考研概率試題(數(shù)四)

考研概率試題(數(shù)四)題目：(87,2分)對于任意二事件A和B,有P(A-B)=(C)P(A)-P(B). (B)P(A)-P(B)+P(AB)(C)P(A)-P(AB), (D)P(A)+P(7)-P(A5).知識點：概率的性質解vA-B=A-AB,且ABUA,故(C)成立.注釋本題考查概率的性質.P(A-B)=P(A)-P(A8)是一常用式子.只有bua時(A)才成立.題目：(87,8分) 已知離散型隨機變量X的概率分布為P(X=1)=O.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5寫出X的分布函數(shù)F(x)； (2)求X的數(shù)學期望和方差.知識點：離散型隨機變量期望方差0x<10.2l<x<2F(x)=<0.52<x<3解：⑴1x>3(2)2,3;0.61分布函數(shù)定注釋本題主要考查離散型隨機變量由分布列求分布函數(shù)和期望、方差的方法。義式中分布函數(shù)定題目：（88,7分）假設有十只同種電器元件，其中有兩只廢品.裝配儀器時，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只；若仍是廢品，則扔掉再取一只.試求在取到正品之前，已取出的廢品只數(shù)的概率分布、數(shù)學期望和方差.知識點：離散型隨機變量期望方差概率X)12I81 2 88p— ￡(X)=- ￡>(%)=—-解：54545 9 405注釋本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望、方差的計算。其中概率的計算可以這樣：設A=（第歆取得正品｝,（i訓，則P（X=2）=P（L4）=p（4,Qp（司4）P（Q=題目：（89,8分） 某儀器裝有三只獨立工作的同型號電子元件,其壽命（單位：小時）都服從同一指數(shù)分布,分布密度為/U)=I €/U)=I €6000,而，若力0若xW0試求：在儀器使用的最初200小時內，至少有一只電子元件損壞的概率.1-eT知識點:離散型隨機變量二項分布解設電子元件的壽命為X,又設在最初的200小時內，有丫只電子原件損壞。則知，X的概率密度f（x）,而丫?B（3,p）其中p=其中p=p(X<200)=?2001 -- --I。注釋本題主要考查一堆連續(xù)型隨機變量的概率計算。求概率時，遇到“至少”、“至多”這類問題時，可考慮其對立事件的概率；解2用到二項分布，同學要善于從“獨立”、“重復”、“發(fā)生幾次”（本題指幾個元件損壞）幾個要素上判斷其屬于二項分布（貝努里概型）題目：(89,8分) 已知隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布為(x,y) (0.0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P{X=x,Y=y)~6?100.150.250.200.15~0.15試求：(DX的概率|分布；-(x+y)(2)X+Y的概率分布；(3)Z=sin2的數(shù)學期望.知識點：二位離散型隨機變量邊緣分布隨機變量函數(shù)分布期望X0i2解：4.(1)P0.250.450.3X+Y0123⑵〃0.10.40.350.15⑶￡(Z)=0.25注釋本題主要考查二維離散型隨機變量由聯(lián)合分布求邊緣分布、隨機變量函數(shù)的分布和期望的方法。題目：(89,3分) 設隨機變量XI、X2、X3相互獨立，其中XI在區(qū)間［0,6］上服從均勻分布,X2?N(0,22),X3服從參數(shù)為入=3的泊松分布,記Y=X『2X2+3X3,則DY=46.知識點:方差特殊分布注釋本題主要考查方差的計算性質和特殊分布的方差。對二項、播送、均勻、指數(shù)、正態(tài)等特殊分布，不但要求記住其分布列或密度，還要記住其期望和方差題目：(90,6分)甲、乙兩人獨立地各進行兩次射擊，設甲的命中率為0.2,乙的命中率為0.5,以X和丫分別表示甲和乙的命中次數(shù),試求(X,Y)的聯(lián)合概率分布.