高等數(shù)學(xué)無窮級數(shù)課件

高等數(shù)學(xué)（第3版）下冊高等數(shù)學(xué)（第3版）下冊1目錄CONTENTS第10章無窮級數(shù)第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的審斂法冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)第5節(jié)傅里葉級數(shù)目錄CONTENTS第10章無窮級數(shù)第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第2第1節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)01一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)第1節(jié)01一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)3一、常數(shù)項級數(shù)的概念

引例圓的面積問題.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個和越近似于圓的面積S.設(shè)a1

表示即內(nèi)接正六邊形面積,ak

表示邊數(shù)增加時增加的面積,如此繼續(xù)進行n次，一、常數(shù)項級數(shù)的概念引例圓的面積問題.依次作圓內(nèi)接正4定義1設(shè)給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項稱為級數(shù)的一般項,級數(shù)的前

n

項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為定義1設(shè)給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n5如果{sn}沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散，這時級數(shù)沒有和．當(dāng)級數(shù)收斂時，其部分和sn是級數(shù)和s的近似值，稱rn＝s－sn＝un+1＋un+2＋…＋un＋k＋…為級數(shù)

的余項．則稱無窮級數(shù)收斂，s稱為級數(shù)的和，記作如果級數(shù)

的部分和數(shù)列{sn}有極限s，即定義2如果{sn}沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散，這時級數(shù)沒有和．6討論公比為q

的等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))的斂散性.解:

若因而等比級數(shù)收斂,因而則部分和這時等比級數(shù)發(fā)散.其和為例10.1.3討論公比為q的等比級數(shù)7若因此等比級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合可知,時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,這時等比級數(shù)發(fā)散.若因此等比級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合可知,8二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1

如果級數(shù)收斂于和s,則各項乘以常數(shù)

k

所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,且和為ks.

說明:級數(shù)的每一項同乘一個非零常數(shù)后，它的斂散性不會改變.即其和為ks.二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果級數(shù)收斂于和s9性質(zhì)2

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)必收斂,且其和為證:

令則這說明級數(shù)也收斂,其和為說明：兩個收斂級數(shù)逐項相加(相減)所得級數(shù)仍收斂．性質(zhì)2設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)必收斂,且其和為證:10性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不改變級數(shù)的斂散性.證:

將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不改變級數(shù)的斂散性.11性質(zhì)4如果級數(shù)收斂，則對這個級數(shù)的各項間任意加括號所得的級數(shù)仍收斂，且其和不變．證:

設(shè)級數(shù)

前n項的部分和為sn，加括號所成的級數(shù)前k項部分和為Ak，則注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.例如，數(shù)列{Ak}是數(shù)列{sn}的一個子數(shù)列．由數(shù)列{sn}的收斂性以及收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系可知，數(shù)列{Ak}必定收斂，且有性質(zhì)4如果級數(shù)收斂，則對這個級數(shù)的各項間任12(1)若級數(shù)

收斂，

發(fā)散，則必定發(fā)散．(2)若級數(shù)

發(fā)散，

也發(fā)散，則不一定發(fā)散．(3)若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)

與不一定都發(fā)散．(4)若加括號之后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)必定發(fā)散．(5)如果級數(shù)的各項都大于零，且按某規(guī)律加括號后所得的級數(shù)收斂，則去括號后所得的級數(shù)也收斂．(6)若級數(shù)

發(fā)散，則添括號后所得的新級數(shù)不一定發(fā)散．(1)若級數(shù)收斂，13如果級數(shù)

收斂，則必有證:

可見:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項為不趨于零,因此這個級數(shù)發(fā)散.性質(zhì)5

(級數(shù)收斂的必要條件)如果級數(shù)收斂，則必有證:可見:14注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.對調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上

,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于s,則但矛盾!所以假設(shè)不真.例10.1.4注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.對調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.15作業(yè)P1651；2(2),(4)；3(3),(4)；

4(2),(4);5(2),(3);作業(yè)P1651；2(2),(4)；161.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為備用例題1.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為備用例題172.判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.2.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原18第2節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法02一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、牛頓–萊布尼茨公式第2節(jié)02一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、19一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1

正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”則收斂,一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有20定理2(比較審斂法)設(shè)且(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果級數(shù)則級數(shù)收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.都是正項級數(shù),(n＝1,2，…).證：(1)由定理1可知，當(dāng)級數(shù)

