20.20.2例1袋中有1個白球和4個黑球，每次不放回地從中任取一個球，直則的分布函數(shù)為即，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng)時，當(dāng)時，二、離散型隨機變量的分布函數(shù)則的分布函數(shù)為即，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng)時，當(dāng)時，二、離散型隨機變量如圖，是一個階它在有跳躍，反之，若一個隨機變量的分布函則一定是一個離散型隨機變量，其概率分布亦由唯一確定.梯函數(shù)，跳躍度恰為隨機變量點處的概率在數(shù)，數(shù)為階梯函當(dāng)時，)(xFxO2x1x3x......1p3p2p如圖，是一個階它在有跳躍，反之，若一個隨機變量的分布函則一定X的分布函數(shù)為出現(xiàn)的點數(shù)小于x的概率1,2,3,4,5,6例2擲一枚骰子,設(shè)X表示出現(xiàn)的點數(shù),其可能取值為沒有可能的點數(shù)包含出現(xiàn)1點包含出現(xiàn)1,2點包含出現(xiàn)1,2,3點包含出現(xiàn)1,2,3,4點包含出現(xiàn)1,2,3,4,5點包含出現(xiàn)1,2,3,4,5,6點分布函數(shù)是累計概率X的分布函數(shù)為出現(xiàn)的點數(shù)小于x的概率1,2,3,4,5,6例例3有人對隨機變量X的分布列表述如下:

-10123求

.解根據(jù)概率分布的性質(zhì)所以解得(舍去)例3有人對隨機變量X的分布列表述如下:-1作業(yè)P47練習(xí)2.12P51練習(xí)2.212作業(yè)P47練習(xí)2.12P51練習(xí)2.2122.3幾種常見的離散型分布一、兩點分布二、二項分布三、泊松(Poisson)分布四、超幾何分布*2.3幾種常見的離散型分布一、兩點分布二、二項分布三、泊松定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為且特別地,點分布,即參數(shù)為的兩則稱服從處的兩點分布.參數(shù)為若服從處則稱服從參數(shù)為的分布.一、兩點分布定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為且特別地,點分

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩例1200

件產(chǎn)品中,有

196

件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點分布.于是,4

件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定例1200件產(chǎn)品中,有196件是正品,則服從參數(shù)為0二、二項分布定義

若隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,,n,其概率分布為…

很顯然,n重伯努利試驗中成功的次數(shù)服從二項分布事實上,二項分布就是來源于n重伯努利試驗?zāi)Ｐ投⒍椃植级x若隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,n=1時，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k

,(k=0,1)，(0-1)分布性質(zhì)(1)(2)n=1時，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=二項分布的圖形特點:對于固定及當(dāng)增加時,概率先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點:對于固定及當(dāng)增加時,概率先是隨之增加直至在圖1和圖2中，分別給出了當(dāng)和時二項分布的圖形.從圖易看出：對于固定及當(dāng)增加時，概率先是隨之增加直至達到最大值，隨后單調(diào)減少.pknOn=10,p=0.7圖1在圖1和圖2中，分別給出了當(dāng)和時二項分布的圖形.從圖易看出：注：為不超過的最大整數(shù).當(dāng)為整數(shù)時，二項概率在和處達到最大值.可以證明，一般的二項分布的圖形也具有這一性質(zhì)，二項概率在達到最大值；不為整數(shù)時，且當(dāng)pknOn=10,p=0.7圖1注：為不超過的最大整數(shù).當(dāng)為整數(shù)時，二項概率在和處達到最大值例2

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解每答一道題相當(dāng)于做一次伯努利試驗，則例2一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個解每答一道題相例3

按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品.已知某批產(chǎn)品的一級品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機地抽取20只,問20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只為一級品的概率為多少？記X為20只元件中一級品的只數(shù),解例3按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的解：將每次射擊看成一次試驗,設(shè)擊中的次數(shù)為X,某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。所求概率為則X~B(400,0.02),解：將每次射擊看成一次試驗,設(shè)擊中的次數(shù)為X,某人進行射擊，隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個值的概率稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~P().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布性質(zhì)隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個值的概率稱X服泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水例5一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poisson分布，問一年中不多于兩次意外斷電的概率.解設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為X所以,一年中不多于兩次斷電的概率為=0.06197查表(累積概率)例5一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poiss二項分布的泊松逼近對二項分布當(dāng)試驗次數(shù)很大時，計算其概率很麻煩.例如，要計算n=5000故須尋求近似計算方法.這里先介紹二項分布的泊松逼近，在第五章中還將介紹二項分布的正態(tài)逼近.二項分布的泊松逼近對二項分布當(dāng)試驗次數(shù)很大時，計算其概率很麻泊松定理在重伯努利實驗中，事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當(dāng)時，為常數(shù)),則有該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！泊松定理在重伯努利實驗中，事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當(dāng)時二項分布