知識點：二維隨機變量及其分布解:012P,.00.160.320.160.6410.080.160.080.3220.010.020.010.04P-J0.250.50.251題目：(90,3分) 設隨機變量X?N(-3,1),丫?N(2,1),且X與丫相互獨立.若Z=X-2Y+7,則Z口N(0,5)知識點：正態(tài)分布期望方差計算注釋本題主要考查正態(tài)分布的性質和期望方差的計算性質。注意。(。)=0，℃丫)=。2。(丫)(C為常數(shù))，切勿寫成“O(X-2y+7)=°X-2°y+7”.錯！另外，參閱本章3-3題注釋。題目：(90,3分) 已知隨機變量X服從二項分布，且EX=2.4,DX=L44,則二項分布的參數(shù)n,P的值為(B)(A)n=4,p=0.6 (B)n=6,p=0.4 (C)n=8,p=0.3 (D)n=24,p=0.1知識點:二項分布期望方差題目：(91,3分)設A、B為隨機事件,P(A)=0.7,P(A為)=0.3,則P(通)=0.6.知識點：概率的計算性質解...P(A-B)=P(A)-P(AB)得P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.7-0.3=0.4.故P(AB)=\-P(AB)=\-0.4=0.6.注釋本題考查概率的計算性質題目：(91,7分) 在電源電壓不超過200V、在200?240V和超過240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1、0.001和0.2,設電源電壓X?N(220,252),試求1.該電子元件損壞的概率a；2.該電子元件損壞時，電源電壓在200?240V的概率B. 0.064;0.009x0.1b 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40①(x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919表中①(x)是標準正態(tài)分布函數(shù).知識點：全概率公式正態(tài)分布概率計算注釋本題主要考查全概率公式(及貝葉斯公式)和正態(tài)分布概率計算題目：（91,7分）一輛汽車沿一街道行駛,要過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且紅、綠兩種信號顯示的時間相等，以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù).求X的概率分布和E知識點：分布列和隨機變量函數(shù)的期望1p-1p-解：7. 2J. J. 14 8 8或"x+1 96注釋本題主要考查分布列和隨機變量函數(shù)的期望。其中｛X=3｝表示｛三個路口遇紅燈｝,不要溜掉。本題不是二項分布（問的不是”共遇幾次綠燈”）。有時間時應取之和為1.

題目：(92,3分)設A,B,C為隨機事件,P(A)=P(B)=P(C)=4,p(AB)=P(BC)=O,P(AC)=8,則A,B,C至5少出現(xiàn)一個的概率為w知識點：隨機事件及其概率解P(A,B,C至少出現(xiàn)一個)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)1 1 1八1八八5=--1 1 0 0+0=—其中P(A8C)=°可如下推出：■.ABCuAB,:.0<P(ABC)<P(AB)=0故P(ABC)=0.注釋本題主要考查P(AU8UC)的計算式，其中P(ABC)=°的證明不能證：“P(AB)=0/.AB=0,:.ABC=0C=0,:.P(ABC)=尸(0)=0”，因為P(AB)=0得不至ij“AB=0w這一結論.題目：(92,3分)設當事件A與B同時發(fā)生時事件C也發(fā)生，則(D)(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A；B)(C)P(C)WP(A)+P(B)T(D)P(C)2P(A)+P(B)-1.