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《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第9章相關(guān)與回歸分析《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第9章相關(guān)與回歸分析9.1相關(guān)關(guān)系

9.3.4多元線性回歸方程的

9.1.1相關(guān)關(guān)系的概念顯著性檢驗(yàn)

9.1.2相關(guān)關(guān)系的度量9.3.5運(yùn)用多元線性回歸方9.2一元線性回歸

程進(jìn)行估計(jì)

9.2.1一元線性回歸模型9.4非線性回歸的線性化

9.2.2一元線性回歸方程的最小二乘估計(jì)

9.2.3一元線性回歸方程的擬合優(yōu)度

9.2.4一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

9.2.5運(yùn)用一元線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)9.3多元線性回歸

9.3.1多元線性回歸模型

9.3.2多元線性回歸方程的最小二乘估計(jì)

9.3.3多元線性回歸方程的擬合優(yōu)度2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第9章相關(guān)與回歸分第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系9.1.1相關(guān)關(guān)系的概念1．

變量的函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系變量之間的數(shù)量關(guān)系可區(qū)分為確定性與不確定性兩類(lèi)。

數(shù)值型數(shù)據(jù)的確定性數(shù)量關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系遵循嚴(yán)格的因果律。如在國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算中“國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值=消費(fèi)+積累+進(jìn)出口凈額”，或者“國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值=固定資產(chǎn)折舊+勞動(dòng)者報(bào)酬+企業(yè)盈利+生產(chǎn)稅凈額”，反映的是國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算中的數(shù)量衡等關(guān)系，這些都是變量之間確定性的數(shù)量關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系。

數(shù)值型數(shù)據(jù)的不確定性的數(shù)量關(guān)系稱為統(tǒng)計(jì)關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系也是一種客觀存在的變量之間的數(shù)量關(guān)系，反映了變量之間的一種不嚴(yán)格的數(shù)量依存關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，相關(guān)關(guān)系遵循廣義的因果律。相關(guān)關(guān)系（Correlation）是指變量之間客觀存在的不確定的數(shù)量關(guān)系。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系2．相關(guān)分析與回歸分析相關(guān)關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的主要對(duì)象之一。在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中圍繞相關(guān)關(guān)系已經(jīng)形成了兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)方法——相關(guān)分析和回歸分析。雖然，相關(guān)分析和回歸分析都是以相關(guān)關(guān)系為研究對(duì)象，由于其研究相關(guān)關(guān)系內(nèi)容的側(cè)重，和所反映相關(guān)關(guān)系特征的角度不同，兩者存在以下區(qū)別。（1）描述的方式不同相關(guān)分析主要采用相關(guān)系數(shù)來(lái)度量變量之間的相關(guān)關(guān)系。通過(guò)相關(guān)系數(shù)數(shù)值的大小來(lái)度量相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱?；貧w分析要采用通過(guò)擬合回歸模型來(lái)度量變量之間的相關(guān)關(guān)系。通過(guò)回歸模型來(lái)反映相關(guān)關(guān)系的具體形式。有回歸模型的一般形式為（9.2）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系（2）變量的地位不同相關(guān)分析中變量之間的地位是對(duì)等的、可以相互置換的，變量與變量的相關(guān)系數(shù)，等價(jià)于變量與變量的相關(guān)系數(shù)。

回歸分析中變量之間的地位是不對(duì)等、不能相互置換的，在回歸模型方程式（9.2）等號(hào)右邊的變量是解釋等號(hào)右邊的變量取值的因素，因此稱之為自變量；等號(hào)左邊的變量是被自變量所解釋的因素，所以稱之為因變量。自變量（IndependentVariable）是指在回歸分析中，解釋因變量的一個(gè)或一組變量，因此也被稱為解釋變量，一般用x表示。因變量（DependentVariable）是指在回歸分析中，被解釋的變量，因此也被稱為被解釋變量，一般用y表示。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系（3）描述的內(nèi)容不同相關(guān)分析通過(guò)相關(guān)系數(shù)描述，所反映的是變量之間相關(guān)關(guān)系的方向和大小程度?；貧w分析借助回歸模型不僅描述了變量之間相關(guān)關(guān)系的方向和大小程度，還刻畫(huà)了變量之間相關(guān)關(guān)系的的具體形式，回歸模型可以用于預(yù)測(cè)和控制。（4）變量的性質(zhì)不同相關(guān)分析中的變量都是隨機(jī)變量。在回歸分析中，因變量是隨機(jī)變量；自變量可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定性變量。當(dāng)自變量為隨機(jī)變量時(shí)，不滿足普通最小二乘方法估計(jì)回歸方程的要求，需要采用工具變量方法，或者最大似然方法來(lái)進(jìn)行估計(jì)。因此，在采用普通最小二乘估計(jì)時(shí)，總是規(guī)定自變量為非隨機(jī)的確定性變量。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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9.1相關(guān)關(guān)系9.1.2相關(guān)關(guān)系的度量1．散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖（ScatterDiagram）是指由變量數(shù)值在直角坐標(biāo)系中的分布點(diǎn)構(gòu)成的二維數(shù)據(jù)分布圖。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系