泊松分布

可見，當(dāng)n充分大,p又很小時,可用泊松分布來近似二項分布！實際計算中，時近似效果變很好.二項分布

由泊松定理，n重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等由泊松定理，n重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)例6

一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進該種商品多少件?解設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進該種商品件,求滿足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.例6一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記解設(shè)該商品每保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概率。設(shè)某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保,每個人一年內(nèi)死亡的概率為0.005個，試求在未來一年中在這些投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率．對每個人而言，在未來一年是否死亡相當(dāng)于做一次伯努利試驗，1000人就是做1000重伯努利試驗，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理保險公司為了估計企業(yè)的利潤作業(yè)P58練習(xí)2.312作業(yè)P58練習(xí)2.3122.4連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)一、密度函數(shù)二、有關(guān)事件的概率三、幾種常見的連續(xù)型分布2.4連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)一、密度函數(shù)二、有關(guān)事件的f()為X的概率密度函數(shù),x簡稱密度函數(shù)或分布密度.(或分布密度函數(shù)),一、密度函數(shù)定義f()為X的概率密度函數(shù),x簡稱密度函數(shù)或分布密度.(或xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義根據(jù)定義,可以得到密度函數(shù)的如下性質(zhì)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù).根據(jù)定義,可以得到密度函數(shù)的如下性質(zhì)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個二、有關(guān)事件的概率=0事實上二、有關(guān)事件的概率=0事實上積分中值定理積分中值定理例1設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為求常數(shù)A及X的分布函數(shù)和

解所以例1設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為求常數(shù)A及X的分布函數(shù)和1.如果隨機變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知三、幾種常見的連續(xù)型分布1.如果隨機變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知三、幾種常均勻分布的分布函數(shù)為均勻分布的分布函數(shù)為例2某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站,如果乘客到達此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解以7:00為起點

0,以分為單位,依題意例2某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00解以

7:00為起點

0,以分為單位,依題意為使候車時間少于

5分鐘,乘客必須在

7:10到7:15之間,或在

7:25到

7:30之間到達車站,故所求概率為即乘客候車時間少于5分鐘的概率是

1/3.解以7:00為起點0,以分為單位,依題意為使候車時間少例3

設(shè)隨機變量

X在

[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)對

X進行三次獨立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.

X的分布密度函數(shù)為

{X>3}

表示“對

X的觀測值大于

3的概率”,解因而有設(shè)Y表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則例3設(shè)隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布,2.如果隨機變量

X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布的幾何圖形如圖.注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間.例如，乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等，因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應(yīng)用.2.如果隨機變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為的指指數(shù)分布的重要作用,是常用它來作為各種“壽命”的近似,如通訊、保險、隨機服務(wù)系統(tǒng)等方面3.分布(略)易求得的分布函數(shù)指數(shù)分布的重要作用,是常用它來作為各種“壽命”的近似,如通訊例4某保險公司想開展一種新的壽險業(yè)務(wù)，被保險人需一次性繳納保費1000元，若被保險人在10年內(nèi)死亡，保險公司將賠負5000元，假設(shè)人的壽命服從參數(shù)為1/65的指數(shù)分布.試幫保險公司做出決策.解假設(shè)某人的壽命為X假設(shè)某人投保時年齡為S歲則此人再活10年以上的概率為例4某保險公司想開展一種新的壽險業(yè)務(wù)，被保險人需一次性繳納保因此，被保險人在10年內(nèi)死亡的概率為所以保險公司對該被保險人的預(yù)期收益為1000-0.1426*5000=287(元)結(jié)論:保險公司可以開展這種保險業(yè)務(wù).因此，被保險人在10年內(nèi)死亡的概率為所以保險公司對該被保險人一般化在已活s年的基礎(chǔ)上,再活t年的概率等于壽命大于t年的概率.指數(shù)分布永遠年輕一般化在已活s年的基礎(chǔ)上,再活t年的概率等于壽命大于t年的概作業(yè)P63練習(xí)2.4124作業(yè)P63練習(xí)2.41242.5正態(tài)分布一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系2.5正態(tài)分布一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征概率論課程概率論第2章課件概率論課程概率論第2章課件