知識點：隨機事件及其概率題目：(93,3分)設10件產品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為5知識點：條件概率解設人=｛取的兩件產品中至少有一件是不合格品｝,B=｛取的兩件產品都是不合格品｝.顯然有B顯然有BuA,.,.AB=BP卸)P卸)=迪=皿則所求概率為 尸(㈤HQ、. 」c12P(A)=1-尸(兩件產品均為合格品)=1--^=1-上=』尸(3)=與=2注釋本題考查條件概率的計算。有人這樣設："A=｛取的兩件產品中有一件是不合格品｝,B=｛另一件也是不合格品｝”這樣的說法含義不準確。兩件產品被取出，誰是“另一件”？“這一件”？要避免這樣含糊的說法，可以看出無否是否說的清楚即可。題目：(93,3分) 設隨機變量X與丫均服從正態(tài)分布,X?N(u,42),丫?N(u,52),記pl=P｛XWu-4｝,p2=P｛丫2u+5｝,貝!|(A)對任何實數(shù)u,都有pl=p2.對任何實數(shù)u,都有pl=<p2.只對u的個別值,才有pl=p2.(D)對任何實數(shù)u都有pl=>p2.知識點：隨機變量正態(tài)分布I2.求丁的數(shù)學期望.I2.求丁的數(shù)學期望.2為f(x)并非5只在xe［l，3］才有。題目：(93,8分) 設隨機變量X和丫相互獨立，都在區(qū)間［1,3］上服從均勻分布.引進事件A={XWa},B={Y>a}7P(AU8)=一已知 九求常數(shù)a；知識點：連續(xù)型隨機變量概率計算函數(shù)的期望a=』或工￡(1)=1In3解：⑴ 3 3⑵x2注釋本題主要考查(連續(xù)型)隨機變量的概率計算和函數(shù)的期望。不要寫P(A)=T^-dx rm \-dx”以及來說“e［1,3］時，寫成““2”一類寫法，因題目：（94,3分）設一批產品中一、二、三等品各占60樂30%、10%,現(xiàn)從中任了一件,結果不2是三等品，則取到的是一等品的概率為5知識點：條件概率解設A=｛取的產品是i等品｝,i=l,2,3有題意知p（A）=06p（4）=03p（&）=o.i,得= 2兇）=0.9目Au4,故a4=ap（A區(qū)）=9="一所求概率為 「尸⑷0.93注釋本題主要考查條件概率的計算。希望能看出4U4。題目：(95,7分)設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,證明：丫=l-e-2X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.知識點：續(xù)型隨機變量函數(shù)分布注釋本題主要考查一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布。兩種證法各有優(yōu)劣，主要證發(fā)2中要求力(y)單調，也勿丟掉『y〉o這一限制證法1中可以具體作出Raw*的積分值(有F(」ln(l—y)) ? plln(I-y)2點繁)，也可表示成 2 -(這兒用為X的分布函數(shù))，但不能寫成J一 (參見本章2-11題注釋末尾)。題目：（95,3分）設隨機變量題目：（95,3分）設隨機變量X的概率密度為1+X,

(1—X,

0,若-1WXW0若0VXW1 ]其他貝|JDX=Z.知識點：隨機變量題目：（96,3分）設A,B為隨機事件且AUB,P（B）>0,則下列選項必然成立的是（B）P（A）<P（A|B）（B）P（A）WP（A|B）（C）P（A）>P（A|B）（D）P（A）2P（A|B）.知識點：本題主要考查條件概率的計算式。解vAcAB=AP（A|g）=P（Ag）>P（A）故P網(wǎng)（?.?0<248）41）故選伊）。題目：（96,3分） 一實習生用同一臺機器接連獨立地制造3個同種零件,第i個零件是不合111格的概率pi=i+l（i=l,2,3）,以X表示3個零件中合格品的個數(shù),則P（X=2）=24知識點：互不相容和獨立事件的概率計算解記4=｛制造的第i個零件是合格品｝,i=l,2,3.由題意知相互獨立，且P（A）=「p，W』23則p（x=2）=P（A4%U4無人3U2A3）=p（A4%）+p（ai?,）+尸（私&）=p（A）p（4）p（A）+p（a）p（耳）p（&）+p（Qp（4）p（4）12111312311=-X-X—+—X-X—+-X-X—= 23423423424注釋本題考查互不相容和獨立事件的概率計算。主要本題非二項分布（非貝努里概型），因為“重復”這一條件不成立。

