(2021年)考研數學《線性代數》考點知識點總結

第一章行列式二元線性a

x

yb a a b a

a b D D11

1 D

12，D

12，D 11 1

x

，y 2方程組： a21

xa22

yb2

a a21 22

1 b a2 22

2 a b D D21 2排列的逆tt序數： it1

（tpi 1

p2

中大于pi

且排于pi

前的元素個數）

t為奇數奇排列，t為偶數偶排列，t0標準排列。n階行列

Ddet(a

a11a)

a a12 1na a22

=(1)ta a

t為列標排列的逆序數．式：

a a an2 nn

1p 2p np1 2 n定理1：排列中任意兩個元素對換，排列改變奇偶性推論：奇（偶）排列變?yōu)闃藴逝帕械膶Q次數為奇（偶）數定理2：n階行列式可定義為D(1)ta a ap1 p2 p1 2 n

=(1)ta a a ．1p 2p np1 2 nD=DT，DTD)互換行列式的兩(列行列式變號． 推論：兩列)完全相同的行列式等于零．ri

r（cj

c）DDj

ri

r（cj

c）DD0．jk列)k(列)所有元素公因子可提到行列式的外面．kDri

k（kDci

k． 記作：kDri

k（kDci

k．(列)元素成比例的行列式為零．記作：rj

rk（ci

ck）D0．i行列式的性質：5．Da11a21aa12a22a(a a)a1n(a a)a2i 2i 2n (a a)aDa11a21aa12a22aa a1na a2i 2n a aa11a21aa12a22aaa1naa2i 2n aan1n2ni ni nnn1n2ni nnn1n2ni nn上式為列變換，行變換同樣成立．6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．ci

ckc(ri j

rkri

)D不變．i 注：任何n階行列式總能利用行運算r+kr化為上(下)i 對角行列式 上D（下DT）三角形行列式11 0 0 1122 ， 22 12 n

n(n1)212 n

a11a aD 21 22

0aa a1122 nn0 na a

0na a

a a an2 nna b11 1k

11 1k D1

det(aij

) ab若對Dak1 akk 設

a ak1 kk，

若2n階行列式D ，2n cdc c b b11 1k 11 1k

b11 1n

D

) 2 c b bk1 kk k1 kk

ijb bnn

cd2n2n2nD=D1D2．

有D =(ad-bc)n．余子式：n階行列式中把aij

所在的第i行和第jn-1

代數余子式： Aij

(1)ijMij引理：nD中，若第i行所有元素除aij

DaA．ij ij3：

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘機之和．推論：行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘機之和等于零．(代數余子式性質)

naAki

Dij

D,ij,kkkk

或

aAik

Dij

D,當ij, 其中ij; ij

當ij,,當ij.范德蒙德

1x1D x2

1 1x x2 3x2 x2

1 xn x2 ＝ (x

x．證明用數學歸納法．行列式：

n 1xn11

2xn12

3xn13

n i j nij1 xn1naxa

xa

b,111

122

1nn 1

a aa x

a x

a x b

11 1n設方程組

211 222 2nn 2

，若D 0，則方程組有惟一解：a a克拉默法 a xa xa x b 1 nn則： 1 n2D D

nnn D

a a b11 j

a aj1nx 1,x

2,,x

n，其中D

(j1,2,,n)．1 D 2 D n

ja n1

bn,j

a an,jnnn4：若上線性方程組的系數行列式D0，則方程組一定有惟一解；若無解或有兩個不同解，則D0．5：若齊次線性方程組(b=0)D0，則齊次線性方程組無非零解；若有非零解，則D0第二章矩陣及其運算nn階單位矩(單位對角矩(對角純量陣：100100λ100λ000100λ00λ000

0 1

Λ00

20 λ2n

E00

0 λAEA． 另可記作Λ,

)． (E)A，A(E)A．1 2 n矩陣與矩

Α(aij

是一個msBij

)是一個sn矩陣，且CAB，則C(cij

是一個mn矩陣，陣相乘：

且c abij i11

abi22j

abissj

(i1,2,m;j1,2,nABBAA與B矩陣轉置：Αaij

(aji

) (AB)TATBT，(AB)TBTAT AATA對稱陣方陣的行列式：n階方陣A元素構成的行列式，記A或detA．

方陣行列式的運算規(guī)律：A A A

A Aij

AT

A； 11 21 A A A 2 代數余子式．

2．AnA；伴隨矩陣：A* 12 22 n A A A1n 2n nn

AA*A*AAE

3．ABAB，AA1

1．逆矩陣：若ABBAE，則A可逆，且稱B為A的逆矩陣，記B=A-1，A的逆陣是唯一的．1：AA0．

2：A0，則矩陣A可逆，且A1

1A*．A奇異矩陣：A0A稱為奇異矩陣．1

AA0A是非奇異矩陣。運算規(guī)律：1(A1)1

A；2．(A)1

A1；3．(AB)1B1A1；4．(AT)1(A1)T．A的m次多項式：(A)

