信號(hào)與系統(tǒng)：第八章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析

2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)1第八章

系統(tǒng)的

狀態(tài)變量分析2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)2本章的主要內(nèi)容1、信號(hào)流圖2、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立3、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解4、離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立5、離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解6、狀態(tài)矢量的線性變換2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)3第一節(jié)

信號(hào)流圖

下冊(cè)P2862022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)4一、概述利用方框圖（子系統(tǒng)）組合分析線性系統(tǒng)的方法可使求解過(guò)程簡(jiǎn)化。線性系統(tǒng)的仿真（simulation,也稱模擬）。對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)采用基本運(yùn)算單元：包括相加、倍乘和積分構(gòu)成的系統(tǒng)模型。對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)采用基本運(yùn)算單元：包括相加、倍乘和延時(shí)構(gòu)成的系統(tǒng)模型。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)5

二、信號(hào)流圖

1、產(chǎn)生為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化各種方框圖（子系統(tǒng)）組合方法，出現(xiàn)了線性系統(tǒng)的“信號(hào)流圖”（Signalflowgraphs)表示與分析方法。這個(gè)方法是由美國(guó)麻省理工學(xué)院的梅森（Mason)于20世紀(jì)50年代初首先提出。此后，在反饋系統(tǒng)分析、線性方程組求解、線性系統(tǒng)模擬以及數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)等方面得到廣泛應(yīng)用。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)62、信號(hào)流圖的優(yōu)點(diǎn)（1）系統(tǒng)模型的表示簡(jiǎn)明清楚；（2）系統(tǒng)函數(shù)的計(jì)算過(guò)程明顯簡(jiǎn)化。（3）對(duì)于由多個(gè)反饋環(huán)路組成的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，信號(hào)流圖方法的優(yōu)點(diǎn)更為突出。（4）借助信號(hào)流圖研究系統(tǒng)狀態(tài)空間分析可顯示出許多優(yōu)點(diǎn)。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)73、信號(hào)流圖的表示法用一些點(diǎn)和支路來(lái)描述系統(tǒng)。X(s)Y(s)H(s)看出簡(jiǎn)單的方框圖，變成流圖形式是用一有始有終的線段表示。起始點(diǎn)標(biāo)為X(s),終點(diǎn)標(biāo)為Y(s).X(s)Y(s)H(s)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)84、流圖中的名詞結(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中變量或信號(hào)的點(diǎn)。線段（支路）：兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的定向線段，表示信號(hào)傳輸?shù)穆窂?。箭頭：表示信號(hào)的傳輸方向；轉(zhuǎn)移函數(shù)：兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的增益稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)，標(biāo)注在箭頭附近。輸入結(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)：只有輸出支路的結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的是自變量（即輸入信號(hào)）。輸出結(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)：只有輸入支路的結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的是因變量（即輸出信號(hào)）混合結(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的結(jié)點(diǎn)。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)9通路：沿支路箭頭方向通過(guò)各相連支路的途徑（不允許有相反方向支路存在）。開(kāi)通路：通路與任一結(jié)點(diǎn)相交不多于一次。閉通路（環(huán)路）：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，并且與任何其他結(jié)點(diǎn)相交不多于一次。閉通路又稱環(huán)路。環(huán)路增益：環(huán)路中各支路轉(zhuǎn)移函數(shù)的乘積。不接觸環(huán)路：兩環(huán)路之間沒(méi)有任何公共結(jié)點(diǎn)。前向通路：從輸入結(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）到輸出結(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）方向的通路上，通過(guò)任何結(jié)點(diǎn)不多于一次的全部支路徑。前向通路增益：前向通路中，各支路轉(zhuǎn)移函數(shù)的乘積。因此：每一條支路相當(dāng)于乘法器；結(jié)點(diǎn)可以有很多信號(hào)輸入，而且可以向不同方向輸出。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)10例子1如圖所示：結(jié)點(diǎn)X4有三個(gè)輸入，二個(gè)輸出。按流圖構(gòu)成原則有：H14(s)H24(s)H34(s)H45(s)H46(s)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)11例子2如圖所示方框圖改畫(huà)為信號(hào)流圖形式，并求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。H1(s)H3(s)G2(s)H2(s)G1(s)G3(s)H4(s)G4(s)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)12例子22022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)13例子22022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)14三、信號(hào)流圖的性質(zhì)運(yùn)用信號(hào)流圖時(shí)必須遵循流圖的以下性質(zhì)：（1）支路表示了一個(gè)信號(hào)與另一信號(hào)的函數(shù)關(guān)系。信號(hào)只能沿著支路上的箭頭方向通過(guò)。X(s)Y(s)H(s)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)15（2）結(jié)點(diǎn)可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)16（3）具有輸入和輸出支路的混合結(jié)點(diǎn)，通過(guò)增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹罚梢园阉兂奢敵鼋Y(jié)點(diǎn)來(lái)處理。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)17（4）給定系統(tǒng)，信號(hào)流圖形式并不是惟一的。這是由于同一系統(tǒng)的方程可以表示成不同形式，因而可以畫(huà)出不同的流圖。（5）流圖轉(zhuǎn)置以后，其轉(zhuǎn)移函數(shù)保持不變。所謂轉(zhuǎn)置就是把流圖中各支路的信號(hào)傳輸方向給以調(diào)轉(zhuǎn)，同時(shí)把輸入輸出結(jié)點(diǎn)對(duì)換。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)18例子2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)192022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)20

