概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第2章 隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量及其分布第2章

為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律,有必要引入隨機(jī)變量來描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.無論什么隨機(jī)試驗(yàn)，可用一個(gè)變量的不同取值來描述其全部可能結(jié)果。例

(1)隨機(jī)地?cái)S一顆骰子，ω表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),ω:出現(xiàn)1點(diǎn)出現(xiàn)2點(diǎn)出現(xiàn)3點(diǎn)出現(xiàn)4點(diǎn)出現(xiàn)5點(diǎn)出現(xiàn)6點(diǎn)X(ω):123456(2)某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車,旅客在任意時(shí)間到達(dá)車站,ω表示該旅客的候車時(shí)間,ω候車時(shí)間X(ω)[0,10]§2.1隨機(jī)變量設(shè)是試驗(yàn)E的樣本空間,若則稱

X()為上的隨機(jī)變量，簡記r.v.X=X().r.v.一般用大寫字母X,Y,Z或希臘字母,等表示.定義隨機(jī)變量(randomvariable)按一定法則通俗地講，隨機(jī)變量就是依照試驗(yàn)結(jié)果而取值的變量。隨機(jī)變量是上的映射,此映射具有如下特點(diǎn)

定義域事件域

隨機(jī)性

r.v.

X

的可能取值不止一個(gè),試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值，但不能預(yù)知取哪個(gè)值

概率特性

X

以一定的概率取某個(gè)值

例1

某銀行辦理有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄，100000張為一組，設(shè)一等獎(jiǎng)一張，獎(jiǎng)金1000元；二等獎(jiǎng)10張，每張獎(jiǎng)金100元；三等獎(jiǎng)100張，每張獎(jiǎng)金10元；四等獎(jiǎng)1000張，每張獎(jiǎng)金1元；其余無獎(jiǎng)。設(shè)某人買一張獎(jiǎng)券，其中獎(jiǎng)情況為一隨機(jī)變量，可表示成下面三種。

1)得獎(jiǎng)金額的樣本空間為：Ω＝{0元，1元，10元，100元，1000元}

則表示得獎(jiǎng)金額的隨機(jī)變量為：ω0元1元10元100元1000元X(ω)011010010002)得獎(jiǎng)等級(jí)的樣本空間為：Ω＝{1等獎(jiǎng)，2等獎(jiǎng)，3等獎(jiǎng)，4等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng)}我們用數(shù)“5”表示無獎(jiǎng)，則表示得獎(jiǎng)等級(jí)的隨機(jī)變量為：

ω1等獎(jiǎng)2等獎(jiǎng)3等獎(jiǎng)4等獎(jiǎng)無獎(jiǎng)X(ω)123453)是否得獎(jiǎng)的樣本空間為Ω＝{得獎(jiǎng)，不得獎(jiǎng)}我們用數(shù)“1”表示得獎(jiǎng)，用數(shù)“0”表示不得獎(jiǎng)，則表示得獎(jiǎng)的隨機(jī)變量為：

ω得獎(jiǎng)不得獎(jiǎng)X(ω)10引入r.v.后,可用r.v.的等式或不等式表達(dá)隨機(jī)事件.

r.v.的函數(shù)一般也是r.v.例2

觀察某電話交換臺(tái)，在時(shí)間Ｔ內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間Ω＝｛０,１.２，……｝。定義隨機(jī)變量Ｘ就表示在時(shí)間Ｔ內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。則，Ａ＝{接到呼喚次數(shù)不超過１０次}={Ｘ≤１０｝Ｂ＝｛接到呼喚次數(shù)介于５至１０次之間｝＝｛５≤Ｘ≤1０｝離散型非離散型r.v.分類其中一種重要的類型為

連續(xù)性r.v.引入r.v.重要意義

任何隨機(jī)現(xiàn)象可被r.v.描述

借助微積分方法將討論進(jìn)行到底§2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義

若隨機(jī)變量X

的可能取值是有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè),則稱X

為離散型隨機(jī)變量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或離散隨機(jī)變量及分布律即非負(fù)性歸一性X~或分布列中的稱為X的概率函數(shù)，它滿足注意離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求:(1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值;(2)設(shè)法（如利用古典概率）計(jì)算取每個(gè)值的概率.(3)列出隨機(jī)變量的概率分布表（或?qū)懗龈怕屎瘮?shù)）.例1設(shè)袋中裝著分別標(biāo)有-1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個(gè)球，現(xiàn)從袋中任取一球，令X表示取得球上所標(biāo)的數(shù)字，求X的分布律。

解：X的可能取值為-1，2，3，且容易求得

故X的分布律為

X-123p1/61/21/3(1)

0–1分布（兩點(diǎn)分布）是否超標(biāo)等等.

常見離散r.v.的分布凡試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果,常用0–1分布描述,如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗X=xk

10Pkp1-p0<p<

1應(yīng)用場合或例2.一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，若令X表示抽得廢品的數(shù)目，即則X的分布律為X01p95%5%(2)二項(xiàng)分布n

重Bernoulli試驗(yàn)中,X是事件A

在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),P(A)=p,若則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項(xiàng)分布，記作0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布.

