數(shù)學(xué)分析萬物皆數(shù)

萬物皆數(shù)121.

自然數(shù)系自然數(shù)—自然數(shù)是人類文明最早形成的觀念。—

用表示全體自然數(shù)的集合。34自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)—自然數(shù)可以比較大小?！匀粩?shù)之間的大小關(guān)系

滿足：1. One

of

a

b,

a

b,

b

a

is

true,

a,

b

2. a

b,

b

c

a

c,

a,

b,

c

—以上使得整數(shù)集具有良好的序結(jié)構(gòu)。—自然數(shù)集有最小數(shù)，但無最大數(shù)。5自然數(shù)—自然數(shù)可以按從小到大的順序排成一個(gè)無限長的隊(duì)列。1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,8,

9,10,11,12,13,14,15,16,17,自然數(shù)—自然數(shù)有加法的概念，任兩個(gè)自然數(shù)可以相加，得到另一個(gè)自然數(shù)?！匀粩?shù)的加法滿a

b

b

a,換律和結(jié)合律。a,

b

(a

b)

c

a

(b

c),

a,

b,

c

6自然數(shù)—當(dāng)一個(gè)自然數(shù)比另一個(gè)自然數(shù)大時(shí)，可定義第一個(gè)自然數(shù)與第二個(gè)自然數(shù)的減法運(yùn)算，其結(jié)果是另一個(gè)自然數(shù)。a,

b

,

a

b,

b

a

7自然數(shù)—自然數(shù)有乘法的概念，任兩個(gè)自然數(shù)可以相乘，得到另一個(gè)自然數(shù)。—自然數(shù)的乘法滿

換律和結(jié)合律。ab

ba,

a,

b

(ab)c

a(bc),

a,

b,

c

8自然數(shù)—自然數(shù)的加法和乘法滿足分配律。a(b

c)

ab

ac,

a,

b,

c

9自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)與運(yùn)算—自然數(shù)之間的大小關(guān)系還滿足如下性質(zhì)：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,10a,b,

c

a,b,

c

自然數(shù)—當(dāng)一個(gè)自然數(shù)等于另一個(gè)自然數(shù)與其他自然數(shù)的乘積時(shí)，

稱后者可整除前者。a,b,c

,

a

bc,

b

|

a

,

c

|a—一個(gè)自然數(shù)可以整除另一個(gè)，可理解為：從乘法運(yùn)算的角度來說，前者為后者的一個(gè)“部分”。1112素?cái)?shù)—素?cái)?shù)是自然數(shù)的乘法運(yùn)算中比較特殊的一類?！朔ㄟ\(yùn)算中，素?cái)?shù)如同原子，是最小不可分的。素?cái)?shù)—素?cái)?shù)無法表示為兩個(gè)比它小的數(shù)的積。mber,p

is

called

a

priif

one

can

not

find

a,

b

{1,

2,,

p

1},s.t.

p

ab13素?cái)?shù)—素?cái)?shù)如果可整除兩個(gè)自然數(shù)的積，則必可整除它們其中的某一個(gè)。If

p

is

a

primber, thena

,b

,p

|

ab

p

|

a,

or

p

|

b.14素?cái)?shù)—如同原子構(gòu)成物質(zhì)，自然數(shù)總可表示為素?cái)?shù)積。a

, there

are

some

n

andpri

mbers p1

,

pn

,s.t.

a

p1

pn15互素—若兩個(gè)數(shù)

a,

b

無相同的的素?cái)?shù)原子，則稱它們互素，記為：(a,

b)

116172.

整數(shù)系整數(shù)—添加了負(fù)整數(shù)和零后形成的整數(shù)，可以任意做加法、減法和乘法，所得結(jié)果仍是整數(shù)。加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律，以及加法和乘法的分配律仍然成立?！?/p>

用表示全體整數(shù)的集合。18整數(shù)的序結(jié)構(gòu)—整數(shù)可以比較大小?！麛?shù)之間的大小關(guān)系

滿足：—以上三條使得整數(shù)集具有良好的序結(jié)構(gòu)。—整數(shù)集既沒有最小數(shù)的也沒有最大數(shù)。a

,b

19One

of

a

b,a

b,b

a

is

true,a

b,b

c

a

c,

a,b,

c

整數(shù)的序結(jié)構(gòu)與運(yùn)算—整數(shù)之間的大小關(guān)系還滿足如下性質(zhì)：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,a

b,

c

0

bc

ac,20a,b,

c

a,b,

c

a,

b,

c

整數(shù)—素?cái)?shù)分解的可推廣到整數(shù)。a

, there

are

some

n

andpri

mbers

p1

,

pn

,s.t.

a

p1

pn21223.