題目：（96,7分）設一電路裝有三個同種電氣元件,其工作狀態(tài)相互獨立,且無故障工作時間都服從參數(shù)為入>0的指數(shù)分布.當三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能正常工作.試求電路正常工作的時間T的概率分布?知識點：指數(shù)分布人⑴=<解：r>0人⑴=<解：r>0^<0題目：(97,3分)設A,B是任意兩個隨機事件,則P{(^+B)(A+B)(I豆)(A+豆)}=0.知識點：事件的運算解v(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=(AA+AB+AB+B)(AA+通+ +萬)故P(A+8)(4+B)(A+B)(A+B)=P(0)=0注釋本題主要考查事件的運算，由于事件的并，交運算具有交換、結合及分配律，故可以像多項式相乘一樣地“乘二本題要求考試做得快捷，不可多耽誤時間。題目：(97,3分) 設隨機變量服從參數(shù)為⑵p)的二項分布,隨機變量丫服從參數(shù)為⑶p)的5 ￡二項分布,若P{X21}=§,則P{丫21}=工知識點：本題主要考查二項分布的計算。解由已知，X~B(2,P),丫?B由,P).所以1=P(X>1)=1-P(X=O)=1-C°p°(l-p)2=l-(l-p)2.4 2 1?**(1—pY—?—,由1-pw[0,1],解得1—p=§?，?p=§i2g1a于是p(。)=i-▽=。)=Y(§)飛)』-萬三題目：(97,8分)設隨機變量X的絕對值不大于l,P{X=-l}=G,p{X=l}=K,在事件{-1*1}出現(xiàn)的條件下,X在(T,1)內的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比.試求:(1)X的分布函數(shù)/(x)=P{X&x}；(2)X取負值的概率.知識點：分布函數(shù)和條件概率0 %<-1F(x)=?—(x+l)H— TWx<116 18解：I1?注釋本題主要考查分布函數(shù)和條件概率的計算。解中"a-"X"RT<X<l)=-x+l)”是題中“在事件{T<X<1}出現(xiàn)成正比…”這句話的數(shù)學式子表述。解中用到式子:?P(X=a)=F(a)-F(a-O) ?P(X<a)=F(a-O)v是用分布函數(shù)求概率的式子。題目：(97,3分)設隨機變量服從參數(shù)為⑵p)的二項分布,隨機變量丫服從參數(shù)為⑶p)的5 29二項分布,若P{X20}=5,則P{丫21}=27知識點：二項分布題目：(97,3分)設X是一隨機變量EX=u,DX=。2(u,。2>0是常數(shù))，則對任意常數(shù)C必有(A)E(X-C)2=EX2-C2 (B)E(X-C)2=E(X-u)2(C)E(X-C)2<E(X-u)2 (D)E(X-C)2^E(X-u)2[D]知識點：期望注釋本題主要考查數(shù)學期望的計算性質。解中插項的方法是一較常用手法。(若加〃條件，則E(X-C)2>E(X-4)題目：(97,8分)設隨機變量丫服從參數(shù)為入=1的指數(shù)分布，隨機變量x=]o,若丫《女*"[1,若Y>k(k=l,2)求：(1)(XI,X2)的聯(lián)合概率分布；(2)E(X1+X2).知識點：隨機變量的分布概率的計算期望的性質解：⑴x}010\-e-'01e~l-e~2e-2(2) +e/注釋本題主要考查隨機變量的分布、概率的計算和期望的性質。其中(2)可以先求出X”X2的邊緣分布或Xi+X。的分布(本題之解簡潔些)再求期望。2_題目：（98,3分）設一次試驗成功的概率為p,進行100次獨立重復試驗，當p=5時,成功次數(shù)的標準差的值最大,其最大值為5.