收斂時，其部分和數(shù)列必有界，于是有M>0，使得定理2(比較審斂法)設(shè)且(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果21又un≤vn(n＝1,2，…)，故因而級數(shù)

的部分和數(shù)列有界，級數(shù)收斂．則級數(shù)

必發(fā)散．(2)若級數(shù)發(fā)散,又un≤vn(n＝1,2，…)，故因而級數(shù)22推論設(shè)(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果級數(shù)則級數(shù)收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.都是正項級數(shù),并且un≤kvn

(k>0，n≥N，N為某一自然數(shù)).推論設(shè)(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果級數(shù)則級數(shù)收斂,也23討論p-

級數(shù)的斂散性，其中常數(shù)p>0.解:

當(dāng)因為對一切又調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,例10.2.3討論p-級數(shù)的斂散性，其中常數(shù)p>0.解:24因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,

當(dāng)因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故級數(shù)收斂,由比較審斂法知p25判定級數(shù)的斂散性.解:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例10.2.4判定級數(shù)的斂散性.解:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,26定理3(比較審斂法的極限形式)則有(2)當(dāng)

l=+∞

證:(1)由極限定義,對設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0≤l<+∞,定理3(比較審斂法的極限形式)則有(2)當(dāng)l=+∞27而級數(shù)收斂，根據(jù)比較審斂法的推論，知級數(shù)

收斂.(2)按已知條件存在，如果級數(shù)

收斂，則由結(jié)論(1)必有

收斂，但已知級數(shù)

發(fā)散，因此級數(shù)

不可能收斂，即級數(shù)

發(fā)散．而級數(shù)收斂，根據(jù)比28～判定級數(shù)的斂散性.

解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例10.2.5～判定級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知例29定理4

比值審斂法(D’Alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù)(un>0),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知(3)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．定理4比值審斂法(D’Alembert判別法)設(shè)30因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)(3)

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)(3)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可31判別級數(shù)的斂散性.解:

所以根據(jù)比值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散．例10.2.7判別級數(shù)的斂散性.解:所以根據(jù)比值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散32定理5(根值審斂法,柯西判別法)設(shè)為正項則(3)當(dāng)ρ＝1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．級數(shù),且定理5(根值審斂法,柯西判別法)設(shè)為正項則(3)當(dāng)ρ＝33解:

根據(jù)根值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散．判別級數(shù)

的斂散性．例10.2.9解:根據(jù)根值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散．判別級數(shù)34二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6(萊布尼茨判別法)

若交錯級數(shù)滿足如下條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)35證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故36收斂收斂用萊布尼茨判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂收斂收斂用萊布尼茨判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各37三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,收斂,數(shù)為條件收斂.為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.則稱原級三、絕對收斂與條件收斂定義:對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂38定理7

絕對收斂的級數(shù)必收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令定理7絕對收斂的級數(shù)必收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯39判定級數(shù)的斂散性.解：由可知當(dāng)n→∞時，|un|不趨于零，即un也不趨于零，故所給級數(shù)發(fā)散．例10.2.13判定級數(shù)402.判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限內(nèi)容小結(jié)2.判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散413.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)萊布尼茨判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)萊布尼茨判別法:則交錯級數(shù)收42設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.思考與練習(xí)設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂43作業(yè)P1751(1),(3),(5);2(1),(4);3(2),(4);4(2),(4),(6);5(1),(3),(5)作業(yè)P1751(1),(3),(5);44備用例題1.

判別級數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.不是p–級數(shù)(2)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.備用例題1.判別級數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級45第3節(jié)冪級數(shù)03一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算第3節(jié)03一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪46一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù).對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項級數(shù)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域

.一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù).47為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n

項部分和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項48考察級數(shù)解它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)的收斂域和發(fā)散域．例10.3.1考察級數(shù)解它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)的收49二、冪級數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)50收斂發(fā)散定理1(阿貝爾定理)如果冪級數(shù)則對滿足不等式的任何x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)娜魏蝬

,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使發(fā)散發(fā)散收

斂收斂發(fā)散定理1(阿貝爾定理)如果冪級數(shù)則對滿足不51當(dāng)

時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,當(dāng)時,52(1)當(dāng)|x|<R時，冪級數(shù)絕對收斂；