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如正態(tài)分正態(tài)分布下的概率計算原函數(shù)不是初等函數(shù)方法:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計算正態(tài)分布下的概率計算原函數(shù)不是方法:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有如下特點標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有如下特點例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=例2例2三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系對一般的正態(tài)分布：X三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系對一般的正態(tài)分布：X概率論課程概率論第2章課件例3=2*0.8413-1=0.6826=2*0.97725-1=0.9545=2*0.99865-1=0.9973事件的發(fā)生幾乎是必然的例3=2*0.8413-1=0.6826=2*0.97

服從正態(tài)分布的隨機變量X落在區(qū)間內(nèi)的概率為0.9973，落在該區(qū)間外的概率只有0.0027.也就是說,X幾乎不可能在區(qū)間之外取值。

由3原則知，服從正態(tài)分布的隨機變量X落在區(qū)間

服從正態(tài)分布的隨機變量X落在區(qū)間內(nèi)的概率為0.9973，落在該區(qū)間外的概率只有0.0027.也就是說,X幾乎不可能在區(qū)間之外取值。

由3原則知，服從正態(tài)分布的隨機變量X落在區(qū)間例4從某地去火車站有兩條路線,第一條路線經(jīng)過市區(qū),路程較短,但交通擁擠，所需時間(分鐘)服從正態(tài)分布N(50,100),第二條路線經(jīng)環(huán)城路，路程較長,所需時間服從正態(tài)分布N(60,16),若只有70分鐘可用,應(yīng)走哪一條路線?若只有65分鐘呢?解

設(shè)所需時間分別為T和X,顯然應(yīng)走在允許的時間內(nèi)有較大概率及時趕到火車站的路線.(1)在70分鐘內(nèi),兩條路線能及時趕到的概率分別為因此在這種情況下，應(yīng)走第二條路線.例4從某地去火車站有兩條路線,第一條路線經(jīng)過市區(qū),路程較(2)在65分鐘內(nèi),兩條路線能及時趕到的概率分別為因此在這種情況下，應(yīng)走第一條路線.(2)在65分鐘內(nèi),兩條路線能及時趕到的概率分別為因此在這作業(yè)P68練習(xí)2.5234作業(yè)P68練習(xí)2.52342.6隨機變量函數(shù)及其分布一、隨機變量函數(shù)的定義二、離散型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布2.6隨機變量函數(shù)及其分布一、隨機變量函數(shù)的定義二、離散型實例兩個賭徒用一枚骰子進行賭博,甲若擲出x點,則可得(或付)10x-35元,分析甲在一次擲骰子中的輸贏.顯然實例兩個賭徒用一枚骰子進行賭博,甲若擲出x點,則可得(或付)一、隨機變量函數(shù)的定義定義

分別就離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量進行討論問題一、隨機變量函數(shù)的定義定義分別就離散型隨機變量和連續(xù)型隨機

Y的可能值為即0,

1,

4.解例1二、離散型隨機變量函數(shù)的分布Y的可能值為即0,1,4.故Y的分布律為由此歸納出離散型隨機變量函數(shù)的分布的求法.故Y的分布律為由此歸納出離散型隨機變量函數(shù)的分布的求離散型隨機變量的函數(shù)的分布離散型隨機變量的函數(shù)的分布Y的分布律為例2

設(shè)解Y的分布律為例2設(shè)解

第一步

先求Y=2X+8的分布函數(shù)解例3三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布解例3第一步先求Y=2X+8的分布函數(shù)解例第二步

由分布函數(shù)求概率密度.第二步由分布函數(shù)求概率密度.解例4再由分布函數(shù)求概率密度.解例4再由分布函數(shù)求概率密度.概率論課程概率論第2章課件概率論課程概率論第2章課件證明X的概率密度為例5證明X的概率密度為例5概率論課程概率論第2章課件作業(yè)P71練習(xí)2.612P72習(xí)題二作業(yè)P71練習(xí)2.612P72習(xí)題二第2章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.4連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)2.3幾種常見的離散型分布2.2離散型隨機變量及其分布律2.6隨機變量函數(shù)及其分布2.5正態(tài)分布第2章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.1

