精算模型第三講

表示其風險水平數學模型設為一個隨量，

時，N的分布pk(P(Nk|

pdf，則N的分布列pkP(Nk)pk()u(或者

pkP(Nk)pk(i)u(iN的分布稱為混合分布。{pk(),k0,1, }為泊松分布時的分布稱為混合泊松分布混合分布性母函或者

PN(z)

(z|i)u(i其中PN(z|表示在條件下，N的母函數均值和方E(N)E(E(N|Var(N)E[Var(N|)]Var[E(N|定理：任意兩個隨量X和Var(X)E(Var(X|Y))Var(E(X|Y證明：由

Var(X|Y)E{[XE(X|Y)]2|。E(X2|Y)[E(X|Y因另一方從

E[Var(X|Y)]E{E(X2|Y)[E(X|YE(X2)E{[E(X|YVar[E(X|Y)]E{[E(X|Y)]2}{E[E(X|YE{[E(X|Y)]2}[E(XE[Var(X|Y)]Var[E(X|YE(X2)E{[E(X|Y)]2}E{[E(X|Y)]2}[E(XE(X2)[E(XVar(X常見的幾種混合泊松分1、離散型混對于規(guī)模較小的保單組合，假設保單組合由n種不同,風險水平構成，泊松參數取值于 ,akP(kk0,1 ,n。當k時，保單的損失次從參數為k的泊松分布。則從保單組合中任意抽取一份保單nnP(Nk)P(Nk|i)P(i kaiei

k0,1,

ik服從泊松分布，其中好的一類的泊松參數為0.11，壞的一的泊松參數為0.70，好的駕駛員和壞的駕駛員的比例為e1 e2P(Nk)p 1(1p)

ke0k

ke070k2、連續(xù)型的混對于規(guī)模較大的保單組合，可以假設其中的泊松參數u()表示ekP(Nk)

u()d，k0,1,k性質（自行閱讀1、母函數的表達量和常數使得證明：設u()為的密度函P(z)e(z1)u((e(z1))u(2P1(z)和P2(z)是兩個混合泊松分布的母函數，分別表示

e(z1)u(e(z1)v(若P1(zP2(z，則有u(v(。3*．設P(z)是混合泊松分布的母函數P(z)滿足無窮可性，nP(z)(PnPn(z)也是一個母函數P(z)也是一個復合泊松分布的特別的，若PM(00，則PM(z是唯一的無窮可分的含義是指，設Y的特征函數是(x)，則對任意的都存在n個的獨立同分布的隨量X1,YX1X

Xn，使此時其中n(xX1

(x)nXn的特征函數n你能舉幾個無窮可分分布的例子嗎例：設的母函數P(z) 求N的分布解：利用母函數公

logPN(z)P(exp((z log[exp((z (z1) (z 負二項分布可以看成是泊松分布和gamma分布的混合定理：設N|服從參數為的泊松分布，是一個隨量服從gamma分布

1e，

服從負二項分布，數為r。

f(

( P(Nk)

P(Nk|)f()d

1e

0() k!d (11？？

()k!0

k

(

)ktk1et()k!0(k ()k!(1)k1()k

1

1

1 例Actuarieshavemodeledautowindshieldclaimfrequencies.haveconcludedthatthenumberofwindshieldclaimsfiledperyearperdriverfollowsthePoissondistributionwithparameter，wherefollowsthegammadistributionwithmean3andvariance3.Calculatetheprobabilitythatadriverselectedatrandomwillfilenomorethan1windshieldclaimnextyear.解：設gamma分布參數為和gamma分布的均值和方解得3，1

2由前面的定理知，N服從負二項分布，參數1，r于是計算得P(N1)p0p10.1250.18751：設從城市A到城市B的某航線每個月有70個航班，假設每個航班有20.00001步假設每趟飛機有200個座位每次飛行有90的就座率和6個機組人求每個月此航線的索賠次數的期望和方差。解：令SNNB(n1,p),n170,pP表示飛機上的數，M表示乘客MB(n2,p),n2200,