推論如果冪級數(shù)

不僅在x＝0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必存在一個完全確定的正數(shù)R，它具有這樣的性質(zhì)：(2)當(dāng)|x|>R時，冪級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)x＝R與x＝－R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(1)當(dāng)|x|<R時，冪級數(shù)絕對收斂；推53冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=+

時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出54定理2若的相鄰系數(shù)滿足證:(1)若0<l<＋∞,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,(1)當(dāng)0<l<＋∞時,(2)當(dāng)l＝0時,(3)當(dāng)l＝+∞時,即時,則定理2若的相鄰系數(shù)滿足證:(1)若0<l<＋∞,則55(2)若則根據(jù)比值審斂法可知,級數(shù)絕對收斂,(3)若則對除去x=0以外的一切x原級對任意

x原因此因此因此級數(shù)的收斂半徑數(shù)發(fā)散,

(2)若則根據(jù)比值審斂法可知,級數(shù)絕對收斂,(3)56對端點

x=－1,

的收斂半徑與收斂域.解:因?qū)Χ它cx=1,收斂;

級數(shù)為發(fā)散.因此，收斂域是求冪級數(shù)

級數(shù)為交錯級數(shù)例10.3.2對端點x=－1,的收斂半徑與收斂域.解:因?qū)Χ它cx57求冪級數(shù)的收斂半徑(記號0!＝1).解:所以收斂半徑R＝0，即冪級數(shù)僅在x＝0處收斂．例10.3.4求冪級數(shù)58求冪級數(shù)的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)y=5

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)y=–5時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為例10.3.6求冪級數(shù)的收斂域.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)y=5時,級59三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)1

設(shè)有兩冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)1設(shè)有兩冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則60性質(zhì)2冪級數(shù)

的和函數(shù)s(x)在收斂域I上連續(xù)．性質(zhì)3冪級數(shù)

的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(－R，R)內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項求導(dǎo)公式即求導(dǎo)運算與求和運算可互換次序．性質(zhì)2冪級數(shù)的和61性質(zhì)4

冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積，且有逐項積分公式即積分運算與求和運算可互換次序．性質(zhì)4冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收62求冪級數(shù)的和函數(shù).解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,x=1時級數(shù)發(fā)散,例10.3.7求冪級數(shù)的和函數(shù).解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及63因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及641.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運算.內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑652)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.3.求和函數(shù)的常用方法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)作業(yè)P1841(2),(4),(6)2(3),(4)2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間66阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的671.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項,故直接由比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為備用例題1.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,故直接由比值審斂法68解:

級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.2.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)解:級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.2.則故有故得的和函數(shù).693.解:

設(shè)則3.解:設(shè)則70而故而故71第4節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)04一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)三、函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用第4節(jié)04一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)三、函數(shù)的冪級72一、泰勒級數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項.則在復(fù)習(xí):

f(x)的n

階泰勒公式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),該鄰域內(nèi)有:一、泰勒級數(shù)其中(在x與x0之間)稱為拉格73為f(x)

的泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0

=0

時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),為f(x)的泰勒級數(shù).則稱當(dāng)x0=0時,74定理1各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式余項滿足:證明:令設(shè)函數(shù)

f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)具有定理1各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)75定理2如果f(x)能展開成x

的冪級數(shù),且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證:

設(shè)f(x)所展開成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立.則這種展開式是唯一的,定理2如果f(x)能展開成x的冪級數(shù),且與它的麥克76二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù);第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x＝0處的值;第四步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為0.驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開第三步寫出冪級數(shù)，并求出收斂半徑R.二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,77將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足故(

在0與x之間)故得級數(shù)例10.4.1將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:其收斂半徑為對任何有限78將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足例10.4.2將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).792.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

因為把x

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).例10.4.42.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),80將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:從0到x

積分,得定義且連續(xù),域為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開式對x

＝1也是成立的,于是收斂例10.4.5將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:從0到x積分,得81將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:

易求出于是得級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù)m,例10.4.6將函數(shù)展開成x的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:易82推導(dǎo)則為避免研究余項,設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為推導(dǎo)則為避免研究余項,設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為83稱為二項展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時,級數(shù)為x

的m

次多項式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項式定理.由此得稱為二項展開式.說明：(1)在x＝±1處的收斂性與84對應(yīng)的二項展開式分別為對應(yīng)的二項展開式分別為85附注例10.4.6附注例10.4.686將函數(shù)展開成解:

