數(shù)列專題課程-3.與不定方程

積微積微精課2017高一數(shù)列專題課 積 積微精課2017高一積微教育2017課第三 數(shù)列與不定方①利用整除②利用奇偶③利用有理數(shù)的④不等式分析⑤數(shù)列的單調(diào)引例：設(shè)公d（d為奇數(shù)d1）的等差數(shù)列{ann項和SnSm19Sm0，其m3mN*an．3n1、已知數(shù)列a,ba3,ab

ab ,nNn n n nn求證：數(shù)列1是等差數(shù)列，并求數(shù)列bb bn

1a設(shè)數(shù)列cn滿足cn2an5p，是否存在正整數(shù)qrpqr，使1,1,1成等差數(shù)列？若存在，試用pqr；若不存在，請說明理cpcqaa2a2a2d的值a 1a2 設(shè)a1,d均為正整數(shù)，若 1是正整數(shù)，求證：對于任意正整數(shù)d

都是數(shù)列{an}(nN)中的 若不是，請說

ab

2ab

答n n

1a n 1nn4nnab2a2 2

bn

2 n ， n n

b

n n 1

1

1n b

21b1

b an 131n1n2即b n（2）由（1）

n2

2nnp1cpc11,cq2q1,cr2rn即1,1,1成等差數(shù) 21 即cpcq 2q 2rpq q2,r 2q 2r 不成2q 2r當(dāng)p2時，1,1,1成等差數(shù)列，同理可得：

cpcq

4p2q

2q 2p12r2r 2q12p 2p12q12r12p12q1r2pqp2q4p2q1 4p2q1q2p1r4p25pp q2p1p,rq4p27p34p12p1q2p1r4p25p2符合題意p2q2p1r4p25p2、解：（1）a2，a2，a2成等比，得(a2)2a2a2ad)2(ad)2 2d2(2a2d202d＝0d＝2a2d＝－

1 dd＝0可知，數(shù)列{an}(n∈N*)為非零的常數(shù)數(shù)列（常數(shù)為a)

d＝2a2d＝2(a1＋d)，則d＝－2－d＝－2a2d＝－2(a1＋d)，則d＝－2＋故所求的d＝0，或－2－2，或－2＋

由題意a2－a1是正整數(shù)可知，存在正整數(shù)l，使得a2－a d111na2＝a1＋lda2＝a1a2是等差數(shù)列{a}l＋1111n對于任一給定的正整數(shù)a2ak1)d)2a22a(k1)dk1)2d2 a2＝a 得a2ald2a(k1)dk1)2d2al2a(k1)k1)2d)d 由a1，l，k，d均為正整數(shù)，可知l2a1(k1)(k1)2d為正整數(shù)，不妨記為s，那么a2asd，所以有a2a sk的任意性，可知結(jié)由題意，a2，a2，a2均是數(shù)列{a} k，l，ma2akd(ad)2ald(a2d)2amd 由此可知a1，d均為有理數(shù)，且4a1，2d均為整數(shù)．a(chǎn)12＝a1＋kd4a12＝4a1＋4kd，則4a12為整數(shù)，又a1為有理數(shù)，從而2a1為整數(shù)．由2a1＋d＝l－k，得d為整數(shù)．a(chǎn)1不為整a1＝p，其p為奇數(shù)2盾．所以a1為整數(shù)．從而對于任意整數(shù)n，an為整數(shù)課后練2an,n2k 1、已知數(shù)列aam

ar,n

(kNrRnSn 當(dāng)m與r滿足什么關(guān)系時，對任意的nN*，數(shù)列a都滿足 對任意實數(shù)mrpq，使得a2n+1p與a2nq是同一個等比數(shù)列？若存在，請求出p,q滿足的條件；若不存在，請說明理由； 若數(shù)列{an的通項公式an2n，判斷{an是否為“G數(shù)列等差數(shù)列{and0a12d，求證：{an是“G數(shù)列Snan滿足1qSnan1ra12t0q0．若非零數(shù)列{an是“G數(shù)列”，試找出一組滿足條件的q,r．積微精課積微精課2017高一數(shù)列專題課 積 積微精課2017高一 若數(shù)列{a}是首項為，公比 的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式 若bnna23，求數(shù)列{an在（2）的條件下，設(shè)c ，求證：數(shù)列{c}中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之 bnb答ra3a1mr0 2an,n2k

m,n

(kN)a所以aam，aa2m，故對任意的nN*，數(shù)列a都滿足 aa （2）a2n1a2nr=2a2n1ra2n1r=2(a2n1r

r=mr，所以mr0a2n1r是等比數(shù)列

r)2n(mr)2n為使a2n1p是等比數(shù)列pr 同理，當(dāng)mr0時， 2r=(mr)2n，則欲a2r是等比數(shù)列，則q 綜上所述①mr0，則不存在實pq，使得a2n1p與a2nq是等比數(shù)列②mr0，則pqq2p2ra2n1p與a2nq是同一個等比數(shù)列 （3）當(dāng)mr1時，由（2）可得 2n1，a=2n1 n2kaa=2k1 Sn

2122…+2k2223…+2k13k32k1k2)

3 ) 2k1 k (1k)2k 令ck ，則ck1ck 0，所以n n2k1 2k2 2k1 (2k22)(2k1 n 2k 當(dāng)n2k1時，a =2k1，S 32k1k2)(2k12)2k 2k

43k2k1

Sn1，1綜上所述，實數(shù)的最大值為2（1）解

2(12nSn

2n12m1 當(dāng)n22m6m不是正整數(shù)∴{a不是“G數(shù)列（2）證明Snan(n1d2dnn(n1)

，即2dn

n(n2

d2d(m

n(n2n,n1是一奇一偶，m一定是正整 ∴{a}是“G數(shù)列（3）n2時，1qSnan1r1qSn1an1qanan1an0an1積微積微精課2017高一數(shù)列專題課 積 積微精課2017高一 又1q2ta2 記a2r2qt2tpan，q1an

Sn2tn1rr不恒成立顯然an不是“G數(shù)列p1qn12tp

q1Sn2t

1

1 1n1,S1a1，an是“G數(shù)列”n2時,mN*

2t

1q

1

pqq2,p2t,r4t2t2t,rq2,r

21

n 1 2S

3

n111

33

3 1

23

3 b n

3 an 21 3 3 若bnn2Snnan2Sn1n1an12an1n1an1nan2nann1an1n1an1n2an兩式相減可得n2nann1an1n1an1n2an2n1ann1an1n1an2anan1an1an2S1a12可得：a12，因為a23d ann由（2）得