高考數(shù)學《86 空間向量及其運算》課件

8.6

空間向量及其運算8.6空間向量及其運算-2-知識梳理雙基自測234151.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量:在空間中,具有

和

的量叫做空間向量,其大小叫做向量的

或

.

(2)相等向量:方向

且模

的向量.

(3)共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在的直線

或

,則這些向量叫做

或

,a平行于b記作a∥b.

(4)共面向量:平行于同一

的向量叫做共面向量.

大小

方向

長度

模

相同

相等

平行

重合

共線向量

平行向量

平面

-2-知識梳理雙基自測234151.空間向量的有關(guān)概念大小-3-知識梳理雙基自測234152.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理:對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb.(2)共面向量定理:若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空間的一個基底.-3-知識梳理雙基自測234152.空間向量的有關(guān)定理-4-知識梳理雙基自測234153.兩個向量的數(shù)量積(1)兩個向量的夾角已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作

則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作

,其范圍是

,若<a,b>=,則向量a,b

,記作a⊥b.

(2)兩個向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a,b,則

叫做向量a,b的數(shù)量積,記作

,即a·b=

.

<a,b>

0≤<a,b>≤π

互相垂直

|a||b|cos<a,b>a·b

|a||b|cos<a,b>-4-知識梳理雙基自測234153.兩個向量的數(shù)量積<a,b-5-知識梳理雙基自測234154.空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).a1b1+a2b2+a3b3

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0-5-知識梳理雙基自測234154.空間向量的坐標表示及其應(yīng)-6-知識梳理雙基自測23415(3)向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不滿足結(jié)合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.-6-知識梳理雙基自測23415(3)向量的數(shù)量積滿足交換律2-7-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件.(

)(2)對空間任意一點O與不共線的三點A,B,C,若(3)對于空間非零向量a,b,a⊥b?a·b=0.(

)(4)對于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(

)(5)非零向量a,b,c滿足(a·b)·c=a·(b·c).(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

2-7-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,-8-知識梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-8-知識梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉答案-9-知識梳理雙基自測234153.(教材習題改編P92T3)如圖,在一個60°的二面角的棱上,有兩個點A,B,AC,BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段,且AB=4,AC=6,BD=8,則CD的長為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-9-知識梳理雙基自測234153.(教材習題改編P92T3-10-知識梳理雙基自測234154.(教材習題改編P98T10)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1和BB1的中點,那么直線AM和CN所成角的余弦值為

.

答案答案關(guān)閉-10-知識梳理雙基自測234154.(教材習題改編P98T-11-知識梳理雙基自測23415解析

以D為原點,DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸正半軸建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),-11-知識梳理雙基自測23415解析以D為原點,DA,D-12-知識梳理雙基自測234155.(教材習題改編P98T4)如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:(3)EG的長;(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值.-12-知識梳理雙基自測234155.(教材習題改編P98T-13-知識梳理雙基自測23415-13-知識梳理雙基自測23415-14-知識梳理雙基自測23415-14-知識梳理雙基自測23415-15-考點1考點2考點3-15-考點1考點2考點3-16-考點1考點2考點3-16-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3解題心得1.選定空間不共面的三個向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,這是用向量解決立體幾何問題的基本要求,另外解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形,聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等,就近表示所需向量.2.空間向量問題可以轉(zhuǎn)化為平面向量問題來解決,即把空間向量轉(zhuǎn)化到某一個平面上,利用三角形法則或平行四邊形法則來解決.-17-考點1考點2考點3解題心得1.選定空間不共面的三個向-18-考點1考點2考點3-18-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3-20-考點1考點2考點3例2已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量方法證明:(1)E,F,G,H四點共面;(2)BD∥平面EFGH.思考共線定理、共面定理有哪些應(yīng)用?-20-考點1考點2考點3例2已知E,F,G,H分別是空間四-21-考點1考點2考點3-21-考點1考點2考點3-22-考點1考點2考點3-22-考點1考點2考點3-23-考點1考點2考點3-23-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-25-考點1考點2考點3考向一

利用空間向量的數(shù)量積證明平行、垂直例3已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A,C1C,BC的中點.(1)求證:DE∥平面ABC;(2)求證:B1F⊥平面AEF.思考如何利用空間向量的數(shù)量積證明平行、垂直?-25-考點1考點2考點3考向一利用空間向量的數(shù)量積證明平-26-考點1考點2考點3

證明

以點A為原點,AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,令AB=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).-26-考點1考點2考點3證明以點A為原點,AB,AC,-27-考點1考點2考點3-27-考點1考點2考點3-28-考點1考點2考點3考向二

利用空間向量的數(shù)量積求長度例4如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿對角線AC折起,使AB與CD所成的角為60°,求BD的長.思考如何利用空間向量的數(shù)量積求長度?-28-考點1考點2考點3考向二利用空間向量的數(shù)量積求長度-29-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3-30-考點1考點2考點3考向三

利用空間向量的數(shù)量積求夾角例5在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為(

)答案答案關(guān)閉C-30-考點1考點2考點3考向三利用空間向量的數(shù)量積求夾角-31-考點1考點2考點3-31-考點1考點2考點3-32-考點1考點2考點3-32-考點1考點2考點3-33-考點1考點2考點3對點訓練3(1)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD所成的角為30°.求證:①CM∥平面PAD;②平面PAB⊥平面PAD.-33-考點1考點2考點3對點訓練3-34-考點1考點2考點3(1)證明

以點C為坐標原點,分別以CB,CD,CP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.-34-考點1考點2考點3(1)證明以點C為坐標原點,分別-35-考點1考點2考點3-35-考點1考點2考點3-36-考點1考點2考點3-36-考點1考點2考點3-37-考點1考點2考點3(2)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.①求AC1的長;②求BD1與AC所成角的余弦值.-37-考點1考點2考點3(2)如圖,在平行六面體ABCD--38-考點1考點2考點3-38-考點1考點2考點3-39-考點1考點2考點3-39-考點1考點2考點38.6

空間向量及其運算8.6空間向量及其運算-41-知識梳理雙基自測234151.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量:在空間中,具有

和

的量叫做空間向量,其大小叫做向量的

或

.

