數(shù)字信號(hào)處理CH4 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣

CH4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣4.1周期采樣4.2采樣的頻域表示4.3由樣本重構(gòu)帶限信號(hào)4.4連續(xù)與離散系統(tǒng)的等效性4.5離散變采樣方法4.6有限字長效應(yīng)4.1周期采樣采樣周期：T(S) 采樣頻率：fs=1/T(Hz)同一信號(hào)，不同采樣頻率的采樣輸出4.2采樣的頻域表示周期采樣后的信號(hào)頻譜為原信號(hào)頻譜的平移疊加平移疊加當(dāng)橫軸分別為f,Ω,ω

時(shí)，平移周期對(duì)應(yīng)為fs,Ωs,2π當(dāng)

Ωs

<2ΩN時(shí)，信號(hào)頻譜產(chǎn)生混疊幅度因子1/T連續(xù)時(shí)間信號(hào)的恢復(fù)當(dāng)

Ωs

>2ΩN時(shí)，原理上可找到合適的理想低通濾波器完全恢復(fù)原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)奈奎斯特采樣定理對(duì)帶限信號(hào)xc(t)，有當(dāng)采樣頻率

時(shí):周期采樣信號(hào)x[n]唯一決定了xc(t)例：單頻信號(hào)的混疊效果4.3由樣本重構(gòu)帶限信號(hào)時(shí)域重構(gòu)過程的理想帶限內(nèi)插4.4連續(xù)與離散系統(tǒng)的等效性等效的充分條件：帶限信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)連續(xù)與離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的等效關(guān)系連續(xù)等效系統(tǒng)相當(dāng)于離散系統(tǒng)周期頻率響應(yīng)的基帶周期例：數(shù)字低通濾波器輸入信號(hào)必須帶限對(duì)低通濾波，允許信號(hào)采樣稍有混疊改變信號(hào)采樣率，可等效不同截止頻率的模擬濾波器帶限連續(xù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)離散系統(tǒng)與信號(hào)采樣相似，頻率響應(yīng)平移疊加無混疊時(shí)，單周期內(nèi)相同：脈沖響應(yīng)不變：h[n]=Thc(nT)注意：脈沖響應(yīng)采樣有幅度因子T例：延時(shí)系統(tǒng)用傅里葉變換時(shí)移性質(zhì)，得：當(dāng)延時(shí)為整數(shù)n0時(shí)，相當(dāng)延時(shí)n0個(gè)樣本，上面輸入-輸出方程可實(shí)現(xiàn)但當(dāng)延時(shí)為非整數(shù)時(shí)，上式不成立且離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)意義不明確例：非整數(shù)延時(shí)系統(tǒng)該方程是無限卷積也無法實(shí)現(xiàn)，但過程說明了非整數(shù)延時(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)意義例：非整數(shù)延時(shí)系統(tǒng)（續(xù)）非整數(shù)延時(shí)系統(tǒng)輸出結(jié)果等效于：輸入連續(xù)化延時(shí)離散重采樣4.5離散變采樣方法采樣定理要求采樣率大于信號(hào)帶寬的2倍非理想銳截止抗混疊低通濾波器一般要求采樣率再提高20%較高的采樣率意味著較大的數(shù)據(jù)量，也就要求系統(tǒng)較大的運(yùn)算處理能力等效模擬相同性能的FIR濾波器其運(yùn)算量正比于采樣率的平方！4.5.1比例抽取—M整倍數(shù)減采樣對(duì)原始序列每M點(diǎn)抽取一點(diǎn)xd[n]=x[nM]=xc(nMT)減采樣頻譜關(guān)系頻譜擴(kuò)大M倍，按2π平移M個(gè)，疊加除M例:2倍減采樣3倍減采樣例：頻譜關(guān)系非歸一化f,Ω域,間隔減小M倍歸一化ω域，每周期內(nèi)頻譜擴(kuò)大M倍幅度因子1/M防混疊預(yù)濾波當(dāng)ωN>π/M，M倍抽取會(huì)產(chǎn)生信號(hào)混疊帶寬π/M的理想低通預(yù)濾波可防止混疊，但減小了信號(hào)的有效帶寬M倍減采樣一般系統(tǒng)信號(hào)帶寬滿足無混疊條件ωN<π/M

