一般數(shù)列的項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)練習(xí)題

一般數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)：①數(shù)列的項(xiàng)具有有序性，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，注意與集合中元素的無(wú)序性區(qū)分開(kāi)來(lái)，；

②數(shù)列的項(xiàng)具有可重復(fù)性，數(shù)列中的數(shù)可重復(fù)出現(xiàn)，這也要與集合中元素的互異性區(qū)分開(kāi)來(lái)：

③注意an與{an}的區(qū)別：an表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)，而{an}表示數(shù)列a1，a2，…，an，…，方法提煉：數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問(wèn)題可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用（1）作差法；（2）作商法；（3）結(jié)合函數(shù)圖像等方法；

2.若求最大項(xiàng)an,則an滿足an≥an+1且an≥an-1；若求最小項(xiàng)an,則an滿足an≤an+1且an≤an-1。一般數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成an=f（n），那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。通項(xiàng)公式的求法：（1）構(gòu)造等比數(shù)列：凡是出現(xiàn)關(guān)于后項(xiàng)和前項(xiàng)的一次遞推式都可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；

（2）構(gòu)造等差數(shù)列：遞推式不能構(gòu)造等比數(shù)列時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；

（3）遞推：即按照后項(xiàng)和前項(xiàng)的對(duì)應(yīng)規(guī)律，再往前項(xiàng)推寫對(duì)應(yīng)式。

已知遞推公式求通項(xiàng)常見(jiàn)方法：

①已知a1=a,an+1=qan+b,求an時(shí)，利用待定系數(shù)法求解，其關(guān)鍵是確定待定系數(shù)λ，使an+1

+λ=q(an+λ)進(jìn)而得到λ。

②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an時(shí)，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。

③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an時(shí)，利用累乘法求解。例題1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-2，則a2等于（）A、4

B、2

C、1

D、-2答案：A例題2.數(shù)列{an}中，，且a1=2，則an等于（

）

A．

B．

C．

D．答案：B例題3.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)小正方形。（1）求出f（5）；

（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f（n）的表達(dá)式；

（3）求的值。解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，

∴f（5）=25+4×4=41。

（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，

f（3）-f（2）=8=4×2，

f（4）-f（3）=12=4×3，

f（5）-f（4）=16=4×4，

由上式規(guī)律得出f（n+1）-f（n）=4n

∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），

f（n-1）-f（n-2）=4·（n-2），

f（n-2）-f（n-3）=4·（n-3）

…

f（2）-f（1）=4×1，

∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]=2（n-1）·n，

∴f（n）=2n2-2n+1。

（3）當(dāng)n≥2時(shí)，

∴

。例題4.把非零自然數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表（每行比上一行多一個(gè)數(shù)）：設(shè)aij（i，j∈N*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a42=8，若i=65，j=3，則aij的值為（）A.2010

B.2051

C.2053 D.2055答案：C例題5.如下圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為（n≥2），每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如…，則第10行第4個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A. B. C. D.答案：B例題6.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1，則an=（

）．答案：an=例題7.設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn=2Sn-n2，n∈N*。

（1）求a1的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。答案：（1）在中，令。

（2），

相減得：

，，

相減得：

，

得

得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列

。例題8.已知Pn是把Pn-1Pn+1線段作n等分的分點(diǎn)中最靠近Pn+1的點(diǎn)，設(shè)線段P1P2，P2P3，…，PnPn+1，的長(zhǎng)度分別為a1，a2，a3，…，an，其中a1=1。

（1）寫出a2，a3和an的表達(dá)式；

（2）證明a1+a2+a3+…+an＜3；

（3）設(shè)點(diǎn)Mn（n，an），在這些點(diǎn)中是否存在兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)的圖象上，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由已知Pn﹣1

Pn=（n﹣1）PnPn﹣1

令n=2，P1P2=P2P3，

∴a2=1，同理

。

（2）∵

a1+a2+a3+…+an

而n=1時(shí)，結(jié)論成立，

故a1+a2+a3+…+an＜3；

（3）假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)A（p，ap），B（q，aq），都在函數(shù)上，

即，

所以，，

消去k得

①，

以下考查數(shù)列的增減情況，

，

當(dāng)n＞2時(shí)，n2﹣3n+1＞0，

所以對(duì)于數(shù)列{bn}為遞減數(shù)列

∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在。例題9.某商店投入38萬(wàn)元經(jīng)銷某種紀(jì)念品，經(jīng)銷時(shí)間共60天，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中，市場(chǎng)調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n天的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元，n∈N*），記第n天的利潤(rùn)率bn=，例如。

（1）求b1，b2的值；

（2）求第n天的利潤(rùn)率bn；

（3）該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤(rùn)率最大？并求該天的利潤(rùn)率。解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，

當(dāng)n=2時(shí)，。

（2）當(dāng)1≤n≤25時(shí)，a1=a2=…=an-1=an=1

∴

當(dāng)26≤n≤60時(shí)

∴第n天的利潤(rùn)率。

（3）當(dāng)1≤n≤25時(shí)，是遞減數(shù)列，此時(shí)bn的最大值為

當(dāng)26≤n≤60時(shí)

（當(dāng)且僅當(dāng)，即n=50時(shí)，“=”成立）

又∵

∴n=1時(shí)，

∴該商店經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第1天的利潤(rùn)率最大，且該天的利潤(rùn)率為。例題10.如圖，P1（x1，y1）、P2

（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲線C：y2=3x（y≥0）上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x軸的正半軸上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐標(biāo)原點(diǎn)）。（1）寫出a1、a2、a3；

（2）求出點(diǎn)An（an，0）（n∈N*）的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式；

（3）設(shè)，若對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，不等式t2-2mt+＞bn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。解：（1）。

（2）依題意，得

由此及

得

即

由（1）可猜想：

下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；

②假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即有

則當(dāng)n=k+1時(shí)，