的冪級數(shù).例10.4.8將函數(shù)展開成解:的冪級87三、函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用

1.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進行近似計算解:

因為計算的近似值，要求誤差不超過0.0001.這個級數(shù)收斂很快，取前兩項的和作為的近似值，其誤差(也叫做截斷誤差)為例10.4.11三、函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用1.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進行88為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10－4，計算時應(yīng)取5位小數(shù)，然后再四舍五入，得為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與892.利用級數(shù)計算積分

解:

我們知道e－x2的原函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用前面的積分法求出，但可以利用冪級數(shù)展開式來求.求函數(shù)e－x2的原函數(shù)．e－x2的原函數(shù)為：例10.4.132.利用級數(shù)計算積分解:我們知道e－x903.歐拉公式的證明復(fù)數(shù)項級數(shù)，其中un，vn(n＝1,2，…)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)．復(fù)數(shù)項級數(shù)的各項的實部組成的級數(shù)收斂，其和為u，各項的虛部組成的級數(shù)

收斂，其和為v，則稱該復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂，且其和為u＋iv.若

z＝x＋iy，其中x，y為實數(shù)．通常定義當(dāng)

x＝0時，有z＝iy，因此3.歐拉公式的證明復(fù)數(shù)項級數(shù)91由于

i2＝－1，上式可化為這就是歐拉公式．歐拉公式的另一形式：由于i2＝－1，上式可化為這就是歐拉公式．歐拉公式的另一形921.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式93當(dāng)m=–1時當(dāng)m=–1時94作業(yè)P1941(2),(4),(6);3;4;5(2),(3);6(2);作業(yè)P1941(2),(4),(695備用例題1.將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù)解:x1時,此級數(shù)條件收斂,因此備用例題1.將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)解:x1962.

將在x=0處展為冪級數(shù).解:因此2.將在x=0處展為冪級數(shù).解:因此97第5節(jié)傅里葉級數(shù)05一、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)第5節(jié)05一、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、周期為298簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).一、以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動99組成三角級數(shù)的函數(shù)系：證:同理可證:正交

,上的積分等于零.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在1.三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性組成三角級數(shù)的函數(shù)系：證:同理可證:正交,上的積分等于零100上的積分不等于零.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在上的積分不等于零.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘101設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證:

由定理條件,①②對①在逐項積分,得2.函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可102(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得(利用正交性)類似地,用sinkx乘①式兩邊,103葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數(shù).稱為函數(shù)

葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②104推論

(1)當(dāng)f(x)是周期為2π的奇函數(shù)時，它的傅里葉級數(shù)為正弦級數(shù)

，其中系數(shù)(2)當(dāng)f(x)是周期為2π的偶函數(shù)時，它的傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)

其中系數(shù)推論(1)當(dāng)f(x)是周期為2π105定理1(收斂定理)設(shè)函數(shù)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),如果它滿足狄利克雷(Dirichlet)條件：在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點，則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂，并且

x

為間斷點其中為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.3.傅里葉級數(shù)的收斂性定理1(收斂定理)設(shè)函數(shù)f(x)是周期為2的周期106設(shè)

矩形波的波形函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),

它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展開成傅里葉級數(shù).例10.5.1設(shè)矩形波的波形函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)107高等數(shù)學(xué)第10章--無窮級數(shù)課件1081)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.1)根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分109設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[－π,π]上并且滿足收斂定理的條件，我們可以在[－π，π)或(－π，π]外補充函數(shù)f(x)的定義，使它拓廣成周期為2π的周期函數(shù)F(x)．按這種方式拓廣函數(shù)的定義域的過程稱為周期延拓．4.定義在[－π,π]或[0,π]上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[0,π]上并且滿足收斂定理的條件，我們在開區(qū)間(－π，0)內(nèi)補充函數(shù)f(x)的定義，得到定義在(－π，π]上的函數(shù)F(x)，使它在(－π，π)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù))．按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓)．設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[－π,π]上并110將函數(shù)則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉級數(shù).2為周期的函數(shù)F(x),例10.5.3將函數(shù)則解:將f(x)延拓成以展成傅里葉級數(shù).2為111當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:112記已知又記已知又113二、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)此級數(shù)收斂，并且(1)當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于f(x)；定理2設(shè)周期為2l的函數(shù)f(x)滿足收斂定理1相對應(yīng)的收斂條件，則f(x)可以展開為下列形式的傅里葉級數(shù)(2)當(dāng)x是f(x)的間斷點時，級數(shù)收斂于二、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)此級數(shù)收斂，并且114無線電設(shè)備中，常用電子管整流器把交流電換成直流電，設(shè)已知電壓u(t)與時間的關(guān)系為解:是周期為的偶函數(shù),有試將它展開成傅里葉級數(shù)．例10.5.6無115于是得u(t)的傅里葉級數(shù)展開式為于是得u(t)的傅里葉級數(shù)展開式為1161.周期為2的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數(shù)收斂于內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:1172.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