知識點：標準差解由題意，成功次數(shù)為參數(shù)n=100,p的貝努里概型，其標準差JnP（1-P）=T0y/pQ-p）<10xP+（：_〃）:52。其中中等號成立的充要的條件為1P=二P=l—P,即 2,這是標準差最大。注釋“標準差”的概念在數(shù)字特征一節(jié)里（本題可對歸入本章第3節(jié)）。本題用到“幾何平均數(shù)《算術平均”題目：（98,3分）設A,B,C是三個相互獨立的隨機事件,且OVP（C）VI.則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是（B）（A）A+B與C. （B）AC與亍.?與a（D）AB與心.知識點：獨立事件解只有⑻中，而與亍有共同的C,一般不獨立。注釋本題考查的是事件組獨立的一個結論：若…4相互獨立，將A，4,…A”分成k組彼此沒有共同的事件，然后各組內諸事件并、交、差、補等運算，得到的k個新事件是相互獨立的（例如，若4，42,…4相互獨立，則4Ua，A3-A4，AAA7U4相互獨立）。因此，本題中（A）、（C）、（D）的兩個事件均獨立，不選。題目：（98,9分）設某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間［10,30］上均勻分布的隨機變量,而經銷商店進貨數(shù)量為區(qū)間［10,30］中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價處理,每處理1單位商品虧損100元；若供不應求,則可從外部調劑供應,此時每1單位商品獲利300元.為使商店所獲利潤期望值不少于9280元,試確定最少進貨量.21知識點：隨機變量期望注釋本題主要考查隨機變量函數(shù)的期望。這是一有應用背景的題目，希望同學能從題意看出丫與X、h的函數(shù)關系（寫g（X）是為了后邊套公式方便）。本題X為隨機變量（已知分布），h為非隨機變量（未知待求）而丫是隨機變量，但勿去求丫的分布。題目：（98,7分）某箱裝有100件產品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件.現(xiàn)從中隨機抽取一件，記x=|1,若抽到，.等品，-[0其他（i=L2,3）試求：（1）（XI,X2）的聯(lián)合分布；（2）（XI,X2）的相關系數(shù)0.知識點：離散型隨機變量解：16.(1)王0101To1101450(2)-3注釋本題主要考查離散型（二維）隨機變量的分布列和數(shù)字特征的計算。由題意有（X2=Du（X|=0）,.?.P（X=0,X2=l）（其余類似）。解中的表可不寫，而表中寫出兩個邊緣分布列是為了求功1，。*2等方便。題目：（99,3分） 設隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量丫初in{X,2}的分布函數(shù)（D）是連續(xù)函數(shù) （B）至少有兩個間斷點（C）是階梯函數(shù) （D）恰好有一個間斷點知識點：隨機變量的分布注釋本題主要考查隨機變量的分布。其中min（X,2）的值必在（0,2）內，所以對y作'4°，丁22和0<y<2的討論。本題參閱本章2-2題分析、2-11題注釋末尾、2-2題注釋4,本題的丫非離散非聯(lián)系，無密度，勿對耳⑶）求導。題目：(99,9分) 設二維隨機變量(X,Y)在矩形G={(X,Y)}OWxW2,01上服從均勻分布,試求邊長為X和丫的矩形面積S的概率密度f(s).知識點：二維隨機變量解:?°解:?° —(ln2-lnS)人(S)=2、0<S<2S<0或5>2題目：(99,8分)已知隨機變量XI和X2的概率分布1 0]_ ]_1」1 0]_ ]_1」 L2而且P{X1X2=0)=1.求XI和X2的聯(lián)合分布:i12.2.問XI和X2是否獨立？為什么？知識點：隨機變量及其分布(1)X。一］01Pi.0]_40]_41210]_20]_2P-J42j.41(2)不獨立題目：(99,3分)設隨機變量X服從參數(shù)為X的泊松分布,且已知E[(X-1)(X-2)]=1,則入=1知識點：泊松分布期望方差注釋本題主要考查泊松分布的期望、方差和數(shù)學期望的性質，參閱本章3-3題注釋，其中EX~=DX+(EXf是由DX=EX?