當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí),在k=(n+1)p與(n+1)p–1處的概率取得最大值

當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時(shí),在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值二項(xiàng)分布的取值情況當(dāng)p＝0.5,二項(xiàng)分布的取值是對(duì)稱的；當(dāng)p＝0.5時(shí)，二項(xiàng)分布的取值是非對(duì)稱的；固定p,隨著n

的增大，其取值的分布趨于對(duì)稱.產(chǎn)品抽樣中，二項(xiàng)分布與有放回抽樣有關(guān)。例如，從含有M件次品的N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件，這n件抽取產(chǎn)品中所含的次品數(shù)服從二項(xiàng)分布。(3)Poisson分布若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布.或記作在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼喚次數(shù)；市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；⑥⑦⑧應(yīng)用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；,則對(duì)固定的

k設(shè)定理（Possion定理）Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式二項(xiàng)分布的極限分布是Poisson分布結(jié)論在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n

20,p0.05時(shí),可用Poisson公式近似計(jì)算;而當(dāng)n

100,p0.01時(shí),精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二項(xiàng)分布

按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1例3

設(shè)某廠供2000個(gè)產(chǎn)品，其中有40個(gè)次品.有放回地隨機(jī)抽取100個(gè)樣品，求樣品中次品數(shù)X的概率分布。解：由題意可知：X~B(100，0.02）因n＝100足夠大，而p=0.02較小，取，則有為X

的分布函數(shù).

設(shè)X為r.v.,x是任意實(shí)數(shù),稱函數(shù)§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義（]ab]]（]用分布函數(shù)計(jì)算

X落在(

a,b]里的概率：分布函數(shù)的性質(zhì)

且

F(x)右連續(xù)，即

F(x)單調(diào)不減，即

F(x)是分段階梯函數(shù),在X

的可能取值xk處發(fā)生間斷,間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度

pk.離散隨機(jī)變量及分布函數(shù)?0?1?2?3?4xx]]]?]??XP

012340.60.240.0960.03840.0256例1：求F（x）?0?1?2?3?4xF(x)o?o?1?o?o?o§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義

設(shè)

X

是隨機(jī)變量,若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型r.v.

，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，簡記為d.f.連續(xù)型r.v.的概念xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義p.d.f.

f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性r.v.的d.f.

在f(x)

的連續(xù)點(diǎn)處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率注意:對(duì)于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是隨機(jī)變量

X

的一個(gè)可能的取值命題

連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零對(duì)于連續(xù)型r.v.

Xbxf(x)axf(x)a例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命X為連續(xù)r.v.,其d.f.為(1)求常數(shù)c(2)

計(jì)算解(1)令c=1000(2)

(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機(jī)變量的分布若X的d.f.

為則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

X

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作X

的分布函數(shù)為xf(x)abxF(x)ba即X落在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí),若在小數(shù)點(diǎn)后第k

位進(jìn)行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機(jī)變量應(yīng)用場合例2

秒表最小刻度值為0.01秒.若計(jì)時(shí)精度是取最近的刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X的d.f.并計(jì)算誤差的絕對(duì)值不超過0.004秒的概率.解

X等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則(2)指數(shù)分布若X

的d.f.為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)1xF(x)0xf(x)0對(duì)于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問題中的通話時(shí)間無線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似(3)正態(tài)分布若X的d.f.為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，亦稱高斯(Gauss)分布N(-3,1.2)f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱,即在x=

時(shí),f(x)取得最大值在x=±

時(shí),曲線

y=f(x)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線

y=f(x)以x軸為漸近線f(+x)=f(-x)

f(x)的兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對(duì)于不同的,對(duì)應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對(duì)于不同的，f(x)的形狀不同.大小幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比可用正態(tài)變量描述的實(shí)例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生的考試成績；一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)-xx對(duì)一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換例4

設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解

附表

例5

已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一解二圖解法0.2由圖0.3例6

3原理設(shè)

X~N(,2),求解一次試驗(yàn)中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間可能性很小由3原理知，當(dāng)關(guān)于的計(jì)算問題：第一步，標(biāo)準(zhǔn)化：第二步，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖像的對(duì)稱性，和兩個(gè)核心公式計(jì)算：其中在圖像中表示，X=x直線左邊的面積，總面積是1.。

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.求截面面積A=

的分布.例如，已知圓軸截面直徑d

的分布，§2.5r.v.

函數(shù)的分布方法

將與Y

有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X

的事件求

隨機(jī)因變量Y=g(X)的密度函數(shù)或分布律問題

已知r.v.

X的d.f.或分布律.離散型r.v.函數(shù)的分布設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X)

X則隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的其分布律為P(Y)Y說明：若有則將其概率合并為，只寫一個(gè)。例1已知

X

的概率分布為Xpk-1012求Y

1=2X–1與

Y2=X

2

的分布律解Y1pi-3-113Y2pi1014Y2pi014已知

X的d.f.

f(x)或分布函數(shù)求Y=g(X)的d.f.

方法：從Y的分布函數(shù)出發(fā)

連續(xù)性r.v.函數(shù)的分布此法也叫“

分布函數(shù)法”例2

已知X的d.f.為為常數(shù)，且

a0,求fY(y)解當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)a<0時(shí)，故解：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，例3設(shè)X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是