P6D表示發(fā)生事故的人數D P P則SD1D2 DN i.i.d與M分別相同，則SM1M2 MN的分布稱為M的復合分布,N的MNMiiSM1M2 MNS1N

fN(nPN(zMfM(n),PM

SP(z)P(Nn)P(Sk|Nn)zkS k0 P(Nn)zkP(MM

k|N

kP(N

(z)nP

例：M服從泊松分布，N服從泊松分布，P(ze1z1)

(z)e2(z1)M(1 121SNP(z)(1p(z1))n(10.98(zNfD(0)0.99999，fD(6j)0.00001P(M P(z)zk k

(k)0.999990.00001[z6(10.9(z1))2002

E(S)E(M)E(NVar(S)E(N)Var(M)E(M證明：證明：令SnM1M2 MnE(S)E(S|Nn)P(NnE(M)P(NE(M)E(NE(S)E(E(S|N))E(NE(M))E(M)E(NVar(S)E(Var(S|N))Var(E(S|NE(NVar(M))Var(NE(ME(N)Var(M)Var(N)E(M11SE(N)n1pVar(N)700.980.02E(P)62000.9Var(P)2000.90.1E(P2)Var(P)E(P)2E(S)E(N)E(D)Var(S)E(N)Var(D)E(S)(68.60)(0.00186)3．SS三、免賠額對理賠次數的分布的影注意：當免賠額存在時，理賠次數不等于損失次數1、免賠額存在X表示損失NL表示損失次d表示免賠額vPXd，NP表示理賠次數。I

則P(I1v

I1 INLIP(z)P(I0)z0P(I1)z11v(zI由復合分布的母函數例：設某損失事件的損失額有幾種可能255075,100200500發(fā)生的概率分別為0.20.30.20.150.10.05，假設損失事件的次數服從0.3r10的負二項分布，免賠額為50，求賠償事件解vP(X50)0.20.150.10.05NPP(z)(10.3(10.5(z1)NP(10.15(z所以NP服從負二項分布*0.15r10N命題1：假設NL的母函數P(z;B((z1，其中B(是與參數無關的函數，則NLNP的分布類型沒有變化。N證明 PP(z)PL(1v(z B((1v(z1)B(v(zNPL(z;vN注：所有的(a,b,0)分布都保持原來的類型損失次數NL的分理賠次數NP的參期望理賠次數泊松分*二項式分q*vq，n*負二項式分*v,r*r二項式分布的證明：設N服從二項式分布B(n,q)NP(z)(1q(zNPN*(z)PN(1v(z{1qv(zNP(z)P(z;,)(1)B[(z1)]B(N 1B( N其中PL(0P(N0。則N的母函數NPP(z)PL(z;v,NN*NNNP其中*P(NP0NP

(0)P

(1v;,N0N0NP的分布解：NL的分布母函數 M[1(z1)]r(1p0(1

1(10因此pMB(z1z)r根據命題NP服從ZMNB分布0*=3*0.5=1.5,*

M*

M

M[1v]r(1

1(10.40.6

142

2、免賠額發(fā)生變化設原來的免賠額為d現(xiàn)在免賠額調整為d*請問調整后記Nd表示免賠額為dNd*表示理賠額為d*理賠次數，設v'表示在免賠額提高后，以前的索賠事件能夠繼續(xù)獲得賠償的比例，則1F(dv' 1FX(d令I1表示繼續(xù)獲得賠償I0表示不能繼續(xù)獲得賠IIN當d*d時，v1Nd為（a,b0）分布時Nd*的分布類型Nd相同，只是參數發(fā)生變化。 1F(d*) 當dd時，則v' 1，此時N的參數可能超出原頻1FX(d率分布的參數范圍，因此不能考慮這種情形五、保單數目與保單組 賠次假設當前的保單組合中含有n份保單令Nj表示第j個保單產生理賠的次數則NN1N2 Nn表示保單組合產生賠的總次數。若假設N

P(z)(P 問題：假設現(xiàn)在保單組合中的保單數n個，問新保單組合的回答：令N'N1N2 Nn'，

(z)N1N

(z))n'

n