狀元之路理科數(shù)學(xué)-考點(diǎn)調(diào)查

第三章解三角形應(yīng)用舉例自主園地備考套餐課前學(xué)案基礎(chǔ)第七節(jié)

解三角形應(yīng)用舉例課堂學(xué)案考點(diǎn)通關(guān)開卷速查考綱

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一導(dǎo)

些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.學(xué)夯基固本基礎(chǔ)自測課前學(xué)案

基礎(chǔ)1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線□1

的角叫仰角，在水平線□2

的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向□3

轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如

B

點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角相對于某一正方向的水平角(如圖③)北偏東

α°，即由指北方向□4

旋轉(zhuǎn)

α°到達(dá)目標(biāo)方向．北偏西

α°，即由指北方向□5

旋轉(zhuǎn)

α°到達(dá)目標(biāo)方向．南偏西等其他方向角類似．4．坡度(比)坡面與水平面所成的□6

的度數(shù)(如圖④，角

θ

為坡角)．坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i

為坡度(比))．答案：1

個(gè)步驟——解三角形應(yīng)用題的一般步驟2

種情形——解三角形應(yīng)用題的兩種情形實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然

后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．2個(gè)

——解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題畫出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過程．解三角形時(shí)，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量．1．若點(diǎn)

A

在點(diǎn)C

的北偏東30°，點(diǎn)B

在點(diǎn)C

的南偏東

60°且AC＝BC，則點(diǎn)A

在點(diǎn)B

的(A．北偏東15°C．北偏東10°)B．北偏西15°D．北偏西10°解析：如圖Z

示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點(diǎn)A

在點(diǎn)B

的北偏西15°.答案：B2．如圖，設(shè)A、B

兩點(diǎn)在河的選定一點(diǎn)

C，測出

AC

的距離為

50

m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A、B

兩點(diǎn)的距離為(

)A．50

2

mB．50

3

mC．25

2

m225

2D.

m解析：由正弦定理得sin

B50×

212AC·sin

∠ACB

2AB＝

＝

＝50

2(m)．答案：A∠CBA＝60°解析：

，由題意知∠C＝45°，由正弦定理得＝AC

2sin60°

sin45°，

2

2

＝2∴AC＝

2

·

3

6.答案：64．一船向正北航行，看見正東方向有相距

8

海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線上．繼續(xù)航行

，另一燈塔在船的南偏東

75°，則這艘船每小時(shí)航行

海里解析：如圖，由題意知在△ABC

中，∠ACB＝75°－60°＝15°，∠B＝15°，∴AC＝AB＝8.在Rt△AOC

中，OC＝AC·sin

30°＝4.4∴這艘船每小時(shí)航行1＝8(海里)．2答案：8考點(diǎn)例析通關(guān)特訓(xùn)課堂學(xué)案考點(diǎn)通關(guān)【例

1】

要測量的C、D

兩點(diǎn)，并測得∠ACB＝75°，∠ADB＝45°，求A、B

之間的距離．解析：，在△ACD

中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝

3

km.在△BCD

中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝6＋

2

3sin75°sin60°

2＝

.在△ABC

中，由余弦定理，得2

2

6＋222AB

＝( 3)

＋

－2×3×6＋

22×cos75°

3－

3＝5，＝3＋2＋∴AB＝

5(km)，∴A、B

之間的距離為5

km.測量問題則直接求解；若有未知量，則把行程問題．首先根據(jù)題意畫出圖形后運(yùn)用正、余弦定理求解．通關(guān)特訓(xùn)1該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對岸的點(diǎn)C測得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100

m.求sin

∠CAB

的值；求該河段的寬度．解析：(1)sin

∠CAB＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin

60°cos45°＋cos60°sin

45°＝

3

2

1×

2

2

×

2

＋2

2＝6＋

24.(2)因?yàn)椤螩AB＝105°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°.由正弦定理，得＝AB

BCsin

∠ACB

sin

∠CAB，sin30°則

BC＝AB·sin105°＝50(

6＋2)(m)．河段的寬度．在Rt△BDC

中，CD＝BC·sin

45°＝50( 6＋

2)×

22

＝50(

3＋1)(m)．所以該河段的寬度為

50( 3＋1)

m.考點(diǎn)二測量高度問題【例

2】

，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高．解析：

， 在

C

處，AB

為塔高，他沿

CD

前進(jìn)，CD＝40，此時(shí)∠DBF＝45°，過點(diǎn)B

作BE⊥CD

于E，則∠AEB＝30°，在△BCD

中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得CD

BDsin∠DBC

sin∠BCD＝

，sin135°∴BD＝40sin30°＝20 2(米)．∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED

中，BE＝DBsin15°＝20

2×6－

24＝10( 3－1)(米)．在Rt△ABE

中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝10

－3)(米)．3(3故所求的塔高為10

－

3)米．3(3名師點(diǎn)撥

解決高度問題的注意事項(xiàng)在解決有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個(gè)關(guān)鍵．在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合．的仰角為60°，20

m，求山高CD.解析：如圖，設(shè)

CD＝x

m，BD則AE＝x－20

m，tan60°＝CD，tan60°3∴BD＝

CD

＝

x

＝

33

x(m)．在△AEC

中，x－20＝

3x，解得

x＝10(3＋3)

m.3故山高

CD

為10(3＋3)m.考點(diǎn)三測量角度問題【例3】某港口O

要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O

北偏西30°且與該港口相距20

海里的A

處，并正以

30

海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以

v

海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t

小時(shí)與輪船相遇．應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的行方案(即確定航行方向和間與輪船相遇，并說明理由．解析：(1)設(shè)小艇與輪船在

B

處相遇，相遇時(shí)小艇航行的距離為

S

海里，

．在△AOB

中∠A＝90°－30°＝60°，∴S＝

900t2＋400－2·30t·20·cos60°＝

900t2－600t＋400＝

12900t－3

＋300.1故當(dāng)

t＝3時(shí)，Smin＝10

3，此時(shí)v＝10

313＝30

3.3海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離即小艇以30最?。?2)由題意可知OB＝vt，在△AOB

中利用余弦定理得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos60°故v2＝900－t600

400＋

t2

.∵0＜v≤30，∴2解得t≥3，又故v＝30

時(shí)，t

取得最小值此時(shí)，在△OAB

中，有OA＝OB＝案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為

30海里/小時(shí)，小短時(shí)間與輪船相遇．名師點(diǎn)撥

解決測量角度問題的注意事項(xiàng)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖這是最關(guān)鍵、最重要的一步．將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．通關(guān)特訓(xùn)

3

，位于

A

處的信息中心獲悉：在其正東方向相距

40

海里的

B

處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西

30°，相距

20

海里的

C

處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東

θ

的方向即沿直線

CB前往

B

處救援，則cosθ等于

()A.

21

B.

217

143

21C.

14

21D.

28解析：如題圖所示，在△ABC

中，AB＝40

海里，AC＝20

海里，

∠BAC

＝

120°

，

由余弦定理

，

得

BC2

＝

AB2

＋

AC2

－2AB·AC·cos120°＝2

800，故

BC＝20

7(海里)．由正弦定理，得sin∠ACB＝AB