散點(diǎn)圖的作用就是通過(guò)兩個(gè)數(shù)值型變量之間在二維平面的直角坐標(biāo)中的分布圖形，粗略地把握變量之間相關(guān)關(guān)系的基本態(tài)勢(shì)。例如變量之間的線性特征越顯著，說(shuō)明其相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，反之則越弱；兩個(gè)變量之間的數(shù)值呈同方向變化為正相關(guān)，否則為負(fù)相關(guān)。借助散點(diǎn)圖還可以概略地區(qū)分和識(shí)別變量之間的非線性相關(guān)的具體類(lèi)型，為回歸分析確定回歸方程的具體形式提供依據(jù)，這也是散點(diǎn)圖的重要功能。例如，通過(guò)散點(diǎn)圖展示的圖形特征，初步地分辨出相關(guān)關(guān)系是直線，還是二次曲線、三次曲線、指數(shù)曲線、對(duì)數(shù)曲線、S曲線等。所以，散點(diǎn)圖不僅是相關(guān)分析，也是回歸分析中經(jīng)常使用的最簡(jiǎn)便的基本分析工具。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系2．相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)（CorrelationCoefficient）是度量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)的方向和強(qiáng)度的測(cè)度。散點(diǎn)圖只是粗略地刻畫(huà)兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方向、強(qiáng)度和形式，不能確切地度量變量之間的相關(guān)關(guān)系的密切程度。相關(guān)系數(shù)可以具體度量變量之間的相關(guān)關(guān)系的密切程度，并且用一個(gè)相對(duì)數(shù)數(shù)值表述出來(lái)，使之具有直接的可比性。一般使用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)的數(shù)值水平，有（9.3）計(jì)算相關(guān)系數(shù)的式（9.3），由三項(xiàng)離差平方和的比值構(gòu)成。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系

Lyy為變量y的離差平方和，有（9.4）

Lxx為變量x的離差平方和，有

（9.5）

Lxy為變量x和變量y的離差乘積和，有（9.6）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系

相關(guān)系數(shù)的取值范圍為。當(dāng)相關(guān)系數(shù)的取值為正時(shí)，說(shuō)明變量和變量的數(shù)值變化是同方向的，即為正相關(guān)；若相關(guān)系數(shù)的取值為負(fù)，則說(shuō)明變量和變量的數(shù)值變化是反方向的，即為負(fù)相關(guān)。

相關(guān)系數(shù)的正負(fù)取值取決于Lxy的正負(fù)。并且，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越是趨近于1，表明變量和變量的相關(guān)程度越高，稱之為強(qiáng)相關(guān)；反之，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越是趨近于0，表明變量和變量的相關(guān)程度越低，稱之為弱相關(guān)。

相關(guān)系數(shù)僅反映線性相關(guān)。例如Y=X

2

顯然Y與X是關(guān)系密切的,但是由相關(guān)系數(shù)得出的是不相關(guān)的結(jié)論。所以用相關(guān)系數(shù)度量相關(guān)性時(shí),超出了線性范圍就會(huì)出現(xiàn)誤導(dǎo)。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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9.1相關(guān)關(guān)系

例9.2根據(jù)例9.1的表9.1中的數(shù)據(jù)。表9.1某證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與A證券價(jià)格

要求計(jì)算A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)的相關(guān)系數(shù)。解采用式（9.3），可得A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)的相關(guān)系數(shù)為2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系3．相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)真值的樣本統(tǒng)計(jì)量。因此，相關(guān)系數(shù)只是總體相關(guān)系數(shù)的在一定樣本分布下的估計(jì)值，尤其是當(dāng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的樣本容量較小時(shí)，相關(guān)系數(shù)的數(shù)值的變異增大。所以，必須對(duì)不同樣本容量情況下計(jì)算出來(lái)的相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