隨機變量及其分布函數(shù)一、隨機變量二、隨機變量的分布函數(shù)2.1隨機變量及其分布函數(shù)一、隨機變量二、隨機變量的分布一、隨機變量例

袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為一、隨機變量例袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球我們記取出的黑球數(shù)為

X，則X的可能取值為1,2,3．因此,X是一個變量．但是，X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即X的取值帶有隨機性，所以，我們稱

X為隨機變量．X的取值情況可由下表給出：我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1,2,3．由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)著變量

X

的一個確定的取值，因此變量

X是樣本空間Ω上的函數(shù)：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如

表示至少取出2個黑球這一事件，等等．

表示取出2個黑球這一事件；由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)我們定義了隨機變此處用{w}表示樣本空間，并非樣本空間中只有一個元素w，而是用w表示所有的元素。隨機變量的定義定義：設(shè)隨機試驗E的樣本空間是Ω={w}，如果對于每一個w∈Ω，有一個實數(shù)X(w)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在Ω上的單值實值函數(shù)X=X(w)，且對任何一個實數(shù)是隨機事件，稱為隨機變量,簡記為X。此處用{w}表示樣本空間，并非樣本空間中只有一個元素w，而是說明說明例1

上午8:00～9:00

在某路口觀察，令Y：該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；表示通過的汽車數(shù)大于

50輛但不超過100輛這一隨機事件．例1上午8:00～9:00在某路口觀察，令表示通過

隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機試驗結(jié)果進行廣泛而深入的研究.隨機變量因其取值方式的不同，通常分為兩類：離散型隨機變量連續(xù)型非離散型其它隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨稱為X的分布函數(shù)．0xxX

設(shè)X是一個隨機變量,是任意實數(shù),函數(shù)幾何定義：二、隨機變量的分布函數(shù)稱為X的分布函數(shù)．0xxX設(shè)X是一個隨機變量,是任意實概率論課程概率論第2章課件用分布函數(shù)F(x)表示的事件概率計算公式用分布函數(shù)F(x)表示的事件概率計算公式分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(3)F(x)右連續(xù)，即

(2)分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(3)F(x)右連續(xù)，即(2)

如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(1)解(1)由題設(shè),在上單調(diào)不減,右連續(xù),并有所以是某一隨機變量的分布函數(shù).例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(1)解(1)由例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在上單調(diào)下降,不可能是分布函數(shù).所以解例2判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù)?(2)(2)因在例3解(1)因為分布函數(shù)右連續(xù),且例3解(1)因為分布函數(shù)右連續(xù),且2.2離散型隨機變量及其分布律一、離散型隨機變量的分布律二、離散型隨機變量的分布函數(shù)2.2離散型隨機變量及其分布律一、離散型隨機變量的分布律二定義如果一個隨機變量僅可能取得有限個或可數(shù)無窮多個數(shù)值，則稱該隨機變量為離散型隨機變量.設(shè)離散型隨機變量X其可能的取值為稱為離散型隨機變量X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布列或分布律一、離散型隨機變量的分布律定義如果一個隨機變量僅可能取得有限個或可數(shù)無窮多個數(shù)值，則表格形式分布列的性質(zhì)：表格形式分布列的性質(zhì)：概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.6線條圖0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0例1袋中有1個白球和4個黑球，每次不放回地從中任取一個球，直至取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布.解設(shè)X為取到白球時的取球次數(shù)X的可能取值為1,2,3,4,5不難求得因此,所求的概率分布為123450.20.20.20.20.2例1袋中有1個白球和4個黑球，每次不放回地從中任取一個球，直則的分布函數(shù)為即，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng)時，當(dāng)時，二、離散型隨機變量的分布函數(shù)則的分布函數(shù)為即，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng)時，當(dāng)時，二、離散型隨機變量如圖，是一個階它在有跳躍，反之，若一個隨機變量的分布函則一定是一個離散型隨機變量，其概率分布亦由唯一確定.梯函數(shù)，跳躍度恰為隨機變量點處的概率在數(shù)，數(shù)為階梯函當(dāng)時，)(xFxO2x1x3x......1p3p2p如圖，是一個階它在有跳躍，反之，若一個隨機變量的分布函則一定X的分布函數(shù)為出現(xiàn)的點數(shù)小于x的概率1,2,3,4,5,6例2擲一枚骰子,設(shè)X表示出現(xiàn)的點數(shù),其可能取值為沒有可能的點數(shù)包含出現(xiàn)1點包含出現(xiàn)1,2點包含出現(xiàn)1,2,3點包含出現(xiàn)1,2,3,4點包含出現(xiàn)1,2,3,4,5點包含出現(xiàn)1,2,3,4,5,6點分布函數(shù)是累計概率X的分布函數(shù)為出現(xiàn)的點數(shù)小于x的概率1,2,3,4,5,6例例3有人對隨機變量X的分布列表述如下:

-10123求

.解根據(jù)概率分布的性質(zhì)所以解得(舍去)例3有人對隨機變量X的分布列表述如下:-1作業(yè)P47練習(xí)2.12P51練習(xí)2.212作業(yè)P47練習(xí)2.12P51練習(xí)2.2122.3幾種常見的離散型分布一、兩點分布二、二項分布三、泊松(Poisson)分布四、超幾何分布*2.3幾種常見的離散型分布一、兩點分布二、二項分布三、泊松定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為且特別地,點分布,即參數(shù)為的兩則稱服從處的兩點分布.參數(shù)為若服從處則稱服從參數(shù)為的分布.一、兩點分布定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為且特別地,點分

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩例1200

件產(chǎn)品中,有

196

件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點分布.于是,4

件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定例1200件產(chǎn)品中,有196件是正品,則服從參數(shù)為0二、二項分布定義

若隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,,n,其概率分布為…

很顯然,n重伯努利試驗中成功的次數(shù)服從二項分布事實上,二項分布就是來源于n重伯努利試驗?zāi)Ｐ投⒍椃植级x若隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,n=1時，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k

,(k=0,1)，(0-1)分布性質(zhì)(1)(2)n=1時，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=二項分布的圖形特點:對于固定及當(dāng)增加時,概率先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點:對于固定及當(dāng)增加時,概率先是隨之增加直至在圖1和圖2中，分別給出了當(dāng)和時二項分布的圖形.從圖易看出：對于固定及當(dāng)增加時，概率先是隨之增加直至達到最大值，隨后單調(diào)減少.pknOn=10,p=0.7圖1在圖1和圖2中，分別給出了當(dāng)和時二項分布的圖形.從圖易看出：注：為不超過的最大整數(shù).當(dāng)為整數(shù)時，二項概率在和處達到最大值.可以證明，一般的二項分布的圖形也具有這一性質(zhì)，二項概率在達到最大值；不為整數(shù)時，且當(dāng)pknOn=10,p=0.7圖1注：為不超過的最大整數(shù).當(dāng)為整數(shù)時，二項概率在和處達到最大值例2

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解每答一道題相當(dāng)于做一次伯努利試驗，則例2一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個解每答一道題相例3

按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品.已知某批產(chǎn)品的一級品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機地抽取20只,問20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只為一級品的概率為多少？記X為20只元件中一級品的只數(shù),解例3按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的解：將每次射擊看成一次試驗,設(shè)擊中的次數(shù)為X,某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。所求概率為則X~B(400,0.02),解：將每次射擊看成一次試驗,設(shè)擊中的次數(shù)為X,某人進行射擊，隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個值的概率稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~P().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布性質(zhì)隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個值的概率稱X服泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水例5一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poisson分布，問一年中不多于兩次意外斷電的概率.解設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為X所以,一年中不多于兩次斷電的概率為=0.06197查表(累積概率)例5一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poiss二項分布的泊松逼近對二項分布當(dāng)試驗次數(shù)很大時，計算其概率很麻煩.例如，要計算n=5000故須尋求近似計算方法.這里先介紹二項分布的泊松逼近，在第五章中還將介紹二項分布的正態(tài)逼近.二項分布的泊松逼近對二項分布當(dāng)試驗次數(shù)很大時，計算其概率很麻泊松定理在重伯努利實驗中，事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當(dāng)時，為常數(shù)),則有該定理于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！泊松定理在重伯努利實驗中，事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當(dāng)時二項分布

