2016年北大優(yōu)秀中學生體驗營暑期課堂數(shù)學試題及詳解

年北京大學全國優(yōu)秀中學生暑期學堂數(shù)學試題文科生做前5題，理科生做后5題，每題20分.111、b一c.c丁,.；a.a、b111、b一c.c丁,.；a.a、b設a,b,c均為正數(shù)且a,b,c成等差數(shù)列，判斷是否成等差數(shù)列，并說明理由.222設a,b,c為實數(shù)，證明：對任意實數(shù)x都有(x-a)+(x-b)?c當且僅當(a-b)?2c.已知復數(shù)Z1,z2滿足Z1與Z1+Z2有相同的模且Zz2二a(1-i)，其中a為非零實數(shù)，求Z2的值.—條直線與雙曲線交于A,B兩點，與此雙曲線的漸近線交于C,D兩點，證明：線段AC與BD的長度相等.設a,3均為銳角，滿足sina+sin3=sin(a+3)，求a+3的值.已知△ABC的面積為1,D,E分別是邊AB,AC上的點，F(xiàn)為線段DE上的一點，設AD:AB=x,AE:AC=y,DF:DE=z且y+z-x=1.求△BDF的面積的最大值并求出此時x,y,z的值.2016年北大全國優(yōu)秀中學生暑期學堂數(shù)學試題參考答案2題中方程有解即a=-sinx-cosx有解，從而有2a二2a二cosx-cosx-15-丄2I2丿由題意知b-a=c-b=(c-a)/2，所以11.c-.b?.bija.cYa.ca2+——='===;b、ca?,bc-bb-ab-a1c,a2(c_a丿從而得1'一從而得1'一c亠-.:a—一-是等差數(shù)列.、a亠、b對題中不等式整理得2222x-2(a+b)x+(a+b-c)?0,此不等式恒成立當且僅當對應判別式22.22、小△=4(a+b)-8(a+b-c)=4[2c-(a-b)]?0,等價于2c?(a-b)2,命題得證.由題意知：2_I2__Z1=乙石=憶+乙2=(Z1+Z2)(N+爲),化簡得z2Z2z2Z|Z|Z2=0因為Z,z2=a(1-i)，所以z,Z2=a(1■i)，代入上面的式子得z2Z2=-2a.于是有z2互z2-2a-1iz,z2互z2-2a-1iz,z,z2a(1i)5.以雙曲線的中心為原點，以實軸所在直線為x軸建立直角坐標系，則雙曲線與它的漸近線方程可以表示為其中入=1時為雙曲線，入=0時為漸近線.設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，則有廠2x_2a2x22la2b212b21兩式相減得(為—X2)(x「X2)(%-y2)(wy2)_0a2b2同樣有(X3-X4)(X3X4)2a因為A,B,C,D四點共線，當此直線斜率不存在或者斜率為零時,因為A,B,C,D四點共線，當此直線斜率不存在或者斜率為零時,由雙曲線的對稱性得AC=BD當此直線的斜率k存在且不為零時，有yiyiy2x冷y3y4_b2~x3x4ak即AB的中點與CD的中點在過原點的同一條直線上，所以它們重合，從而有AC=BD事實上，此結(jié)論可以直接由雙曲線的“垂徑定理”得到.6.顯然當a+3=n/2時，等式成立；由已知條件知22sina+sin3=sinacos3+cosasin3,整理得sina(sina-cos3)=sin3(cosa-sin3).若a+3工冗/2，則有sina-cos3與cosa-sin3同號.若它們同為正，則有sina>cos3=sin(n/2-3),cosa=sin(n/2-a)>sin3,從而有a>n/2-3,n/2-a>3,無解；若它們同為負，用類似的方式也可以推導出矛盾.綜上，a+3=n12.7.如圖，連結(jié)BE:■B由三角形的面積公式1S=absinC可以得到2ADE=xyS^AB(=xy,S^bce=(i-y)S△ABC=1-y,所以有S^BDE=l-xy-(1-y)=y(1-x).從而有z+