時(shí)，可不必預(yù)濾波先低通濾波，后抽取，次序不可顛倒例：減采樣應(yīng)用數(shù)字過采樣技術(shù)銳截止模擬抗混疊濾波器困難并昂貴，復(fù)雜且不穩(wěn)定，難保持線性相位最終結(jié)果減小了過采樣率，提高了有效信息量例：(續(xù))過采樣過程中的噪聲消除允許噪聲混疊可減小過采樣率4.5.2插零濾波—L整數(shù)倍增采樣L倍增采樣一般系統(tǒng)xe[n]插零序列xi[n]增采樣輸出序列插零序列原序列每兩點(diǎn)間插入L-1個(gè)0插零信號(hào)的頻譜頻譜對(duì)ω軸按L比例縮小增采樣頻譜關(guān)系插零序列使得頻譜按L比例縮小重復(fù)周期也減小為2π/L，多出了L-1個(gè)周期帶寬π/L的理想低通可去除多余的周期為調(diào)整合理的幅度因子，理想低通幅度為L插零濾波后輸出結(jié)果L倍增采樣方法小結(jié)理想低通濾波帶寬π/L，幅度L，不可省略先插零，后低通濾波，次序不可顛倒工程上理想低通無法實(shí)現(xiàn)，一定有過渡帶，故原始信號(hào)帶寬不可達(dá)到π。事實(shí)上ADC前的抗混疊低通濾波器也已要求信號(hào)有效帶寬小于π為簡化運(yùn)算，有時(shí)要求不高時(shí)也可用線性內(nèi)插實(shí)現(xiàn)增采樣。事實(shí)上線性內(nèi)插過程就是一個(gè)性能不高的低通濾波用線性內(nèi)插實(shí)現(xiàn)增采樣4.5.3分?jǐn)?shù)法—非整數(shù)倍變采樣結(jié)合上兩節(jié)內(nèi)容，采樣率改變L/M倍，原理上可接近任何所要求的比例L、M取值較大時(shí)，運(yùn)算量也加大，在誤差允許的范圍內(nèi)，應(yīng)盡量減小例： 1.205:1，允許1%誤差。 較精確時(shí)應(yīng)取241:200

但取6:5可極大降低運(yùn)算量，誤差0.5%增、減采樣的級(jí)聯(lián)先增L、后降M，次序不可顛倒二低通濾波器可合一，帶寬取較窄的，增益為L例：1:1.5變采樣L=2，M=3當(dāng)L<M時(shí)，信號(hào)有效帶寬減小顛倒了先增后降的次序，不僅低通無法合一，而且可能損失信號(hào)帶寬例：將3kHz的信號(hào)序列改變?yōu)?kHz數(shù)字變頻技術(shù)，L=3，M=44.5.4變采樣算法設(shè)計(jì)考慮用N階FIR低通濾波器，卷積實(shí)現(xiàn)。一般每輸入一個(gè)樣值運(yùn)算一次，得一個(gè)輸出，需N次乘法，N-1次加法M倍減采樣預(yù)濾波： 抽取為低通輸出M點(diǎn)取一，未取輸出對(duì)應(yīng)的運(yùn)算可省略，平均運(yùn)算量降低M倍，約： N/M次乘、(N-1)/M次加變采樣算法設(shè)計(jì)（續(xù)）L倍增采樣后濾波： 內(nèi)插為每兩點(diǎn)間插入L-1個(gè)0，不必乘加，運(yùn)算量降低L倍。但每一個(gè)輸入須L個(gè)輸出，運(yùn)算L次，相對(duì)每次輸入平均運(yùn)算量約：

N次乘、L(N/L-1)次加等效多相濾波器實(shí)現(xiàn)（N=9，L=3）：x[n] x00x00x00x00x00…h(huán)[n] 012345678 運(yùn)算得y[3n] 012345678 y[3n+1] 012345678 y[3n+2]增采樣多相分解實(shí)現(xiàn)將N點(diǎn)的FIR濾波器分解為L個(gè)長度為N/L的小濾波器4.6有限字長(量化)效應(yīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換過程采樣保持量化量化編碼ADC滿量程動(dòng)態(tài)幅度：2Xm量化電平：Δ編碼位數(shù):B+1Δ=Xm/2B量化誤差3位編碼結(jié)果3位及8位編碼量化誤差不考慮信號(hào)溢出時(shí)，量化誤差|e[n]|<Δ/2ADC量化信噪比將量化誤差建模為如圖所示均勻分布的白噪聲量化噪聲方差：σe2=∫e2/Δde=Δ2/12=2-2BXm/12ADC量化信噪比（分貝dB）：SNR=10log10(σx2/σe2) =6.02B+10.8-20log10(Xm/σx)量化編碼B增加一位，可提高信噪