泊松分布

可見，當(dāng)n充分大,p又很小時,可用泊松分布來近似二項分布！實際計算中，時近似效果變很好.二項分布

由泊松定理，n重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等由泊松定理，n重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)例6

一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進該種商品多少件?解設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進該種商品件,求滿足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.例6一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記解設(shè)該商品每保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概率。設(shè)某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保,每個人一年內(nèi)死亡的概率為0.005個，試求在未來一年中在這些投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率．對每個人而言，在未來一年是否死亡相當(dāng)于做一次伯努利試驗，1000人就是做1000重伯努利試驗，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理保險公司為了估計企業(yè)的利潤作業(yè)P58練習(xí)2.312作業(yè)P58練習(xí)2.3122.4連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)一、密度函數(shù)二、有關(guān)事件的概率三、幾種常見的連續(xù)型分布2.4連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)一、密度函數(shù)二、有關(guān)事件的f()為X的概率密度函數(shù),x簡稱密度函數(shù)或分布密度.(或分布密度函數(shù)),一、密度函數(shù)定義f()為X的概率密度函數(shù),x簡稱密度函數(shù)或分布密度.(或xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義根據(jù)定義,可以得到密度函數(shù)的如下性質(zhì)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù).根據(jù)定義,可以得到密度函數(shù)的如下性質(zhì)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個二、有關(guān)事件的概率=0事實上二、有關(guān)事件的概率=0事實上積分中值定理積分中值定理例1設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為求常數(shù)A及X的分布函數(shù)和

解所以例1設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為求常數(shù)A及X的分布函數(shù)和1.如果隨機變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知三、幾種常見的連續(xù)型分布1.如果隨機變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知三、幾種常均勻分布的分布函數(shù)為均勻分布的分布函數(shù)為例2某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站,如果乘客到達此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解以7:00為起點

0,以分為單位,依題意例2某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00解以

7:00為起點

0,以分為單位,依題意為使候車時間少于

5分鐘,乘客必須在

7:10到7:15之間,或在

7:25到

7:30之間到達車站,故所求概率為即乘客候車時間少于5分鐘的概率是

1/3.解以7:00為起點0,以分為單位,依題意為使候車時間少例3

設(shè)隨機變量

X在

[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)對

X進行三次獨立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.

X的分布密度函數(shù)為

{X>3}

表示“對

X的觀測值大于

3的概率”,解因而有設(shè)Y表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則例3設(shè)隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布,2.如果隨機變量

X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布的幾何圖形如圖.注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間.例如，乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等，因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應(yīng)用.2.如果隨機變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為的指指數(shù)分布的重要作用,是常用它來作為各種“壽命”的近似,如通訊、保險、隨機服務(wù)系統(tǒng)等方面3.分布(略)易求得的分布函數(shù)指數(shù)分布的重要作用,是常用它來作為各種“壽命”的近似,如通訊例4某保險公司想開展一種新的壽險業(yè)務(wù)，被保險人需一次性繳納保費1000元，若被保險人在10年內(nèi)死亡，保險公司將賠負5000元，假設(shè)人的壽命服從參數(shù)為1/65的指數(shù)分布.試幫保險公司做出決策.解假設(shè)某人的壽命為X假設(shè)某人投保時年齡為S歲則此人再活10年以上的概率為例4某保險公司想開展一種新的壽險業(yè)務(wù)，被保險人需一次性繳納保因此，被保險人在10年內(nèi)死亡的概率為所以保險公司對該被保險人的預(yù)期收益為1000-0.1426*5000=287(元)結(jié)論:保險公司可以開展這種保險業(yè)務(wù).因此，被保險人在10年內(nèi)死亡的概率為所以保險公司對該被保險人一般化在已活s年的基礎(chǔ)上,再活t年的概率等于壽命大于t年的概率.指數(shù)分布永遠年輕一般化在已活s年的基礎(chǔ)上,再活t年的概率等于壽命大于t年的概作業(yè)P63練習(xí)2.4124作業(yè)P63練習(xí)2.41242.5正態(tài)分布一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系2.5正態(tài)分布一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點一、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其特點正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征概率論課程概率論第2章課件概率論課程概率論第2章課件

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如正