第六講一元二次方程根與系數(shù)關系教師版

精銳教育學科教師輔導教學員 級 數(shù)：學員 輔導科目：數(shù) 學科教師課程授間學習目教學內(nèi)前言xx是一元次方程ax2bxc0(a0xxbxxc（ 一、專題知利用根與系數(shù)的關系（定理），可以不直接求方程ax2bxc0(a0)而知其根的正負性質(zhì)：一元二次方程ax2bxc0(a0在b24ac0的條件下：cab ab aca二、例題分1如是abx的方程的(xc)(xd)1兩個根，求(ac)(bc)[解]

ab(cd(cd)xcd10，有abcd 則(ac)(bc)abab)xc2cd例題2方程2x23x20的實數(shù)根為、，求 的值。2[解原方程2x3x222x1x20，由于2x

x=2x2

+ 3如果正整數(shù)abx的方程

a2

x10b56

的兩個根，求aba[解]由已知，有ab 56從而有a213a13b9）0，由于ab13132131324(13b13 2a13又由a·b 56520552b10=91而911917131(917(a10b10

a10或b10

a10或b10

a10 ，b10ab

a或b

a或b

a b經(jīng)檢驗a23x240x391b4已知實數(shù)ab3a42a240b4b230，求代數(shù)式4a4b4[解]將方程3a42a240(2)2

30，所以

和b2x8x30同的實數(shù)根，則

b2， b2所以4a4b4

2

b22(1)22(3) 三、專題訓

專題練已知a11b3ab＞0，求a b3

x的方程x2+ax+6a=0只有整數(shù)解，求實數(shù)ax的方程x22(a2a240只有一個正根，求實數(shù)a已知ab均為實數(shù)，證明：關于x的方程(xa)(xab)1a，另一個小于a已知ab5a22012a805b22012b50ab解方程(2

3)2(2

3)24若x2x10，計算43x1、x2xx(k2x(k3k50xx nxx22n1)xn20的兩根為nn +

(4+1)(4 x、y、z滿足x+y=6xy=z29x、y專題作

x21、y

y2x1

x21、y

y2x1

x的方程一元二次方程ax2bxc0(a02b3a3

x2-(2的第三邊b

3)x

0的一根為直角三角形的斜邊ca四、參考答專題練解： ì?x+x=-解：設方程的兩個整數(shù)根分別為x、x(x￡x)，則有 消去a得

íx x 6(xx0，即(x+6)(x+636。由于3622?32，所以(xx共有10組解 (-42,-7)，(-24,-8)，(-18,-9)，(-15,-10)，(-12,-12)，(-5,30)，(-4,12)，(-3,6)23)(00。所以a的值為493227,?2524,8310 x2-2(a+2)x+a2-40x、x D眄

ì4(a+2)2-4(a2-4)> -2<a< ?2(a+2)<ìD>

ì4(a+2)2-4(a2-4)>?镲?

2)>

x1

?a2-4=?證明：原方程等價于(x-a)2-b(x-a10x-au，則u2-bu-10，其中D=b24>0，所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根。 設方程u2-bu-10的兩個實數(shù)根分別為u

，則有u1

10(x1-a)(x2-a0x1、x2中有一個大于a，另一個小于a，解： (1)，8b2+2012b+5=0， 12x+8=0的兩個根，則 8，所以a=8、b x x

解：設(2 3=x1，(2+3)=x2，則有íx 12x1、x2x-4x+10

=4

12=2 32所以(2

)x) =

3x2或者2x=?2ì?ab1xa代入方程得，a2=1-aía -a4=1-2a+a2=1-2a+1-a=2-3a，a4-3b=2-3a-3b= 所以a43b5

ì?x1+x2=k-解Dk

-

+3k+50，解得4

-3，又íx k2+3k+5 所以x2+x2=(x+x)2 k=-4x2x

1640618ì?an+bn=-(2n1

n?bn 2=2

，(an+1)(bn anbn所 (a3+1)(b3 (a4+1)(b4 1 2臌 )+( )+( ) =1(1+1-1 1)=10.x=y，由已知條件22 z2x、y是方程u-6u+(z+90以必有D364(z294z2?0z2￡0z230z0u2-6u+(z2+90x=y1.x2-y=uy2-x=v，則u+v、u?v都是整數(shù)，再設u+v=m， n，則u、v是系數(shù)二次方程t2-mtn0的兩個有理根，所以Dm2-4n是完全平方數(shù)，且mm2-4n的奇偶性相同，且u、v=m2，所以u、vx2- y2-