EaAaA2a

(A)f(A)f(A)(A0 1 1 mAPΛP1Ak

ΛkP1，．Λdiag(,,,)（對角陣，則Λkdiagk,k,,k),1 2 n 1 2 n(A)P()P1．

(A)diag((),(),,(

))．1 2 n加減相乘與矩陣相同。

（其中A以及

均為方陣）A A i 11

1r

0 A1 0A若A ， 1A分塊矩陣 A A

1

A1 的運算規(guī)

s1 sr

A

2

A0A1

2 律： AT

AT 0

A 0

A1

1r

s AT

sAT AT

A

A

0 (isA0． s1αT

sr

1 2 A(a,a,,a)

iαT 1

1 2 n

11αT

αTA 2，

a

ΛA 2 2行向量：

mn

αT m

列向量：

1ja a 2j

m mn

αT m m

若ATA0，A0．j αT(a,a,,a

a

AΛ (a,a,,a)i i1 i2 in

mj

n 11 2 2 n n第三章矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換：初等行(列)變換：1．ri

r(cj

c)；2．rj

k(ci

k（k0；3．ri

kr(cj

kc)．j矩陣間等價：行等價：ArB；列等價：A

B；等價：A~B（矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B）行階梯型矩陣：階梯線下為零，一行一臺階，豎線后非零元。行最簡形矩陣：豎線后非零元為1，同列其它元為0．E 0

經初等變換總能化為標準型F．標準型：

F 0

或FE0 r0

mnmn 單位矩陣E經一次初等變換所得矩陣E（f為變換規(guī)則：初等矩陣：

j)i

r(cj

c2Ei(k))rj

k(ci

k) k0Eij(k))ri

krj

(kci

c)．j定理1：矩陣A初等行變換，初等矩陣左乘E(f)A；初等列變換，初等矩陣右乘AE(f)．

A可逆的充要條件：存在有限個初等矩陣E1(f)。E2(f)，…，El(f)A=E1(f)E2(f)…El(f)．1A可逆AE2A~BPQ方陣A可逆則AEr( ·-．ABrA-B，Axb，A-bAbr，x)E，A· · ·重要性質： Ac E YCA1

或Y

(CA1)T

(AT)1C

(AT,CT)(E,(AT)1CT)C CA1矩陣的標準型F中非零行的行數r，記R(A)．且r+1階子矩陣A的取A中k行與k列交叉處的k2個元素且秩：式全等于零，r階非零子式稱A的最高階非零子式。k階子式：不改變對應位置組成的k階行列式。定義：定義：零矩陣的秩為；滿秩矩陣（可逆矩陣，降秩矩陣（不可逆即奇異矩陣。性質：①0RAm×nmn；②RA)=RA；A~BR(A)=R(B)；④若PQ⑤max{R(A)，R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B)B=bR(A)≤R(A，b)≤R(A)+1；⑥R(A+B)≤R(A)+R(B)；nAxb⑦R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；Am×nBn×l=0R(A)+R(B)≤n．4：9：無解的充分必要條件是A；有惟一解的充分必要條件是A)b)n；有無限多解的充分必要條件是A)b)n．Axb有解的充要條件是A)b．nAx0有非零解的充要條件是R(A)nAXBR(A)R(AB)．設ABC，則R(C)min{R(A),R(B)}．它不相容．Amn nlXO只有零解的充要條件是R(A)n．第四章向量組的線性相關性11 22 mm 注：列向量用黑體小寫字母a、b、αβ等表示，行向量則用aT、bT、αTβTb能由向量組A線性表示：b=λa+λa+…+λa(λ)或可記為b11 22 mm n維向量(組向(組中每個向)由n個數組成。 向量組等價：兩向量組能相互線性表示．定義：

向量組A線性相關：ka+ka+…+ka=0（k

不全為0)，反之線性無關。11 22 mm iA向量組的秩：從向量組Arr+1為秩，記RABAB的行向量組等價；列等價，則列向量組等價．A1 2 定理1：向量b能由向量組A：a，a，…，a 線性表示的充要條件是R(A)=R(A，b)1 2 1 2 l 1 2 1 2 m 1 2 定理2：向量組B：b，b，…，b能由向量組A：a，a，…，a 線性表示的充要條件是推論：向量組A：a，a，…，a 與向量組B：b，b，…，b等價的充要條件是R(A)=R(B)=R1 2 l 1 2 1 2 m 1 2 1 2 l 1 2 定理3：若向量組B：b，b，…，b能由向量組A：a，a，…，a 線性表示，則R(B)≤R(1 2 l 1 2 1 2 1 2 l 1 2 逆陣推廣：n維單位坐標向量組能由n維向量組線性表示的充要條件是定理4：向量組A：a，a，…，a 線性相關的充要條件是R(A)<m；線性無關充要條件是R(1 2 1 2 l 1 2 1 2 m 1 m ⑴設向量組A：a，a，…，a 與向量組B：a，…，a，a ，若A線性相關，則B線性相關；反之若1 2 m 1 m 定理5：⑵（n+m）個n維向量組成的向量組在m>0時一定線性相關。1 2 m 1 ⑶設向量組A：a，a，…，a 線性無關，而向量組B：a，…，a，b線性相關，則向量b必能由向組1 2 m 1 A定理6：矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．A推論：