奇函數(shù)正弦級數(shù)

偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)2.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇函數(shù)正弦級數(shù)118作業(yè)P2051(1),(3);2(1),(3);3(2);4(2);5作業(yè)P2051(1),(3);21191.設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),上的表達式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:

它在備用例題1.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),上的120說明:

當(dāng)時,級數(shù)收斂于說明:當(dāng)時,級數(shù)收斂于121傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻,他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠的影響.傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱122狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學(xué)家.對數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻,是解析數(shù)論他是最早提倡嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家.函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)收斂的第一個充分條件;了改變絕對收斂級數(shù)中項的順序不影響級數(shù)的和,舉例說明條件收斂級數(shù)不具有這樣的性質(zhì).他的主要的創(chuàng)始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集》

(1889一1897)中.1829年他得到了給定證明狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學(xué)家.對數(shù)論,123感謝聆聽批評指導(dǎo)感謝聆聽批評指導(dǎo)124高等數(shù)學(xué)（第3版）下冊高等數(shù)學(xué)（第3版）下冊125目錄CONTENTS第10章無窮級數(shù)第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的審斂法冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)第5節(jié)傅里葉級數(shù)目錄CONTENTS第10章無窮級數(shù)第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第126第1節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)01一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)第1節(jié)01一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)127一、常數(shù)項級數(shù)的概念

引例圓的面積問題.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個和越近似于圓的面積S.設(shè)a1

表示即內(nèi)接正六邊形面積,ak

表示邊數(shù)增加時增加的面積,如此繼續(xù)進行n次，一、常數(shù)項級數(shù)的概念引例圓的面積問題.依次作圓內(nèi)接正128定義1設(shè)給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項稱為級數(shù)的一般項,級數(shù)的前

n

項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為定義1設(shè)給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n129如果{sn}沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散，這時級數(shù)沒有和．當(dāng)級數(shù)收斂時，其部分和sn是級數(shù)和s的近似值，稱rn＝s－sn＝un+1＋un+2＋…＋un＋k＋…為級數(shù)

的余項．則稱無窮級數(shù)收斂，s稱為級數(shù)的和，記作如果級數(shù)

的部分和數(shù)列{sn}有極限s，即定義2如果{sn}沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散，這時級數(shù)沒有和．130討論公比為q

的等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))的斂散性.解:

若因而等比級數(shù)收斂,因而則部分和這時等比級數(shù)發(fā)散.其和為例10.1.3討論公比為q的等比級數(shù)131若因此等比級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合可知,時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,這時等比級數(shù)發(fā)散.若因此等比級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合可知,132二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1

如果級數(shù)收斂于和s,則各項乘以常數(shù)

k

所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,且和為ks.

說明:級數(shù)的每一項同乘一個非零常數(shù)后，它的斂散性不會改變.即其和為ks.二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果級數(shù)收斂于和s133性質(zhì)2

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)必收斂,且其和為證:

令則這說明級數(shù)也收斂,其和為說明：兩個收斂級數(shù)逐項相加(相減)所得級數(shù)仍收斂．性質(zhì)2設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)必收斂,且其和為證:134性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不改變級數(shù)的斂散性.證:

將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不改變級數(shù)的斂散性.135性質(zhì)4如果級數(shù)收斂，則對這個級數(shù)的各項間任意加括號所得的級數(shù)仍收斂，且其和不變．證:

設(shè)級數(shù)