相關(guān)系數(shù)的抽樣分布，服從于自由度為n-2的t分布。一般采用T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，有（9.7）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.1相關(guān)關(guān)系

例9.3根據(jù)例9.1和例9.2中樣本容量n=12，和A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)的相關(guān)系數(shù)r=0.87749。要求在顯著性水平為0.05下，對(duì)該相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。解采用式（9.7）對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。（1）提出假設(shè)（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值（3）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值大于t分布的臨界值，所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為A證券價(jià)格與該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系。

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9.2一元線性回歸《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第9章相關(guān)與回歸分析

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9.2一元線性回歸9.2.1一元線性回歸模型

1．理論模型從回歸模型的一般形式，式（9.2）出發(fā)，一元線性回歸模型可以表述為（9.8）回歸模型（RegressionModel）是指因變量依賴自變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)取值的方程。因變量的取值由兩個(gè)部分構(gòu)成。一部分反映了自變量的變動(dòng)引起的線性變化；另一部分為剩余變動(dòng)，反映了不能為自變量和因變量之間的線性關(guān)系所解釋的其它剩余的變異。在理論上，回歸分析總是假定一元線性回歸模型，即式（9.8）具有統(tǒng)計(jì)顯著性，有效地解釋了因變量的變動(dòng)，剩余變動(dòng)為不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差。因此，稱式（9.8）為一元線性回歸理論模型。

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

關(guān)于隨機(jī)誤差，線性回歸理論模型具有以下三項(xiàng)假定。（1）0均值。剩余變動(dòng)為不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差，其數(shù)學(xué)期望為0。（2）方差齊性。對(duì)于所有的自變量x，隨機(jī)誤差的方差相同。（3）獨(dú)立性。各項(xiàng)隨機(jī)誤差之間，以及各項(xiàng)隨機(jī)誤差與對(duì)應(yīng)的自變量之間均不相關(guān)，即有2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸2．回歸方程根據(jù)回歸理論模型中對(duì)隨機(jī)誤差的三項(xiàng)假定，有因此有變量的數(shù)學(xué)期望為自變量的線性函數(shù)?；貧w方程（RegressionEquation）是指因變量y的數(shù)學(xué)期望依賴自變量x取值的方程。有一元線性回歸方程為（9.9）一元線性回歸方程在直角坐標(biāo)系中為一條直線，所以也稱為直線回歸方程。

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸3．估計(jì)的回歸方程由回歸方程中可知，當(dāng)回歸系數(shù)確定之后，可以利用式（9.9）計(jì)算出因變量在給定自變量數(shù)值時(shí)的數(shù)學(xué)期望。在回歸方程中的回歸系數(shù)和隨機(jī)誤差的方差均為未知，需要利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)。當(dāng)根據(jù)樣本推斷出回歸方程中的回歸系數(shù)的估計(jì)量時(shí)，就得到了由樣本推斷出來(lái)的估計(jì)的回歸方程。估計(jì)的回歸方程（EstimatedRegressionEquation）是指根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)量構(gòu)成的回歸方程。估計(jì)的一元線性回歸方程為（9.10）當(dāng)估計(jì)的一元線性回歸方程式（9.10）中的自變量給定某一具體數(shù)值時(shí)，因變量的對(duì)應(yīng)的取值，也就隨之確定下來(lái)了。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸9.2.2一元線性回歸方程的最小二乘估計(jì)最小二乘估計(jì)（LeastSquareEstimation）是指估計(jì)量使因變量的觀察值與其估計(jì)值的離差平方和最小的方法。這里介紹的是普通最小二乘估計(jì)（OrdinaryLeastSquareEstimation,OLSE）。根據(jù)回歸方程和最小二乘估計(jì)定義，一元線性回歸方程關(guān)于回歸系數(shù)估計(jì)量的解為非負(fù)二次函數(shù)，必然存在最小值。因而，可以得出求解一元線性回歸方程回歸系數(shù)估計(jì)量的正規(guī)方程組，并利用離差平方和的形式，可寫(xiě)為（9.13）由式（9.13）計(jì)算得到的就是一元線性回歸方程回歸系數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（OLSE）估計(jì)量。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

例9.4根據(jù)例9.1中某證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格數(shù)據(jù)。要求以A證券價(jià)格為因變量，證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)為自變量，構(gòu)造一元線性回歸模型，并采用普通最小二乘估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)。解運(yùn)用式（9.13），有估計(jì)的回歸方程為

圖8.2為本例中，該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格的一元回歸方程直線與實(shí)際觀察值的擬合示意圖。