A中部分向量組成向量組

，若滿足0

0線性無關且A中任一向量都能由A0

線性表示，則向量組A0便是向量組A的一個最大無關組．7mnAR(A)=rnAx0S的秩R

=n－r．=SAx0

ξ+kξ+…+kξ；方程Axb通解：x=kξ+kξ+…+kξ+η*．ξ基礎解系，t=n-r．11 22 tt 11 22 tt非空，封閉（加法、數乘運算均在集合內進行）的n維向量的集合稱向量空間．向量組aaa所生成的r維V=λ

a+λa+…+λa|λ

λ…λR，向量空間：

1 2 r

11 22

rr1 2 rλixa，a

中的坐標，若基取單位坐標向量組，則該基稱自然基。1 2 r變換公式：

空間向量V的基就是向量組的最大無關組，V的維數就是向量組的秩。BAx=P－1xP=1BP1BAAB為新基矩陣，xA為舊基中的坐標列向量，xB為新基中的坐標列向量。P=A－1B稱為過渡矩陣．內積性質：內積性質：當x=0；當x≠0施瓦茨不等式n維向量x的長(范 [x,x] x2x2x2．n向量長度：性質：非負性：當x≠0x=0||λx||=|λ|||x||；3.||x+y||≤||x||+||y||．1 2向量夾角：arccos[x,y]（x0，0，當，]=0時，稱向量x與y正交；若=x與任何向量都正交。x y1n

，a，…，aa，a

線性無關．1 2 r 1 2 r定義：i

eTa[a,e]．i i施密特正

b

a；

a[b,a2]b；

a[b,ar]b

[b,ar]

[b ,a]rr b ．交化 1 1 2

2 [b,b] 1

2 r [b,b]

[b,b] 2

[b ,

] r1121 1 1 1 2 112

r1

r1(基規(guī)范正交化)：

單位化e1

1b，e 1b 1 2 b1

b，e 12 r br

b，就是一個規(guī)范正交基．r正交矩陣：n階矩陣A滿足A=（即A－1A．AA行正交陣：正交陣構成一個規(guī)范正交基。正交變換：=PP為正交陣|y||=|x|．

性質：1.若A為正交陣，則A－1=AT也為正交陣，且|A|=1或(-1)；ABAB也是正交陣．方陣特征Ax=λxλA特征值xAλ特征向量。定義：特征方程：|A－λE|=0；特征多項式：f(λ)=|A－λE|=(λ1-λ)(λ2-λ)…(λn-λ)，f(λ)λn次多項式。n

）λ1．λ

+…+λ=a+a

+…+a

；2．λ

…λ=|A|．ij

1 2

11 22

12 n特征性質：若i是方陣A的對應特征值i的特征向量，則0）也是對應于i的特征向量．λAAkAA－1φ(A)其中φ)=a+a++ammφAE1…+Am．定理2：設λ是方陣A的特征值是對應的特征向量，若λ各不相等，則

線性無關．1 2 m 1 2 m i i定義：若對矩陣A，B有，P－1AP=B，則稱B是A的相似矩陣．對A進行運算P－1AP稱對A進行相似變換．若A與B相似，則A與B的特征多項式相同，且A與B的特征值亦相同．

AΛλ，λ

即是A的n個特征值．1 2 n1 2 n A對角化：P－1AP=ΛΛ=diag((λ，λ，…，λ)λ1 2 n n階矩陣A與對角陣相似（即A能對角化）的充要條件：A有n個線性無關的特征向量。

推論：若n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似。定理5：對稱陣的特征值為實數。1 2 1 2 1 2 1 6λ，λA，pλpp1 2 1 2 1 2 1 AnPP－1AP=PTAP=ΛΛAn個特征值為對角元的對角陣．

AnAkA－λER(A－λE)=n-k，從而對應特λk個線性無關的特征向量．對稱陣A 1．求出A的全部特征值λ，λ，…，λ，它們的重數依次為k，k，…，k(k+k+…+k=n)．1 2 s 1 2 s 1 2 si 對角化的2kiλ(A－λE)x=0k3n個正交、單位向量構成正交陣P，便有i

，x

)=a

x2+a

x2+…+a

x2+2a

xx+2a

xx+…+2a

x x．1 2 n

11

22

nn

1212

1313

n-1,n

n-1n3．f=xTAx，2

x=（x，x，…x．2．f

axx（1中滿足

a．

ij 1 2 n二次型：

ij i j

ji ij

4標準形：=12+λ2+λ2（Cy代入1）i,j1

1 2 2 n n定義：

5規(guī)范形=2+…+2－2－…－26．CyAC=CAxCy代入3．2 n 1 2 1 p p+1 x=Pz代入14中i只取-1或0．7Λ4中記Λ=diag1λλ（yyy．Af的矩陣Af的秩設n階矩陣A與BC=CAA與B合同A對稱則B對稱且RA2 n 1 2 1 p p+1 fx=Cyff=λ1y2+λ

+…+λ

f

）的特征定理8：