四、信號(hào)流圖的代數(shù)運(yùn)算流圖既是表示一組線性方程組，代表某一線性系統(tǒng)，因而和系統(tǒng)的方框圖表示一樣，可以按一些代數(shù)運(yùn)算規(guī)則加以簡(jiǎn)化。常用的一些規(guī)則：（1）只有一個(gè)輸入支路的結(jié)點(diǎn)值等于輸入信號(hào)乘以支路增益。因而串聯(lián)支路可以簡(jiǎn)化合并為單一支路。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)21（2）串聯(lián)支路的總增益，等于所有各支路增益的乘積，因而串聯(lián)支路可以簡(jiǎn)化合并為單一支路。（3）通過(guò)并聯(lián)相加可以把并聯(lián)支路合并為單一支路。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)22（4）混合結(jié)點(diǎn)可以按一定方式消掉。（5）環(huán)路可以按一定方式消掉。利用這些信號(hào)流圖的代數(shù)運(yùn)算，可以把一復(fù)雜的流圖加以簡(jiǎn)化。使之只剩下一個(gè)源點(diǎn)和一個(gè)阱點(diǎn)，從而確定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)23例子11-14利用信號(hào)流圖的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則重求下列系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。解（1）消去X1，X1結(jié)點(diǎn)有三個(gè)輸入信號(hào)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)24另一種方法是把輸出支路增益除以（1+G2H2）。這兩種方法等同。（2）消去X2，這個(gè)結(jié)點(diǎn)有二個(gè)輸入信號(hào)和一個(gè)環(huán)路。有二種方法。第一種方法：把所有輸入支路增益除以（1+G2H2）2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)25（3）消去X3。X3是有三個(gè)輸入的混合結(jié)點(diǎn)。消去X2。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)26（4）消去X4。（5）最后結(jié)點(diǎn)消去。它是一個(gè)輸入支路和二個(gè)并聯(lián)環(huán)路組成。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)27最后消去環(huán)路，求得最終的轉(zhuǎn)移函數(shù)。并聯(lián)環(huán)路增益相加。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)28五、信號(hào)流圖的梅森增益公式利用梅森增益公式可以根據(jù)流圖很方便地求得輸入與輸出間的轉(zhuǎn)移函數(shù)。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)29五、信號(hào)流圖的梅森增益公式2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)30例子11-15用梅森公式求下圖所示系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。解：先按梅森公式求出其有關(guān)參數(shù)。求流圖的特征行列式：2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)312022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)32例子11-16用梅森公式求下圖所示系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。解：為了應(yīng)用梅森公式，先求出有關(guān)參數(shù)。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)332022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)342022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)35例子11-17解：連續(xù)系統(tǒng)通常用積分器來(lái)模擬，因而可把上式改寫(xiě)為：用梅森公式求下圖所示系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)362022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)372022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)38作業(yè)P11-27（a)，11-28(b)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)39第二節(jié)