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第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸9.2.3一元線性回歸方程的擬合優(yōu)度將回歸直線與觀察值的距離作為評(píng)價(jià)回歸方程擬合精度的測(cè)度，稱為擬合優(yōu)度（GoodnessofFit）。

1．判定系數(shù)在回歸分析中，將因變量的觀察值之間的變異稱為的總離差，反映了因變量的觀察值與其均值的離差的距離；并將總離差分解為自變量能夠解釋的部分，和自變量不能解釋的兩個(gè)部分。為了避免離差的正負(fù)相抵，采用離差平方和的形式，來(lái)度量因變量的總離差，并對(duì)其進(jìn)行分解。將因變量的個(gè)觀察值與其均值的離差平方和稱為因變量的總離差平方和（TotalDeviationSumofSquares），記為SST，實(shí)際上這一總離差平方和就是變量的離差平方和Lyy。有（9.14）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

可將SST分解為（9.15）式（9.15）中等號(hào)右邊估計(jì)值與觀察值的均值的離差平方和，稱為回歸離差平方和（RegressionSumofSquares），記為SSR。反映了在觀察值的總變異中，估計(jì)的回歸方程所解釋的這一部分變異的總和。有（9.16）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

式（9.15）中等號(hào)右邊觀察值與其估計(jì)值的離差平方和，稱為剩余離差平方和，或殘差離差平方和（ResidualSumofSquares），記為SSE。反映了在觀察值的總變異中，估計(jì)的回歸方程所未能解釋的那一部分變異的總和。有（9.17）從而，可將式（9.15）記為（9.18）

對(duì)照?qǐng)D8.2可以看出，回歸直線擬合程度決定于SSR與SSE的比較，當(dāng)SSR的數(shù)值越是顯著大于SSE時(shí)，說(shuō)明各觀察值與回歸直線的離差之和越小，回歸直線對(duì)于因變量的解釋能力越強(qiáng)。而SSR與SSE又是對(duì)總離差平方和的一個(gè)完備的分割，兩者存在互為消長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系。因此以與之比作為度量回歸方程的擬合優(yōu)度的測(cè)度，稱之為判定系數(shù)。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

判定系數(shù)（CoefficientofDetermination）是指回歸離差平方和占總離差平方和的比重，有

（9.19）由于，所以（9.20）由式（9.20）可知，判定系數(shù)就是相關(guān)系數(shù)的平方。判定系數(shù)的取值在0到1之間，當(dāng)判定系數(shù)的取值趨近于1時(shí)，表示回歸直線的擬合程度很好；當(dāng)判定系數(shù)的取值趨近于0時(shí)，則表示回歸直線的擬合程度很差。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

判定系數(shù)是度量回歸直線擬合優(yōu)度的重要測(cè)度。由式（9.20）有（9.21）（9.22）式（9.21）和式（9.22）直觀地表明，判定系數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)量界限，它將因變量的離差平方和分為了能夠?yàn)樽宰兞克忉尩牟糠郑筒荒転樽宰兞克忉尩牟糠?。判定系?shù)就是在因變量的總離差平方和中自變量所解釋的部分所占的份額。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

例9.5仍然根據(jù)例9.1中某證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格數(shù)據(jù)。要求計(jì)算該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格的判定系數(shù)。解運(yùn)用式（9.20），可以計(jì)算得該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格的判定系數(shù)為說(shuō)明在例4.4的估計(jì)的回歸方程為中，自變量對(duì)因變量變異的解釋能力約為77%；或者說(shuō)，A證券價(jià)格的變動(dòng)中約有77%的部分可以由該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與其的線性關(guān)系來(lái)解釋。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸2．因變量y估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差剩余離差平方和為因變量y估計(jì)值與觀察值的離差平方和，其自由度為n-2，SSE除以自由度n-2為剩余均方MSE，剩余均方MSE的平方根即為因變量y估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差，一般用表示。有（9.23）因變量y估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差作為回歸方程擬合優(yōu)度的測(cè)度，從回歸直線與觀察值的離差平方和，以及與樣本容量相聯(lián)系的自由度兩個(gè)角度，來(lái)綜合反映回歸方程的解釋能力。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