前n項的部分和為sn，加括號所成的級數(shù)前k項部分和為Ak，則注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.例如，數(shù)列{Ak}是數(shù)列{sn}的一個子數(shù)列．由數(shù)列{sn}的收斂性以及收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系可知，數(shù)列{Ak}必定收斂，且有性質(zhì)4如果級數(shù)收斂，則對這個級數(shù)的各項間任136(1)若級數(shù)

收斂，

發(fā)散，則必定發(fā)散．(2)若級數(shù)

發(fā)散，

也發(fā)散，則不一定發(fā)散．(3)若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)

與不一定都發(fā)散．(4)若加括號之后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)必定發(fā)散．(5)如果級數(shù)的各項都大于零，且按某規(guī)律加括號后所得的級數(shù)收斂，則去括號后所得的級數(shù)也收斂．(6)若級數(shù)

發(fā)散，則添括號后所得的新級數(shù)不一定發(fā)散．(1)若級數(shù)收斂，137如果級數(shù)

收斂，則必有證:

可見:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項為不趨于零,因此這個級數(shù)發(fā)散.性質(zhì)5

(級數(shù)收斂的必要條件)如果級數(shù)收斂，則必有證:可見:138注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.對調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上

,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于s,則但矛盾!所以假設(shè)不真.例10.1.4注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.對調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.139作業(yè)P1651；2(2),(4)；3(3),(4)；

4(2),(4);5(2),(3);作業(yè)P1651；2(2),(4)；1401.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為備用例題1.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為備用例題1412.判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.2.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原142第2節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法02一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、牛頓–萊布尼茨公式第2節(jié)02一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、143一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1

正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”則收斂,一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有144定理2(比較審斂法)設(shè)且(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果級數(shù)則級數(shù)收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.都是正項級數(shù),(n＝1,2，…).證：(1)由定理1可知，當(dāng)級數(shù)

收斂時，其部分和數(shù)列必有界，于是有M>0，使得定理2(比較審斂法)設(shè)且(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果145又un≤vn(n＝1,2，…)，故因而級數(shù)

的部分和數(shù)列有界，級數(shù)收斂．則級數(shù)

必發(fā)散．(2)若級數(shù)發(fā)散,又un≤vn(n＝1,2，…)，故因而級數(shù)146推論設(shè)(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果級數(shù)則級數(shù)收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.都是正項級數(shù),并且un≤kvn

(k>0，n≥N，N為某一自然數(shù)).推論設(shè)(1)如果級數(shù)則級數(shù)(2)如果級數(shù)則級數(shù)收斂,也147討論p-

級數(shù)的斂散性，其中常數(shù)p>0.解:

當(dāng)因為對一切又調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,例10.2.3討論p-級數(shù)的斂散性，其中常數(shù)p>0.解:148因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,

當(dāng)因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故級數(shù)收斂,由比較審斂法知p149判定級數(shù)的斂散性.解:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例10.2.4判定級數(shù)的斂散性.解:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,150定理3(比較審斂法的極限形式)則有(2)當(dāng)

l=+∞

證:(1)由極限定義,對設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0≤l<+∞,定理3(比較審斂法的極限形式)則有(2)當(dāng)l=+∞151而級數(shù)收斂，根據(jù)比較審斂法的推論，知級數(shù)

收斂.(2)按已知條件存在，如果級數(shù)

收斂，則由結(jié)論(1)必有

收斂，但已知級數(shù)

發(fā)散，因此級數(shù)

不可能收斂，即級數(shù)

發(fā)散．而級數(shù)收斂，根據(jù)比152～判定級數(shù)的斂散性.

解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例10.2.5～判定級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知例153定理4

比值審斂法(D’Alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù)(un>0),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知(3)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．定理4比值審斂法(D’Alembert判別法)設(shè)154因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)(3)

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)(3)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可155判別級數(shù)的斂散性.解:

所以根據(jù)比值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散．例10.2.7判別級數(shù)的斂散性.解:所以根據(jù)比值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散156定理5(根值審斂法,柯西判別法)設(shè)為正項則(3)當(dāng)ρ＝1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．級數(shù),且定理5(根值審斂法,柯西判別法)設(shè)為正項則(3)當(dāng)ρ＝157解:

根據(jù)根值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散．判別級數(shù)

的斂散性．例10.2.9解:根據(jù)根值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散．判別級數(shù)158二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6(萊布尼茨判別法)