狀態(tài)變量分析概念2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)401.經(jīng)典的線性系統(tǒng)理論一、概論2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)412.現(xiàn)代的線性系統(tǒng)理論2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)42二、狀態(tài)變量的引入2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)43例子一階微分聯(lián)立方程組即為狀態(tài)變量分析法或狀態(tài)空間分析法此方程為狀態(tài)方程2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)44三、狀態(tài)方程引入在狀態(tài)空間分析方法中，將狀態(tài)方程以矢量和矩陣形式表示。如果一個(gè)系統(tǒng)需要k個(gè)狀態(tài)變量來(lái)描述，則狀態(tài)矢量就是k維的矢量，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間就是k維空間。狀態(tài)變量分析法對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)用一階微分聯(lián)立方程來(lái)表述。對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)用一階差分聯(lián)立方程來(lái)表述。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)45四、輸出方程引入當(dāng)系統(tǒng)的階次較高因而狀態(tài)變量數(shù)目較多或系統(tǒng)具有多輸入-多輸出信號(hào)時(shí)，描述系統(tǒng)的方程形式一樣，只是矢量或矩陣的維數(shù)有所增加。以r(t)表示輸出信號(hào)，輸出方程為：實(shí)際上，電路的輸出信號(hào)可能由多個(gè)狀態(tài)變量以及輸入信號(hào)的作用組合而成，則需列出“輸出方程”。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)46五、狀態(tài)變量分析法的優(yōu)點(diǎn)狀態(tài)變量分析法分析系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)在于：（1）便于研究系統(tǒng)內(nèi)部的一些物理量在信號(hào)轉(zhuǎn)換過(guò)程中的變化。它們用狀態(tài)矢量分量表示。（2）系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法與系統(tǒng)的復(fù)雜程度沒(méi)有關(guān)系，復(fù)雜系統(tǒng)和簡(jiǎn)單系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型形式相似，都表示為一些狀態(tài)變量的線性組合，這種以矢量和矩陣表示的數(shù)學(xué)模型特別適用于描述多輸入-多輸出系統(tǒng)。（3）狀態(tài)變量分析法也適用于非線性或時(shí)變系統(tǒng)。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)47（4）狀態(tài)方程的主要參數(shù)表征系統(tǒng)的關(guān)鍵性能。利用狀態(tài)方程分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較方便。（5）因狀態(tài)方程的都是一階微分方程或一階差分方程，因而便于采用數(shù)值解，便于利用計(jì)算機(jī)分析系統(tǒng)。（6）狀態(tài)變量分析法的方法有：時(shí)域法和變換域法。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)48第三節(jié)

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)

狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)49一、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程的結(jié)構(gòu)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)502022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)512022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)522022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)53二、狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)541、直接法2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)55例子12-12022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)56例子12-12022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)57例子12-12022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)582、間接法2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)59狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)602022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)612022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)62狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)63舉例12.32022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)64舉例12.32022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)652022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)662022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)672022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)682022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)692022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)70舉例12.52022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)712022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)722022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)732022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)742022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)752022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)76作業(yè)P36412-1，12-42022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)77第三節(jié)

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)

狀態(tài)方程的求解2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)78一、方程的求解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解，可以采用兩種方法：時(shí)域法：可借助計(jì)算機(jī)求解變換域法：比較簡(jiǎn)單2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)79一、變換域求解法2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)80變換域求解法2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)812022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)82舉例12-62022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)832022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)842022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)85舉例12-62022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)86舉例12-62022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)87(1)定義“矩陣指數(shù)”二、時(shí)域法即用矢量微分方程求解狀態(tài)方程:2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)88(2)

矩陣指數(shù)的性質(zhì)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)89(3)方程的時(shí)域求解2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)902022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)91方程的時(shí)域求解2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)92b.計(jì)算機(jī)解法：由定義求無(wú)窮級(jí)數(shù)之和取有限項(xiàng)；(4)eAt的求法雖然狀態(tài)方程及輸出方程的形式都求出來(lái)，但要求出其解關(guān)鍵是要求出eAt。求其方法有：2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)93方程的時(shí)域求解凱萊-哈密頓定理2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)94（1）先寫(xiě)出A的特征方程式，并求出其特征根。eAt的求解2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)95舉例12.62022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)962022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)972022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)98舉例8.32022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)99舉例12.62022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)100舉例12.62022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)1012022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)1022022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)103舉例12-82022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)1042022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)105三、由狀態(tài)方程求解系統(tǒng)函數(shù)H(s)2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)1062022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)107舉例12-1025-53-1-12022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)1082022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)109作業(yè)P36712-10，12-122022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)110第四節(jié)

離散時(shí)間系統(tǒng)

狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)111一、狀態(tài)方程的建立2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)112看出：（1）（n+1)時(shí)刻的狀態(tài)變量是n時(shí)刻狀態(tài)變量和輸入信號(hào)的函數(shù)。（2）在離散系統(tǒng)中，動(dòng)態(tài)元件是延時(shí)單元，因而狀態(tài)變量常常取延時(shí)單元的輸出。2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)113舉例12-112022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)1142022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)115連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出方程與離散時(shí)間的狀態(tài)、輸出方程比較2022/11/22信號(hào)與系統(tǒng)116二、離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解1、時(shí)域法2022/11/22