新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第5章平面向量復(fù)數(shù)第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教師用書(shū)

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考試要求：1．理解平面向量基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．3．能用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．平面向量基本定理與基底平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．理解基底應(yīng)注意以下兩點(diǎn)(1)基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．對(duì)于一組基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法①一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)．1．向量坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵．2．要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)，盡管在形式上它們類似，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息，也有大小的信息．3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)．因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0．4．常用結(jié)論(1)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0．(2)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))．(3)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底． (×)(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2． (√)(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示． (√)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)． (×)(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)． (√)2．如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：①eq\o(AD,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))；②eq\o(DA,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))；③eq\o(CA,\s\up7(→))與eq\o(DC,\s\up7(→))；④eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))．其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④B解析：①中eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))不共線；③中eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))不共線，故①③能作為基底．3．如圖，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，下列等式中成立的是()A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a B．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bC．c＝2a－b D．c＝2b－aB解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，所以eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝2(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，即c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b．4．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A．－eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)A解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3)．5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則用a，b表示c為_(kāi)_________．c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b解析：設(shè)c＝x1a＋x2b，因?yàn)橄蛄縜＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，所以(－1,2)＝(x1＋x2，x1－x2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－1，,x1－x2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,2)，,,x2＝－\f(3,2)，))所以c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b．考點(diǎn)1平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算——基礎(chǔ)性1．(2021·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(0,2)，若向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2,3)，則向量eq\o(BC,\s\up7(→))＝()A．(3，－2) B．(2，－2)C．(－3，－2) D．(－3,2)D解析：由已知，得eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1,1)，則eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．2．(多選題)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，下列四組向量中能作為基底的是()A．e2和e1＋e2B．2e1－4e2和－e1＋2e2C．e1和e1－e2D．e1＋2e2和2e1＋e2ACD解析：由于e2和e1＋e2，e1和e1－e2，e1＋2e2和2e1＋e2這三組向量均不共線，故可以作為基底；2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，故2e1－4e2和－e1＋2e2共線，不可以作為基底．故選ACD．3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且A(1,1)，C(2,3)，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up7(→))|，則向量eq\o(OB,\s\up7(→))的坐標(biāo)是________．(4,7)解析：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up7(→))|，所以eq\o(BC,\s\up7(→))＝－2eq\o(AC,\s\up7(→))．設(shè)點(diǎn)B(x，y)，則(2－x,3－y)＝－2(1,2)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq\o(OB,\s\up7(→))的坐標(biāo)是(4,7)．解答有關(guān)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)要注意：(1)掌握好向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則，否則易出錯(cuò)．(2)運(yùn)用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，建立方程(組)求解，要特別注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．(3)建立坐標(biāo)系將線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算將使解題更便捷，如第3題．利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進(jìn)行求解．考點(diǎn)2平面向量共線的表示——應(yīng)用性考向1利用向量共線求參數(shù)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．eq\f(1,2)解析：因?yàn)?a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝eq\f(1,2)．利用兩向量共線求參數(shù)已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．考向2利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(3,3)解析：方法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up7(→))＝(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．方法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up7(→))＝(x，y)，因?yàn)閑q\o(OB,\s\up7(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng)．又eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程組，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．1．若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．－eq\f(5,4)解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－3,4)，因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C共線，所以eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，所以4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，所以a＝－eq\f(5,4)．2．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(－4，－2)解析：因?yàn)閍與b的方向相反，所以可設(shè)a＝λb(λ<0)，所以a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a|＝eq\r(5λ2)＝2eq\r(5)，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．考點(diǎn)3平面向量基本定理及應(yīng)用——綜合性考向1用已知基底表示向量如圖，以向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b為鄰邊作平行四邊形OADB，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(ON,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→))．解：因?yàn)閑q\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，所以eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b．因?yàn)閑q\o(OD,\s\up7(→))＝a＋b，所以eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b．綜上，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b．用已知基底表示向量的關(guān)注點(diǎn)(1)理論依據(jù)：平面向量基本定理．(2)方法：利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．考向2解析法(幾何法)在向量中的應(yīng)用已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)A解析：如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2)．因?yàn)椤螪AB＝60°，所以設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up7(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3)．應(yīng)用平面向量基本定理解題的兩種思路(1)基向量法．(2)坐標(biāo)法．能用坐標(biāo)法解決的問(wèn)題，一般不用基向量法．考向3利用平面向量基本定理求參數(shù)或參數(shù)范圍問(wèn)題(2021·江蘇蘇北模擬)在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高．若eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ－μ＝________．eq\f(1,3)解析：根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖，因?yàn)锳D為BC邊上的高，所以AD⊥BC．因?yàn)锳B＝2，∠ABC＝30°，則BD＝eq\r(3)，所以BD＝eq\f(1,3)BC，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))．又因?yàn)閑q\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，故λ－μ＝eq\f(1,3)．用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．四邊形ABCD是等腰梯形，E，F(xiàn)分別是腰AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是EF(靠近點(diǎn)F)的一個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))．若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,2)B解析：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，則四邊形AFCD是平行四邊形，所以CF∥AD，且CF＝AD．因?yàn)閑q\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up7(→))－eq\o(FB,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2)，所以λ＋μ＝eq\f(5,4)．拓展考點(diǎn)極化恒等式a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．(1)極化恒等式的幾何意義是：設(shè)點(diǎn)D是△ABC中邊BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up7(→))|2＝eq\o(AD,\s\up7(→))2－eq\o(BD,\s\up7(→))2，即向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差．(2)具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺”向量數(shù)量積問(wèn)題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．(3)遇到共起點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題，常取第三邊的中點(diǎn)，從而運(yùn)用極化恒等式加以解決．在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB為鈍角，M，N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝1．若eq\o(CM,\s\up7(→))·eq\o(CN,\s\up7(→))的最小值為eq\f(3,4)，則cos∠ACB＝________．eq\f(1－3\r(5),8)解析：取MN的中點(diǎn)P，則由極化恒等式得eq\o(CM,\s\up7(→))·eq\o(CN,\s\up7(→))＝|eq\o(CP,\s\up7(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(MN,\s\up7(→))|2＝|eq\o(CP,\s\up7(→))|2－eq\f(1,4)．因?yàn)閑q\o(CM,\s\up7(→))·eq\o(CN,\s\up7(→))的最小值為eq\f(3,4)，所以|eq\o(CP,\s\up7(→))|min＝1．由平面