若交錯級數(shù)滿足如下條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)159證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故160收斂收斂用萊布尼茨判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂收斂收斂用萊布尼茨判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各161三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,收斂,數(shù)為條件收斂.為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.則稱原級三、絕對收斂與條件收斂定義:對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂162定理7

絕對收斂的級數(shù)必收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令定理7絕對收斂的級數(shù)必收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯163判定級數(shù)的斂散性.解：由可知當(dāng)n→∞時，|un|不趨于零，即un也不趨于零，故所給級數(shù)發(fā)散．例10.2.13判定級數(shù)1642.判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限內(nèi)容小結(jié)2.判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散1653.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)萊布尼茨判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)萊布尼茨判別法:則交錯級數(shù)收166設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.思考與練習(xí)設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂167作業(yè)P1751(1),(3),(5);2(1),(4);3(2),(4);4(2),(4),(6);5(1),(3),(5)作業(yè)P1751(1),(3),(5);168備用例題1.

判別級數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.不是p–級數(shù)(2)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.備用例題1.判別級數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級169第3節(jié)冪級數(shù)03一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算第3節(jié)03一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪170一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù).對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項級數(shù)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域

.一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù).171為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n

項部分和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項172考察級數(shù)解它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)的收斂域和發(fā)散域．例10.3.1考察級數(shù)解它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)的收173二、冪級數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)174收斂發(fā)散定理1(阿貝爾定理)如果冪級數(shù)則對滿足不等式的任何x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)娜魏蝬

,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:

設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使發(fā)散發(fā)散收

斂收斂發(fā)散定理1(阿貝爾定理)如果冪級數(shù)則對滿足不175當(dāng)

時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,當(dāng)時,176(1)當(dāng)|x|<R時，冪級數(shù)絕對收斂；

推論如果冪級數(shù)

不僅在x＝0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必存在一個完全確定的正數(shù)R，它具有這樣的性質(zhì)：(2)當(dāng)|x|>R時，冪級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)x＝R與x＝－R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(1)當(dāng)|x|<R時，冪級數(shù)絕對收斂；推177冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=+

時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出178定理2若的相鄰系數(shù)滿足證:(1)若0<l<＋∞,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,(1)當(dāng)0<l<＋∞時,(2)當(dāng)l＝0時,(3)當(dāng)l＝+∞時,即時,則定理2若的相鄰系數(shù)滿足證:(1)若0<l<＋∞,則179(2)若則根據(jù)比值審斂法可知,級數(shù)絕對收斂,(3)若則對除去x=0以外的一切x原級對任意

x原因此因此因此級數(shù)的收斂半徑數(shù)發(fā)散,

(2)若則根據(jù)比值審斂法可知,級數(shù)絕對收斂,(3)180對端點

x=－1,

的收斂半徑與收斂域.解:因?qū)Χ它cx=1,收斂;

級數(shù)為發(fā)散.因此，收斂域是求冪級數(shù)

級數(shù)為交錯級數(shù)例10.3.2對端點x=－1,的收斂半徑與收斂域.解:因?qū)Χ它cx181求冪級數(shù)的收斂半徑(記號0!＝1).解:所以收斂半徑R＝0，即冪級數(shù)僅在x＝0處收斂．例10.3.4求冪級數(shù)182求冪級數(shù)的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)y=5

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)y=–5時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為例10.3.6求冪級數(shù)的收斂域.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)y=5時,級183三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)1

設(shè)有兩冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)1設(shè)有兩冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則184性質(zhì)2冪級數(shù)

的和函數(shù)s(x)在收斂域I上連續(xù)．性質(zhì)3冪級數(shù)

的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(－R，R)內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項求導(dǎo)公式即求導(dǎo)運算與求和運算可互換次序．性質(zhì)2冪級數(shù)的和185性質(zhì)4

冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積，且有逐項積分公式即積分運算與求和運算可互換次序．性質(zhì)4冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收186求冪級數(shù)的和函數(shù).解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,x=1時級數(shù)發(fā)散,例10.3.7求冪級數(shù)的和函數(shù).解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及187因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而x=0時級數(shù)收斂于1,及1881.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運算.內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑1892)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.3.求和函數(shù)的常用方法—利用冪級數(shù)的性質(zhì)作業(yè)P1841(2),(4),(6)2(3),(4)2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間190阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了