(2)相等向量:方向

且模

的向量.

(3)共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在的直線

或

,則這些向量叫做

或

,a平行于b記作a∥b.

(4)共面向量:平行于同一

的向量叫做共面向量.

大小

方向

長度

模

相同

相等

平行

重合

共線向量

平行向量

平面

-2-知識梳理雙基自測234151.空間向量的有關(guān)概念大小-42-知識梳理雙基自測234152.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理:對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb.(2)共面向量定理:若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空間的一個基底.-3-知識梳理雙基自測234152.空間向量的有關(guān)定理-43-知識梳理雙基自測234153.兩個向量的數(shù)量積(1)兩個向量的夾角已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作

則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作

,其范圍是

,若<a,b>=,則向量a,b

,記作a⊥b.

(2)兩個向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a,b,則

叫做向量a,b的數(shù)量積,記作

,即a·b=

.

<a,b>

0≤<a,b>≤π

互相垂直

|a||b|cos<a,b>a·b

|a||b|cos<a,b>-4-知識梳理雙基自測234153.兩個向量的數(shù)量積<a,b-44-知識梳理雙基自測234154.空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).a1b1+a2b2+a3b3

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0-5-知識梳理雙基自測234154.空間向量的坐標表示及其應(yīng)-45-知識梳理雙基自測23415(3)向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不滿足結(jié)合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.-6-知識梳理雙基自測23415(3)向量的數(shù)量積滿足交換律2-46-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,錯誤的打“×”.(1)|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件.(

)(2)對空間任意一點O與不共線的三點A,B,C,若(3)對于空間非零向量a,b,a⊥b?a·b=0.(

)(4)對于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(

)(5)非零向量a,b,c滿足(a·b)·c=a·(b·c).(

)答案答案關(guān)閉(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

2-7-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“√”,-47-知識梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-8-知識梳理雙基自測23415答案解析解析關(guān)閉答案-48-知識梳理雙基自測234153.(教材習題改編P92T3)如圖,在一個60°的二面角的棱上,有兩個點A,B,AC,BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段,且AB=4,AC=6,BD=8,則CD的長為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-9-知識梳理雙基自測234153.(教材習題改編P92T3-49-知識梳理雙基自測234154.(教材習題改編P98T10)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1和BB1的中點,那么直線AM和CN所成角的余弦值為

.

答案答案關(guān)閉-10-知識梳理雙基自測234154.(教材習題改編P98T-50-知識梳理雙基自測23415解析

以D為原點,DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸正半軸建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),-11-知識梳理雙基自測23415解析以D為原點,DA,D-51-知識梳理雙基自測234155.(教材習題改編P98T4)如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:(3)EG的長;(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值.-12-知識梳理雙基自測234155.(教材習題改編P98T-52-知識梳理雙基自測23415-13-知識梳理雙基自測23415-53-知識梳理雙基自測23415-14-知識梳理雙基自測23415-54-考點1考點2考點3-15-考點1考點2考點3-55-考點1考點2考點3-16-考點1考點2考點3-56-考點1考點2考點3解題心得1.選定空間不共面的三個向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,這是用向量解決立體幾何問題的基本要求,另外解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形,聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等,就近表示所需向量.2.空間向量問題可以轉(zhuǎn)化為平面向量問題來解決,即把空間向量轉(zhuǎn)化到某一個平面上,利用三角形法則或平行四邊形法則來解決.-17-考點1考點2考點3解題心得1.選定空間不共面的三個向-57-考點1考點2考點3-18-考點1考點2考點3-58-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3-59-考點1考點2考點3例2已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,用向量方法證明:(1)E,F,G,H四點共面;(2)BD∥平面EFGH.思考共線定理、共面定理有哪些應(yīng)用?-20-考點1考點2考點3例2已知E,F,G,H分別是空間四-60-考點1考點2考點3-21-考點1考點2考點3-61-考點1考點2考點3-22-考點1考點2考點3-62-考點1考點2考點3-23-考點1考點2考點3-63-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-64-考點1考點2考點3考向一

利用空間向量的數(shù)量積證明平行、垂直例3已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A,C1C,BC的中點.(1)求證:DE∥平面ABC;(2)求證:B1F⊥平面AEF.思考如何利用空間向量的數(shù)量積證明平行、垂直?-25-考點1考點2考點3考向一利用空間向量的數(shù)量積證明平-65-考點1考點2考點3

證明

以點A為原點,AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,令AB=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).-26-考點1考點2考點3證明以點A為原點,AB,AC,-66-考點1考點2考點3-27-考點1考點2考點3-67-考點1考點2考點3考向二

利用空間向量的數(shù)量積求長度例4如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿對角線AC折起,