概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程：第二章 隨機(jī)變量及其概率分布

第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布

從概率的定義我們知道，概率是自變量為集合的特殊的函數(shù)；為了能用變量，函數(shù)及微積分等工具來(lái)得出事件發(fā)生的概率、研究隨機(jī)現(xiàn)象，引進(jìn)了概率論中的另一重要概念――隨機(jī)變量?！?.1隨機(jī)變量例1、拋一枚硬幣1次，觀(guān)察正(H)、反(T)面朝上的情況。例2、從含有2個(gè)黑球，3個(gè)白球的盒子中任取3個(gè)球，觀(guān)察取出球的情況。若令X表示取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)例3、觀(guān)察某網(wǎng)站在一段時(shí)間內(nèi)被點(diǎn)擊次數(shù)。例4、觀(guān)察某廠(chǎng)生產(chǎn)燈泡的使用壽命t.定義：設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，Ω＝是其樣本空間，如果對(duì)每一個(gè)，有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)X是E的一個(gè)隨機(jī)變量。

（1）由定義可知，隨機(jī)試驗(yàn)E的隨機(jī)變量不是唯一的。例2中，我們也可以定義隨機(jī)變量Y：“3個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)”，則Y也是隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)隨機(jī)變量。說(shuō)明（2）引進(jìn)隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量在實(shí)數(shù)軸上某一個(gè)集合中取的值來(lái)表示。所以，研究隨機(jī)事件的概率就轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量取值的概率?！?.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)而言，僅僅知道它可能的出現(xiàn)的隨機(jī)事件并不重要，重要的是這些事件出現(xiàn)的可能性有多大。相對(duì)于隨機(jī)變量X來(lái)說(shuō)，就是X取什么值不重要，重要的是X取這些值的概率有多大。注意（1）分布函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)；（2）分布函數(shù)在x處的取值所表示的是隨機(jī)變量X在上的概率。定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)就稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)。分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)不減，即若，則有（2）且（3）右連續(xù)，即特別需要說(shuō)明的是：隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有上述3條性質(zhì)；反之也成立。例1、判斷以下函數(shù)是否為分布函數(shù)：

關(guān)于分布函數(shù)還有一些常用公式：（1）（2）（3）（4）（8）（5）（6）（7）§2.3離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的可取值范圍，有的可以排列出來(lái)，有的不能排列出來(lái)。把可取值能按一定的次序一一列舉出來(lái)的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。定義：如果離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值為，則稱(chēng)P(X=xk)＝pk為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列或分布律。分布律又常常表示為表格的形式：Xx1x2

…xk…Pp1p2

…pk…一、離散型隨機(jī)變量的分布列例1、一射手對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，一次擊中的概率為0.8（1）求一次射擊的分布列；（2）求到擊中目標(biāo)為止所需的射擊次數(shù)的分布列。解（1）設(shè){X=0}＝{擊不中目標(biāo)}，{X=1}＝{擊中目標(biāo)}，則：

p1＝P(X=0)＝0.2，p2＝P(X=1)＝0.8所以分布列為：X01

pk0.20.8所以Y的分布律為：pk＝P(Y=k)＝0.2k-1×0.8，k=1,2,…或者Y的分布律用表格表示為

Y12…k…

pk0.80.2×0.8…0.2k-1×0.8…

（2）設(shè)射擊到擊中目標(biāo)為止，射擊的次數(shù)是隨機(jī)變量Y，則Y∈{1,2,3,…,k,…}。例2、把3個(gè)球任意的放到4個(gè)盒子中，令X表示落到第1個(gè)盒中球的個(gè)數(shù)，求X的分布列。解：分布律的性質(zhì)：反之，若數(shù)列滿(mǎn)足這兩條性質(zhì)，則一定是某一離散型隨機(jī)變量的分布律。（1）（2）例3、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為求正數(shù)a的值。解：根據(jù)性質(zhì)所以，例4、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列其中，為已知，求常數(shù)C。解：對(duì)隨機(jī)變量而言，除了要研究其分布列以外，還要研究其分布函數(shù)。根據(jù)上一節(jié)的內(nèi)容可得離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

從幾何上來(lái)看，這個(gè)函數(shù)的圖像應(yīng)是階梯型例5、把3個(gè)球任意的放到4個(gè)盒子中，令X表示落到第1個(gè)盒中球的個(gè)數(shù),求X的分布函數(shù)。解：X的分布列為X0123則分布函數(shù)為：

二、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量

（1）（0-1）分布：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個(gè)數(shù)值，它的分布律為

其中，則稱(chēng)X

服從（0-1）分布。（2）二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X的分布律為

其中，則稱(chēng)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記為，當(dāng)時(shí)，就是（0-1）分布。定義：把試驗(yàn)E在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次，各次試驗(yàn)的結(jié)果有限且互不影響，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)為n次獨(dú)立試驗(yàn)。