有理數(shù)系有理數(shù)—盡管整數(shù)可做很多事，但有些量仍無法用整數(shù)表示和計(jì)算，使得

不得不斥諸于整數(shù)的比例。—整數(shù)的比例即是有理數(shù)，它可進(jìn)行加法、減法、乘法和除法（只要除數(shù)不為零）運(yùn)算，所得結(jié)

果仍是有理數(shù)。加法的交換律和結(jié)合律、乘法

的交換律和結(jié)合律，以及加法和乘法的分配律

仍然成立?！?/p>

用表示全體有理數(shù)的集合。23有理數(shù)—任何一個(gè)有理數(shù)可表示為

p

，這里qp,

q

,(

p,

q)=124有理數(shù)的序結(jié)構(gòu)—有理數(shù)可以比較大小。—有理數(shù)之間的大小關(guān)系

滿足：One

of

a

b,a

b,b

a

is

true,

a

,b

a

b,b

c

a

c,

a,b,c

—以上三條使得有理數(shù)集具有良好的序結(jié)構(gòu)。—有理數(shù)集既沒有最大數(shù)也沒有最小數(shù)。25有理數(shù)的序結(jié)構(gòu)與運(yùn)算—有理數(shù)之間的大小關(guān)系還滿足如下性質(zhì)：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,a

b,

c

0

bc

ac,26a,b,

c

a,b,

c

a,b,

c

有理數(shù)的稠密性—任兩個(gè)不等的有理數(shù)之間有無數(shù)個(gè)其他有理數(shù)。a

a

k

(b

a)

bn27a,

b

,

a

b,n

,

fork

1,

2,

,

n

1,有理數(shù)有多少？—所有有理數(shù)可排成一無限長的隊(duì)列。0

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

1

1

1

1

1

1

1

1

10

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

2

2

2

2

2

2

2

2

20

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

3

3

3

3

3

3

3

3

30

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

4

4

4

4

4

4

4

4

40

,

1

,

1

,

2

,

2

,

3

,

3

,

4

,

4

,

5

5

5

5

5

5

5

5

5

28（上表按適當(dāng)順序排列并刪去重復(fù)者）有理數(shù)有多少？—任兩個(gè)不想等的有理數(shù)之間的有理數(shù)可排成一無限長的隊(duì)列?！欣頂?shù)集的任一個(gè)無限子集可排成一無限長的隊(duì)列。29304.

實(shí)數(shù)系無理數(shù)與實(shí)數(shù)—古希臘時(shí)就曾發(fā)現(xiàn)：有些線段的長度不能用有理數(shù)表示。從而不得不引入無理數(shù)。—有理數(shù)和無理數(shù)合在一起稱為實(shí)數(shù)?！獙?shí)數(shù)也可進(jìn)行加法、減法、乘法和除法（只要除數(shù)不為零）運(yùn)算，所得結(jié)果仍是實(shí)數(shù)。加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律，以及加法和乘法的分配律仍然成立?！?/p>

用表示全體實(shí)數(shù)的集合。31實(shí)數(shù)的序結(jié)構(gòu)—實(shí)數(shù)可以比較大小?！獙?shí)數(shù)之間的大小關(guān)系

滿足：—以上三條使得實(shí)數(shù)集具有良好的序結(jié)構(gòu)。—實(shí)數(shù)集既沒有最大數(shù)也沒有最小數(shù)。a

,b

32One

of

a

b,a

b,b

a

is

true,a

b,b

c

a

c,

a,b,c

實(shí)數(shù)的序結(jié)構(gòu)與運(yùn)算—實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系還滿足如下性質(zhì)：a

b

a

c

b

c,a

b,

c

0

ac

bc,a

b,

c

0

bc

ac,33a,b,

c

a,b,

c

a,b,

c

最早被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)—2的平方根可能是最早被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù)（古希臘）(

p,

q)

12

|

p2

2

|

p,If

2

p

,q2q2

p2

,

4|

p2

4

|

2q2

2

|

q2

2

|

q,

2

|

p

and 2

|

q,It contradict

to

(

p,

q)

1.Thus

the

assumption 2

is

not

true.34其他無理數(shù)—

n

(n

\{k

2

|

k

})是無理數(shù)?！猵

n

(n

\{k

p

|

k

})是無理數(shù)。3536重要無理數(shù)—圓周率

是無理數(shù)?！匀粚?shù)底e

是無理數(shù)。無理數(shù)的稠密性—任兩個(gè)不等的有理數(shù)之間有無數(shù)個(gè)無理數(shù)。a,

b