37-第37講線性微分方程解的結(jié)構(gòu)課件

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第三十講一元微積分的應(yīng)用(六)腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中——微積分在物理中的應(yīng)用高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)1第七章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.會利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.知道下列高階方程的降階法：了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.掌握自由項（右端）為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解法.第七章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、2第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般理論二、二階常系數(shù)齊線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般3一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為4二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)為(1)的相對應(yīng)的齊方程。我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至n階線性方程中。二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)為(151.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原理的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解，你打算怎么證明這個原理？1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原6證證7的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣8在什么情況下，疊加所得可以成為方程(2)的通解？在什么情況下，疊加所得可以成為方程(2)的通解？9(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)1037-第37講線性微分方程解的結(jié)構(gòu)課件11例證由三角函數(shù)知識可知，這是不可能的，故例證由三角函數(shù)知識可知，這是不可能的，故12例證例證13朗斯基(Wronsky)行列式朗斯基行列式可以推廣到n個函數(shù)的情形。朗斯基(Wronsky)行列式朗斯基行列式可以推廣到14例例15(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個線性無關(guān)的解，則是方程(2)的通解。(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個線性無關(guān)的16定理2定理217例解又容易看出：而由疊加原理，原方程的通解為例解又容易看出：而由疊加原理，原方程的通解為18問題：該問題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。問題：該問題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。19代入方程中，得怎么做？關(guān)于z的一階線性方程代入方程中，得怎么做？關(guān)于z的一階線性方程20即故有兩邊積分，得關(guān)于z的一階線性方程即故有兩邊積分，得關(guān)于z的一階線性方程21劉維爾公式為原方程的通解。則劉維爾公式為原方程的通解。則22例解由劉維爾公式故原方程的通解為例解由劉維爾公式故原方程的通解為232.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)1的一個特解，則是原方程的一個特解。2.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)24性質(zhì)2的一個特解，則是方程的一個特解。性質(zhì)2的一個特解，則是方程的一個特解。25性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個特解。性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個特解。26性質(zhì)4的一個特解。性質(zhì)4的一個特解。27可以直接驗證性質(zhì)1——性質(zhì)4。可以直接驗證性質(zhì)1——性質(zhì)4。28如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)1以及通解的概念立即可以得知該定理成立。如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)29常數(shù)變易法常數(shù)變易法常數(shù)變易法常數(shù)變易法30常數(shù)變易法則有令以下推導(dǎo)的前提常數(shù)變易法則有令以下推導(dǎo)的前提31于是對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得這兩部分為零。即于是對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得這兩部分為零。即32聯(lián)立(3)、(4)構(gòu)成方程組解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到聯(lián)立(3)、(4)構(gòu)成方程組解此方程組，再積分，并取積分33例解該方程所對應(yīng)的齊方程為它就是我們剛剛講過的例題，由劉維爾公式得其通解為由常數(shù)變易法，解方程組例解該方程所對應(yīng)的齊方程為它就是我們剛剛講過的例題，由劉維34兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得故原方程有一特解從而，原方程的通解為兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得故原35在這一節(jié)中所講述的理論均可推廣到

n階線性微分方程中去。參考書：北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中山大學(xué)等編寫的《常微分方程》教材在這一節(jié)中所講述的理論均可推廣到參考書：北京36謝謝觀看！謝謝觀看！37高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第三十講一元微積分的應(yīng)用(六)腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中——微積分在物理中的應(yīng)用高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)38第七章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.會利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.知道下列高階方程的降階法：了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.掌握自由項（右端）為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解法.第七章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、39第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般理論二、二階常系數(shù)齊線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、高階線性微分方程的一般40一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為一、高階線性微分方程的一般理論n階線性方程的一般形式為41二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)為(1)的相對應(yīng)的齊方程。我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至n階線性方程中。二階線性微分方程的一般形式為通常稱(2)為(1421.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原理的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解，你打算怎么證明這個原理？1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1)疊加原43證證44的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣的解，則它們的線性組合也是方程(2)的解。推廣45在什么情況下，疊加所得可以成為方程(2)的通解？在什么情況下，疊加所得可以成為方程(2)的通解？46(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)(2)線性無關(guān)、線性相關(guān)4737-第37講線性微分方程解的結(jié)構(gòu)課件48例證由三角函數(shù)知識可知，這是不可能的，故例證由三角函數(shù)知識可知，這是不可能的，故49例證例證50朗斯基(Wronsky)行列式朗斯基行列式可以推廣到n個函數(shù)的情形。朗斯基(Wronsky)行列式朗斯基行列式可以推廣到51例例52(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個線性無關(guān)的解，則是方程(2)的通解。(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1的兩個線性無關(guān)的53定理2定理254例解又容易看出：而由疊加原理，原方程的通解為例解又容易看出：而由疊加原理，原方程的通解為55問題：該問題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。問題：該問題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。56代入方程中，得怎么做？關(guān)于z的一階線性方程代入方程中，得怎么做？關(guān)于z的一階線性方程57即故有兩邊積分，得關(guān)于z的一階線性方程即故有兩邊積分，得關(guān)于z的一階線性方程58劉維爾公式為原方程的通解。則劉維爾公式為原方程的通解。則59例解由劉維爾公式故原方程的通解為例解由劉維爾公式故原方程的通解為602.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)1的一個特解，則是原方程的一個特解。2.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)解的性質(zhì)性質(zhì)61性質(zhì)2的一個特解，則是方程的一個特解。性質(zhì)2的一個特解，則是方程的一個特解。62性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個特解。性質(zhì)3是其對應(yīng)的齊方程的一個特解。63性質(zhì)4的一個特解。性質(zhì)4的一個特解。64可以直接驗證性質(zhì)1——性質(zhì)4?？梢灾苯域炞C性質(zhì)1——性質(zhì)4。65如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)1以及通解的概念立即可以得知該定理成立。如何求特解？定理3的通解，則是方程(1)的通解。由性質(zhì)66常數(shù)變易法常數(shù)變易法常數(shù)變易法常數(shù)變易法67常數(shù)變易法則有令以下推導(dǎo)的前提常數(shù)變易法則有令以下推導(dǎo)的前提68于是對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得這兩部分為零。即于是對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得這兩部分為零。即69聯(lián)立(3)、(4)構(gòu)成方程組解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到聯(lián)立(3)、(4)構(gòu)成方程組解此方程組，再積分，并取積分70例解該方程所對應(yīng)的齊方程為它就是我們剛剛講過的例題，由劉維爾公式得其通解為由常數(shù)變易法，解方程組例解該