_(EX)2得到，在特殊分布時很常用。題目：(99,3分)設隨機變量X和丫的方差存在且不等于0,則D(X+Y)=DX+DY是X和丫不相關的充分條件,但不是必要條件.B.獨立的必要條件，但不是充分條件.不相關的充分必要條件. D.獨立的充分必要條件. (BC)知識點：隨機變量方差注釋本題考查不相關的等價說法等性質。其實，以下幾種說法等價：a.X與丫不相關；b.E(XY)=E(X)E(Y).C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)；d.cov(X,Y)=0；e.相關系數(shù)夕=°.(設X、丫的二階矩存在)。另外，若X與丫獨立，則X與丫不相關(反之不成立)，所以本題的(B)也是對的。題目：(00,3分)設A,B,C三個事件兩兩獨立,則A,B,C相互獨立的充分必要條件是(A)(A)A與BC獨立.(B)AB與AUc獨立.(C)AB與AC獨立.(D)aUb與aUc獨立.知識點：相互獨立的充分必要條件解yAb,。兩兩獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(6)P(C)可知這時，A,B,C相互獨立當且僅當"P(ABC)=P(A)P(B)P(C)(*)”成立，而由尸(BC)=P(8)P(C),知(*)成立＜=＞尸(ABC)=尸(A)P(BC)u＞人與BC獨立，故選(A).注釋本題考查兩兩獨立、相互獨立的概念，對三個事件而言，兩兩獨立用3個的等式定義，而相互獨立用4個等式定義(即加一個(*)式)，要強一些。題目：(00,8分) 設二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為/(x,y)=；明(x,y)+痣(x,y)]其中取(x,y)和。式乂力都是二維正態(tài)密度函數(shù),且它們對應的二維隨機變量的相關系數(shù)分別為J__1§和-3,它們的邊緣密度函數(shù)所對應的隨機變量的數(shù)學期望都是0,方差都是L(1)求隨機變量X和丫的密度函數(shù)工(X評明U),及X和丫的相關系數(shù)P(可以直接利用二維正態(tài)的性質).(2)問X和丫是否獨立？為什么？知識點：二維正態(tài)分布性質數(shù)字特征1H 1~fi^=~rr~e2人(y)=~^=e2解：20.(1) 72兀 72兀 p=o不獨立注釋本題主要考查二維正態(tài)分布的性質和數(shù)字特征，引入(配7)等是為了把題目中的文字敘述用數(shù)學語言來描述，其實是一個“理解題意”的過程(不引(久外))等量也可，但心里要清楚，式子要用對。而本解法可能易于理解些).解(2)時，要求學生記住二維正態(tài)分布的密度,請不要怕繁。主要本題中(X,Y)不是服從正態(tài)分布的(盡管X和丫都服從正態(tài)分布)，不能用“正態(tài)分布時，獨立與不相關等價”這個結論。題目：(01,3分)對于任意二事件A和B,與aUB=B不等價的是(D)Aub.(B)ZuA.(c) = (D)初=中.知識點：事件的關系和運算解對任意事件A,B均有BuAUB故AUBuB等價于AuB,而(a)、(B)、(C)相互等價，而(D)是與BuA等價注釋本題考查事件的關系和運算。不難看出，下述各命題等價：AuBAB=AAUB=B④A-B=0⑤ ⑥AB=0題目：(01,3分) 設隨機變量X和丫的聯(lián)合分布在以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形1區(qū)域上服從均勻分布,試求隨機變量U=X+Y的方差.18知識點：隨機變量均勻分布方差題目：(02,8分)設A,B是任意二事件，其中OVP(A)VI.證明：P(B|A)=P(B|A)是A與B獨立的充分必要條件.知識點：獨立的充分必要條件證1必要性?「A與B獨立一.居方獨立，得尸(布)=尸(8)，尸(甲)=尸(8),故P(8|A)=P(*)充分性l-P(A)P(AB)_P(AB)

