高中數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)問(wèn)題十九

備注：對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究準(zhǔn)備撰稿成文，請(qǐng)勿外傳.挑戰(zhàn)問(wèn)題19：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F分別為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，BE<BF，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G.當(dāng)時(shí)，MH=；判斷的積是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.方法1：（見(jiàn)等腰想旋轉(zhuǎn)）將△ACF繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△BCF'，由于∠ECF=45°，∠ACB=90°，則∠ACF+∠BCE=45°，于是有∠BCF'+∠BCE=45°=∠ECF'=∠ECF，且CF=CF',CE=CE,所以，△ECF≌△ECF'，所以，EF=EF'，而∠EBF'=45°+45°=90°，有勾股定理可知：BE2+BF'2=EF'2，則有BE2+AF2=EF2.當(dāng)時(shí)，設(shè)MH=x，由BE2+AF2=EF2可得方程：，解得：.基于“從特殊到一般”的思想方法，設(shè)，則由BE2+AF2=EF2可得方程：，可得：，即方法2：（見(jiàn)等腰想旋轉(zhuǎn)）將△BCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△ACE'，過(guò)程類同于方法1也能得到BE2+AF2=EF2.當(dāng)時(shí)，設(shè)MH=x，由BE2+AF2=EF2可得方程：，解得：.（2）基于“從特殊到一般”的思想方法，設(shè)，則由BE2+AF2=EF2可得方程：，可得：，即方法3：（見(jiàn)半角模型想翻折）將△ACF沿著CF翻折得到△A'CF，連接A'E，由于∠ECF=45°，∠ACB=90°，則∠ACF+∠BCE=45°，于是有∠A'CF+∠BCE=45°=∠A'CF+∠A'CE，所以，∠A'CE=∠BCE，且CB=CA',CE=CE,所以，△BCE≌△A'CE，則有：BE=A'E，同理可知△A'EF是直角三角形.也易得：BE2+AF2=EF2，接下來(lái)求解過(guò)程和上面相同，設(shè)，可得：，即方法4：（面積法）無(wú)論是用旋轉(zhuǎn)圖形運(yùn)動(dòng)還是用翻折圖形運(yùn)動(dòng)都能得到：BE2+AF2=EF2，接下來(lái)過(guò)程和上面完全不同，由BE2+AF2=EF2想到S△BEH+S△AFG=S△MEF,從而便有,于是，,很快有成立方法5：（由線段之“積”“比”想三角形相似）由于∠ACB=90°，AC=BC，則∠A=∠B=45°，由于∠ECF=45°，所以有∠BCF=∠ECF+∠BCE=45°+∠BCE=∠B+∠BCE=∠AEC，可得△ACE與△BFC相似.所以有,， 方法6：（由線段之“積”“比”想三角形相似）作CQ⊥AB，容易證明△CHE與△CQF相似，△CEQ與△CFG相似，則有方法7：（構(gòu)圓法）構(gòu)造△CEF外接圓O，設(shè)半徑為r，MG=CH=x，在中，勾股定理得，解得：，，那么， 套個(gè)“馬甲”搖身一變“反比例函數(shù)”能力題：如圖，一次函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為F、E，點(diǎn)C、D是線段EF上兩點(diǎn)，滿足∠COD=45°，F(xiàn)D