如果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，則n次獨(dú)立試驗(yàn)又稱(chēng)為n重伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)。定理：設(shè)X是n重伯努利實(shí)驗(yàn)中成功（A發(fā)生）的次數(shù)，則X~B(n,p)，其中p=P(A)例6、在正常情況下，家禽感染某種疾病的概率為0.2，現(xiàn)發(fā)明了一種新藥，把它注射到25只健康的家禽身上，結(jié)果有1只家禽感染了這種疾病，試評(píng)價(jià)這種藥物的療效。定理：X~B(n,p)，則此時(shí)X的取值即為事件A最可能成功的次數(shù)，當(dāng)k為最可能成功的次數(shù)時(shí)，稱(chēng)P(X=k)為二項(xiàng)分布的中心項(xiàng)。例7、為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人?，F(xiàn)有同類(lèi)設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率為0.001，在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障由一個(gè)工人來(lái)處理。問(wèn)至少要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障后但不能及時(shí)維修的概率小于0.01？解：設(shè)需要配備N(xiāo)名工人。記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求最小的N，使此時(shí)我們用二項(xiàng)分布公式來(lái)計(jì)算，很難得出結(jié)果，因此必須找另外的方法。查表得:N+1=3,即N=2。因此，為滿(mǎn)足要求，至少需配備2名工人。定理：（3）泊松（Poisson）分布：設(shè)隨機(jī)變量X可能取的一切值為0，1，2，…，而取各個(gè)值的概率為，其中是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松（Poisson）分布，記為X～P（）。定理：

，則①當(dāng)是整數(shù)時(shí)，②當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，（4）超幾何分布：若X的分布律為則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，記為（5）幾何分布：若隨機(jī)變量X的分布律為則稱(chēng)X服從幾何分布，記為。（6）負(fù)二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X的分布律為其中0<p<1已知，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從負(fù)二項(xiàng)分布，記為。一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念

如果隨機(jī)變量的取值能充滿(mǎn)實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)區(qū)間，甚至于整個(gè)實(shí)數(shù)軸。這樣的隨機(jī)變量稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量?！?-4連續(xù)型隨機(jī)變量定義：設(shè)隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為。若存在非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)于任一實(shí)數(shù)x

有①則稱(chēng)X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)稱(chēng)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度。概率密度的性質(zhì)：（1）（2）反之，任何一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足了（1），（2），則由①定義的也一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。例1：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：

，－∞<x<+∞，求常數(shù)C。例2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)A及其概率密度函數(shù)。（3）若在x處連續(xù)，則注意：一般的，同一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)可以有許多，但它們除了在有限個(gè)點(diǎn)或可數(shù)個(gè)點(diǎn)上不相等外，其它點(diǎn)都相等。也即連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是“幾乎處處”唯一的。

所以對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X而言，概率為0的事件未必是不可能事件；概率為1的事件也未必是必然事件。（4）連續(xù)型隨機(jī)變量X在一個(gè)點(diǎn)上取值的概率恒為0。二、幾個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量

1、均勻分布記為。設(shè)有連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度為則稱(chēng)X在區(qū)間上服從均勻分布，分布函數(shù)：

例3、設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行4次獨(dú)立觀(guān)察，求至少有一次觀(guān)察值大于2/3的概率。2、指數(shù)分布若隨機(jī)變量X具有密度：其中，是常數(shù)，則稱(chēng)X

服從參數(shù)為λ

的指數(shù)分布。記為：X～。（指數(shù)分布又常被稱(chēng)為壽命分布）分布函數(shù)：指數(shù)分布有一個(gè)特性：無(wú)記憶性。我們看下面的例子：例6、某種電器元件的使用壽命X服從參數(shù)為λ＝1/2000的指數(shù)分布（單位：小時(shí)）（1）任取一個(gè)元件，求能正常使用1000小時(shí)以上的概率。（2）求其正常使用1000小時(shí)后還能使用1000小時(shí)的概率。由本題可見(jiàn)，指數(shù)分布的無(wú)記憶性；其實(shí)，不僅是指數(shù)分布有這樣的性質(zhì)，幾何分布也同樣具有這樣的性質(zhì)。一般的，有3.正態(tài)分布定義：連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：其中μ、σ都是常數(shù)(－∞<μ<+∞，σ>0)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ、σ的正態(tài)分布，記為：X～N(μ,σ2)。正態(tài)曲線(xiàn)具有以下性質(zhì)：（1）曲線(xiàn)位于x軸的上方，以直線(xiàn)x=μ為對(duì)稱(chēng)軸，它向左向右對(duì)稱(chēng)地?zé)o限延伸，并且以x軸為漸近線(xiàn)；（2）當(dāng)x=μ時(shí)曲線(xiàn)處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左右遠(yuǎn)離μ時(shí)，曲線(xiàn)逐漸降低，整條曲線(xiàn)呈現(xiàn)“中間高、兩邊低”的形狀；

（3）參數(shù)σ決定了正態(tài)曲線(xiàn)的形狀，σ愈大，曲線(xiàn)愈“矮胖”(即分布愈分散)，σ愈小，曲線(xiàn)愈“高瘦”(即分布愈集中于μ的附近)。

參數(shù)μ確定曲線(xiàn)的位置，反映了分布的集中點(diǎn)，由于曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=μ對(duì)稱(chēng)，所以稱(chēng)μ為正態(tài)分布的分布中心。σ反映了分布的分散程度。注特殊的：當(dāng)μ＝0、σ＝1時(shí)的分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1)，則其密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的聯(lián)系：重要公式：定理：設(shè)X～，則服從。例7、某科統(tǒng)考成績(jī)近似服從正態(tài)分布在參加統(tǒng)考的人中，及格者100人，（及格分?jǐn)?shù)為60分）計(jì)算：（1）不及格人數(shù)。（2）估計(jì)第10名的成績(jī)。例8、測(cè)量某一目標(biāo)的距離時(shí)，測(cè)量誤差X(cm)～N(50,1002)，求：（1）測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過(guò)150厘米的概率。（2）在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)150厘米的概率。α分位點(diǎn)：給定常數(shù)α

，若存在數(shù)