P(A)~P(A)l-P(A)化簡得P(A8)=P(A)P(B)即人與b獨立。題目：（02,3分） 設隨機變量X和丫的聯(lián)合概率分布為-10100.070.180.1510.080.320.20則X和丫的關系數(shù)P=0.知識點：二維離散型隨機變量注釋本題主要考查二維離散型隨機變量的相關系數(shù)。本題中cov（X,Y）=0,所以沒有求DX和DY,直接得到夕=°,本題給出了不相關但不獨立的例子（本題中X與丫不獨立）。題目：（02,3分）設隨機變量XI,X2,-Xn相互獨立,Sn=Xl+X2+-+Xn,則根據(jù)列維-林德伯格（Levy-Lindberg）中心極限定理，當n充分大時,Sn近似服從正態(tài)分布，只要XI,X2,???,Xn（A）有相同的數(shù)學期望. （B）有相同的方差.（C）服從同一指數(shù)分布. （D）服從同一離散型分布. [C]知識點：中心極限定理二隨機變量同分布解由列維-林德貝格中心極限定理，在X”X2,…X“獨立同分布且方差非0的條件下，n充分S”=2X]大時，T近似服從正態(tài)分布，可見（A）、（B）條件不夠，不選（二隨機變量同分布時必有數(shù)學期望相同，方法相同（只要存在）；但反過來，若數(shù)學期望相同，方差相同二隨機變量卻未必同分布）。同樣，（D）中沒有“方差非0”一條，也是不能選的（方差為0的隨機變量必服從退化分布即P（X=C）=1,屬離散型隨機變量）。只有（C）符合條件，故選（C）。注釋本題考查中心極限定理的使用條件。只要不是退化分布且獨立同分布，S"都近似服從正態(tài)分布（n充分大時），不一定非要指數(shù)分布不可。很多教材中結論是在上述的條件下，將S”標準化后近似服從標準正態(tài)分布。其實，不將5”標準化，仍有近臬似服從正態(tài)分布的結論（條件當然不變）。對退化分布列如P（X，=a）=l，i=L2「""-，則P（5"=〃a）=l,S”是不可能近似服從正態(tài)分布的。題目：(03,4分)對行任意二事件A和B,(B)(A)若ABW①，則A,B一定獨立.(B)若ABW①，則A,B有可能獨立.(0若AB=G，則A,B一定獨立. (D)若AB=?，則A,B一定不獨立.知識點：獨立事件題目：(03,13分)設隨機變量X的概率密度為-T=，若xG[1,8]/（x）=3審0,其他0,F(x)是X的分布函數(shù),求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).知識點：隨機變量均勻分布0 y<0<y 0<y<1解：11 ”1 ;1注釋對隨機變量歲，其分布函數(shù)為F(x),則尸(號服從上的均勻分布(只要4為連續(xù)型隨機變量，無論服從什么分布)，這是概率論中的一個結論(有興趣的同學可參閱數(shù)學四1995年的一道題，本書第4章2-13題)，解中時，后邊嚴格的寫為G(y)=P((X-l)Ud<X<8)(VX-l)<y}=P[(X<1)U(X<(l+y)2)}=P[X<(l+y)2)=F[(l+y)2)]=y ,但對非數(shù)學專業(yè)的同而言不必寫這么多，本題還有其他的形式解法如：求出F(x)后，可見y=F(x)在上xe口,8]上嚴格遞增，故反函數(shù)”二「心)存在，所以°a<1時G(y)=P{F(X)<y}=P{X< =F[r'(y)].又如：求出f(x)后，K=V%-1(1<X<8)反函數(shù)x=〃(y)=(i+y)2,0"G，"(y)=3(i+?,故丫的概率密度為A(y)=f(〃(y))?W(y)|=—/1，,?3(1+y)2=i(o<y<i)3.V[(l+y)2]2 prj題目：(03,4分) 設隨機變量X和丫都服從正態(tài)分布,且它們不相關,則(C)(A)X與丫一定獨立. (B)(X,Y)服從二維正態(tài)分布.(C)X與丫未必獨立. (D)X+Y服從一維正態(tài)分布.知識點：隨機變量正態(tài)分布題目：(03,4分) 設隨機變量X和丫的相關系數(shù)為0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,則E(X+Y)2=6知識點：數(shù)學期望的性質方差注釋本題主要考查數(shù)學期望的性質及方差、相關系數(shù)的計算式。