選學(xué)內(nèi)容也有趣

本文格式為Word版，下載可任意編輯——選學(xué)內(nèi)容也有趣

吳涵

初學(xué)一元二次方程，你是否會(huì)認(rèn)為一元二次方程只是繁雜的計(jì)算題？這只是面對(duì)系數(shù)為具體數(shù)值的時(shí)候。當(dāng)需要我們抽象分析，特別是在學(xué)到選學(xué)內(nèi)容——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，就感到束手無(wú)策。很難嗎？但是十分好玩兒。

例1設(shè)m、n分別為一元二次方程x2+2x-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+3m+n的值是多少？

你是不是上來(lái)就求解這個(gè)一元二次方程，想要把兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別代進(jìn)去？我們先稍微預(yù)想下，求解不易，代入計(jì)算更繁，更何況還要考慮m、n分別如何取值。有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？我們?cè)俾?lián)想與一元二次方程的根的狀況有關(guān)的知識(shí)，就是我們教材選學(xué)部分的內(nèi)容——兩根和（積）與系數(shù)的關(guān)系。

解：∵m、n分別為一元二次方程x2+2x-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴m2+2m=2022，m+n=-2，

∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=2022+（-2）=2022。

這里，分別運(yùn)用了根的概念、兩根和（積）與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)，運(yùn)用了消除差異、整體代入的思想。這可比單純的求解一元二次方程好玩兒得多，你們說(shuō)呢？

例2若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m2-3m+3=0的兩根互為倒數(shù)，求m的值。

這里，方程的兩個(gè)根求不出來(lái)啊，假如用求根公式表達(dá)，又太過(guò)繁瑣。因此，我們需要抓住“兩根互為倒數(shù)〞這一關(guān)鍵條件，聚焦思維、深入思考。這個(gè)條件的等價(jià)表達(dá)是“兩根乘積為1〞，這又可以聯(lián)想到“兩根和（積）與系數(shù)的關(guān)系〞。

解：設(shè)方程兩根為x1、x2，則x1·x2=1，即m2-3m+3=1，

解得m1=1，m2=2。

又∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴b2-4ac≥0，即m2-4（m2-3m+3）≥0，

∴（m-2）2≤0，

∴m=2。

比起例1，例2更多了一些嚴(yán)謹(jǐn)。我們可能會(huì)在最終一步忽略了“根與系數(shù)關(guān)系〞成立的前提——存在實(shí)數(shù)根。這就要求我們不僅要擅長(zhǎng)展開(kāi)聯(lián)想，還要養(yǎng)成嚴(yán)密的思維習(xí)慣。當(dāng)我們意識(shí)到自己思維習(xí)慣上的問(wèn)題的時(shí)候，是不是很有收獲感呢？

例3已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足（x1-1）（x2-1）=8k2，求k的值。

相比前兩例，系數(shù)更繁雜了，條件也更多了。給的條件讓人感到異常陌生，有的同學(xué)甚至感覺(jué)無(wú)從下手。然而，當(dāng)我們靜下心來(lái)細(xì)心觀測(cè)、嘗試、思考之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在繁雜的外衣下，例3有著和例1一樣的本質(zhì)?！皟蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〞這一關(guān)鍵條件，正是此題的“題眼〞——問(wèn)題解決的關(guān)鍵第一步，接下來(lái)，從前不知如何運(yùn)用的條件“（x1-1）（x2-1）=8k2〞就有了用武之地。

解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

∴x1+x2=-（3k+1），x1·x2=2k2+1。

于是（x1-1）（x2-1）=8k2可以整理為x1·x2-（x1+x2）+1=8k2，

即2k2+1+3k+1+1=8k2，

∴6k2-3k-3=0，

∴2k2-k-1=0，

解得k1=-0.5，k2=1。

是不是感覺(jué)原本繁雜的題目變得簡(jiǎn)單了，眼前即刻豁然開(kāi)朗了？然而，別忘了思維的嚴(yán)密性哦。題目可不是“兩個(gè)實(shí)數(shù)根〞，而是“兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〞。由例2，我們知道，這里還需考慮b2-4ac>0，所以應(yīng)舍去k1=-0.5，取k2=1。至此，解答完整。

綜上，萬(wàn)變不離其宗，找到關(guān)鍵條件，展開(kāi)自然的聯(lián)想，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，逐步嘗試推理，一步一步把陌生的式子轉(zhuǎn)化為熟悉的公式，這樣的過(guò)程不管是對(duì)必學(xué)內(nèi)容還是對(duì)選學(xué)內(nèi)容都是十分好玩兒的思維過(guò)程。讓我們一起養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)思維的魅力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣吧。

教師點(diǎn)評(píng)

小能夠在選學(xué)內(nèi)容中享受思維的樂(lè)趣，并在其中領(lǐng)悟到“不管是對(duì)必學(xué)內(nèi)容還是對(duì)選學(xué)內(nèi)容〞，其思維過(guò)程都是“萬(wàn)變不離其宗〞，這才是相對(duì)于知識(shí)學(xué)習(xí)更為重要的思維學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要像小一樣，在把握“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能〞的基礎(chǔ)上，領(lǐng)悟“基本思想方法〞，積累“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)〞，提高“發(fā)現(xiàn)、