例9.6采用例9.1中某證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格數(shù)據(jù)。要求計(jì)算因變量y估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，分析例9.4估計(jì)的回歸方程的解釋能力。解運(yùn)用式（9.23），可以計(jì)算得回歸方程的因變量y估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸9.2.4一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)估計(jì)的回歸方程是依據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的，樣本容量大小，因變量和自變量的抽樣分布，都會(huì)對(duì)回歸方程中估計(jì)量的與總體參數(shù)真值之間的誤差生產(chǎn)影響，僅憑回歸方程擬合優(yōu)度的有關(guān)測(cè)度，不能認(rèn)定因變量與自變量之間是否真的存在這種線性關(guān)系，還需要對(duì)估計(jì)的回歸方程進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。一元回歸方程的顯著性檢驗(yàn)的原假設(shè)為參數(shù)的真值為0，即

（9.24）當(dāng)原假設(shè)成立,可將因變量的變異歸結(jié)于剩余因素，表明自變量對(duì)因變量不具有顯著的線性關(guān)系，一元線性方程對(duì)于因變量沒(méi)有顯著的解釋能力。這時(shí)，估計(jì)的回歸方程不具備任何實(shí)際意義，不能用于預(yù)測(cè)和控制。若原假設(shè)不成立，說(shuō)明因變量的變異顯著地來(lái)源于自變量，這時(shí)估計(jì)的回歸方程才具有實(shí)際意義。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

在一元線性回歸分析中，有回歸均方與剩余均方分別服從自由度為1和自由度為n-2的卡方分布，則由回歸均方與剩余均方的比值構(gòu)造的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度為1和第二自由度為n-2的F分布。即

（9.25）利用判定系數(shù)，可將式（9.25）寫(xiě)為便于計(jì)算的形式，即

（9.26）

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

同樣，可以采用方差分析表來(lái)反映在一元線性回歸分析的顯著性檢驗(yàn)中，對(duì)變量的離差平方和分解的分析過(guò)程和有關(guān)數(shù)據(jù)。表9.2一元線性回歸的方差分析表構(gòu)成2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

例9.7根據(jù)例9.1中某證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格數(shù)據(jù)。要求在顯著性水平為0.05下，對(duì)例9.4估計(jì)的回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。解運(yùn)用式（9.26），采用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

可以利用Excel“分析工具庫(kù)”中的“回歸”工具，對(duì)一元線性回歸進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。表9.3即為本例利用“回歸”工具進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方差分析表，有表9.3Excel“回歸”工具一元線性回歸方差分析表2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸9.2.5運(yùn)用回歸方程進(jìn)行估計(jì)擬合回歸方程的目的就是要利用回歸方程對(duì)因變量進(jìn)行科學(xué)的估計(jì)，進(jìn)而取得估計(jì)數(shù)值對(duì)事物及其現(xiàn)象數(shù)量特征發(fā)展的趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制。估計(jì)的回歸方程在通過(guò)顯著性檢驗(yàn)之后，就可以運(yùn)用它進(jìn)行對(duì)因變量的估計(jì)，以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的目的。1．點(diǎn)估計(jì)回歸方程的點(diǎn)估計(jì)是利用估計(jì)的回歸方程，針對(duì)自變量某一給定的數(shù)值，計(jì)算出因變量的在給定的這一點(diǎn)上的總體均值的估計(jì)值。所以，回歸方程的點(diǎn)估計(jì)實(shí)質(zhì)上是以對(duì)應(yīng)于自變量x某一具體數(shù)值的因變量y的總體均值的估計(jì)值。即（9.26）

2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸2、區(qū)間估計(jì)運(yùn)用回歸方程的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)因變量時(shí)，剩余誤差的數(shù)學(xué)期望為（9.28）當(dāng)均服從正態(tài)分布，并且相互獨(dú)立時(shí)，有（9.29）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

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第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，一般采用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差替代式（9.29）中的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算。（9.31）

式（9.31）為方差的樣本估計(jì)量，服從自由度為n-2的t分布。因此，有區(qū)間估計(jì)的置信區(qū)間為

即（9.32）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

回歸方程的區(qū)間估計(jì)有兩點(diǎn)特點(diǎn)。（1）回歸方程的區(qū)間估計(jì)在點(diǎn)上取最小值;

（2）運(yùn)用回歸方程的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)因變量的個(gè)別點(diǎn)的置信區(qū)間，要比估計(jì)其均值的置信區(qū)間大。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

例9.8根據(jù)例9.1中某證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)與該市場(chǎng)A證券價(jià)格數(shù)據(jù)。要求在顯著性水平為0.05下，該證券市場(chǎng)價(jià)格指數(shù)為1840%時(shí)，對(duì)估計(jì)的回歸方程進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，并計(jì)算A證券價(jià)格的置信區(qū)間。解（1）A證券價(jià)格的點(diǎn)估計(jì)（2）計(jì)算A證券價(jià)格的置信區(qū)間可計(jì)算出A證券價(jià)格，在顯著性水平為0.05下的置信區(qū)間為8.27元到13.60元。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.2一元線性回歸