求出DX、DY后，用E(X+y)2=D(X+y)+[E(X+y)]2=D(X+Y)=DX+Dr+2cov(X,Y)=DX+DY+2p(X,y)4dx-4dy-■做法也可，但勿寫成“”，因為X和丫沒有獨立或不相關的條件。題目：(03,13分)對于任意二事件A和題目：(03,13分)對于任意二事件A和B,0<P(A)<l,0<P(B)<l,稱作事件A和B的相關系數(shù).證明事件A和B獨立的充分必要條件是其相關系數(shù)等于零;利用隨機變量相關系數(shù)的基本性質，證明IP|<1.知識點：事件同獨注釋考查事件同獨立性的定義。而解(2)時要理解題意：“利用隨機變量相關系數(shù)的性質”，這就要求我們引入隨機變量與A、B聯(lián)系起來(解中X、丫的引法很自然，也是概率中常用的手法)，如果不引隨機變量，即使證出刊“1也常不給分，因為“不合題意”(筆者所在的閱卷即是這樣的)。而引出X和丫后，關于X、Y、XY(甚至(X,Y))的分布可全用P(A)、P(B、P(AB)來描述，后邊就好辦了。注意X與丫沒有“獨立性”，因為A、B沒有“獨立性”的條件。題目：（04,13分）設隨機變量X在區(qū)間（°』）上服從均勻分布，在X=x（O<x<l）的條件下，隨機變量丫在區(qū)間（°”）上服從均勻分布，求（I）隨機變量x和丫的聯(lián)合概率密度；（n）y的概率密度；an）概率px+y>i}.知識點：隨機變量均勻分布f（x,y）=<x' J-lny,0<.y<L解：（1） 1°‘其他⑵I0,其他 ⑶1-加2題目：（04,4分）設隨機變量X，％，…，X“（〃>1）獨立同分布,且方差">0.令隨機變量?y=-?y=-Xx.n-=',則(c)D(Xl+Y)=-a2(A) 〃2Cov(x,,y)=—(c) 〃.D(x,-r)=—o-2(B) 〃(D)cov(xo=〃.知識點：隨機變量獨立同分布題目：(05,13分)設X了2,…，X“(〃>2)為獨立同分布的隨機變量，且均服從n(0,1).記X=-YXiXi=X-X,i=l,2,-,n.求：⑴工的方差= …,％(II)匕與％的協(xié)方差 (IH)P{>匕鈉?知識點：方差、協(xié)方差的計算解：⑴〃；(II)〃；(III)2注釋本題(D、(口)主要考查方差、協(xié)方差的計算，注意X，與x、X|與X、Y與匕等均沒有“獨立”或“不相關”的結論，切勿“°(XlX)=°X,.+°X,,。(1)中解1及(⑴的解法用了協(xié)方差的線性運算性質。較為簡潔。有人解(口)時用協(xié)方差的定義式計算式來做：Cov(Yl,Yn)=E[(Yl-EYl)(Yn-EYn)]=E(Yl,Yn)=E[(Xi-X)(X?-X)]=E(X,Xn)-E(X1X)-￡(XX?)+E(X)2TOC\o"1-5"\h\z- 1 1n 1 1nE(XiXn)=EX「EXn=O,E(XiX)=E(—X：Xj)=—E(X；)+—EE(XiXj)〃 〃j-2 〃 〃j-21 1n 1=-[￡>X,+(EX1)2]+-^(￡X1￡X>)=-，而〃 nj=2 ni —— 1JJL 1 ? 1 ——同理“雙總，而"、)=叫畢)= 一、七?x，=。,E(X2)=D(X)+(￡X)2=- Cov(Yi,Yll)=--"帶入得 〃，似不如正文解法簡潔。(HD主要考查正態(tài)分布的性質和概率計算，可參閱本章2-6題的注釋。“多維的服從正態(tài)分布的隨機變量的個分量的線性組合仍服從正態(tài)分布”，這是一常見、重要的結論(即使沒有“獨立性”的條件,、 。(0)=這個結論也成立)。解中恰好可以不用求( 2須記住)，如果一定想求，則a2=D(Yl+Yn)=DYi+DYn+2Cov(Yi,Yn)=(l--)+(\--)+2(-^=2--〃 〃 〃 〃，也不難。

題目：（05,4分）設X|，X2,…，Xn,…為獨立同分布的隨機變量列，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記中（燈為標準正態(tài)分布