例9.9在一次對(duì)某市居民生活狀態(tài)調(diào)查中，采集了居民在調(diào)查當(dāng)年的上一個(gè)月支出和上年總收入數(shù)據(jù)，如表9.4所示。表9.4某市居民當(dāng)年上月支出和上年總收入元2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸第9章相關(guān)與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》第9章相關(guān)與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化《統(tǒng)計(jì)學(xué)2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化

在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)管理問(wèn)題中，許多因變量與自變量之間為非線性回歸關(guān)系，可以通過(guò)對(duì)于變量的替代變換，將非線性回歸關(guān)系進(jìn)行線性化，然后再應(yīng)用最小二乘法估計(jì)出相關(guān)的回歸方程。以下為幾種常用的非線性回歸模型的線性化方法。（1）二次曲線回歸模型的線性化若有二次曲線回歸模型（9.54）令式（9.54）的二次項(xiàng)，則得線性化后的二次曲線回歸模型（9.55）顯然，可以將這種線性化方法簡(jiǎn)單地推廣到高次曲線回歸模型的線性化。2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化（2）指數(shù)回歸模型的線性化若有指數(shù)回歸模型（9.56）對(duì)式（9.51）等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得線性化后的指數(shù)回歸模型（9.57）（3）對(duì)數(shù)回歸模型的線性化若有對(duì)數(shù)回歸模型（9.58）令，則得線性化后的對(duì)數(shù)回歸模型（9.59）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化（5）雙曲線回歸模型的線性化若有雙曲線回歸模型（9.62）令，則得線性化后的雙曲線回歸模型（9.63）（6）S曲線回歸模型的線性化若有S曲線回歸模型（9.64）令，則得線性化后的S曲線回歸模型（9.65）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化（7）C-D生產(chǎn)函數(shù)回歸模型的線性化若有C-D生產(chǎn)函數(shù)回歸模型（9.66）式（9.61）中y為產(chǎn)出，K和L為資本和勞動(dòng)兩項(xiàng)投入要素，和分別為資本和勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性。對(duì)式（9.66）等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，有，令則得線性化后的C-D生產(chǎn)函數(shù)回歸模型（9.67）2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸第9章相關(guān)與回歸分析

索洛技術(shù)進(jìn)步模型《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》盧小廣第9章相關(guān)與回歸分析

索洛技術(shù)進(jìn)步模型《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析索洛技術(shù)進(jìn)步模型對(duì)C-D生產(chǎn)函數(shù)兩邊取自然對(duì)數(shù)，再逐項(xiàng)微分，并移項(xiàng)，就得到索洛（Solow）提出的?？怂怪行裕℉icksneutral）技術(shù)進(jìn)步模型：在Solow模型中，ΔY/Y表示國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的增長(zhǎng)率，即經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率。αΔK/K表示GDP的增長(zhǎng)率中由于資本增加而增長(zhǎng)的部分；βΔL/L表示GDP的增長(zhǎng)率中由于勞動(dòng)增加而增長(zhǎng)的部分；ΔA/A表示GDP的增長(zhǎng)率中由于技術(shù)進(jìn)步而增長(zhǎng)的部分；并將它們分別稱為資本、勞動(dòng)和技術(shù)進(jìn)步對(duì)GDP增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率。江蘇省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)投入產(chǎn)出分析

2022年10月11日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》

第9章相關(guān)與回歸分析

江蘇省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)投入產(chǎn)出分析

以下采用江蘇省第二次全國(guó)基本單位普查數(shù)據(jù)資料，構(gòu)造江蘇省第二產(chǎn)業(yè)和第三產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)。采用工具變量方法，剔除橫截面數(shù)據(jù)存在的異方差問(wèn)題，進(jìn)行生產(chǎn)函數(shù)模型擬合。江蘇省第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)

n=42Ln(Y)=0.740079*Ln(K)+0.43313*Ln(L)t-Statistic8.624（0.0000）

3.782（0.0005）

AdjustedR-squared=0.896321F-statistic=177.724（0.000）

Obs*R-squared=4.518（0.477）江蘇省第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)

n=40Ln(Y)=0.416759*Ln(K)+0.876118*Ln(L)t-Statistic3.406（0.0016）

5.065（0.0000）

AdjustedR-squa