數(shù)學教學中幾何直觀能力的培養(yǎng)

數(shù)學教學中幾何直觀能力的培養(yǎng)中國科學院附屬實驗學校

孫樹雪

一、關于幾何直觀的一些觀點二、小學數(shù)學中的幾何直觀三、借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力關于幾何直觀《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。”關于幾何直觀缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的?！档轮庇^就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知?！炖侮P于幾何直觀幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數(shù)學的研究對象（即空間形式和數(shù)量關系）進行直接感知、整體把握的能力。

——孔凡哲、史寧中小學數(shù)學中的幾何直觀

一、小學“圖形與幾何”領域的幾何直觀1.角的大小比較2.直線段的應用（三角形任意兩邊之和大于第三邊；直線段與垂直；直線段與兩點間的距離。）3.對平行的理解4.圖畫還原小學數(shù)學中的幾何直觀二、小學“數(shù)與代數(shù)”領域中的幾何直觀1.對自然數(shù)的抽象和理解2.對負數(shù)的理解3.對分數(shù)的理解畫圖能表達兒童的喜好，能拉近數(shù)學與兒童之間的距離，能促進情感、態(tài)度、價值觀目標的達成。借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力①畫圖能表達兒童的喜好借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力②畫圖能喚起兒童的經(jīng)驗借助畫圖培養(yǎng)幾何直觀能力③畫圖給兒童提供了個性表達的機會1.讓學生從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學很多重要的數(shù)學內(nèi)容、概念都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，又有“形的特征”，只有從兩個角度認識，才能很好地理解它們的本質意義。只有從兩個角度認識，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學生接受并運用它們?nèi)ニ伎紗栴}。案例：《因數(shù)和倍數(shù)》老師讓學生找12的因數(shù)，學生畫圖尋找。例1：借助“形”理解整數(shù)的意義1215是由1個千、2個百、1個十和5個一組成的例2：《萬以內(nèi)數(shù)的認識》讓學生畫圖解讀對1323的理解?！度f以內(nèi)數(shù)的認識》讓學生畫圖解讀對1323的理解?！度f以內(nèi)數(shù)的認識》讓學生畫圖解讀對1323的理解。《萬以內(nèi)數(shù)的認識》讓學生畫圖解讀對1323的理解。《萬以內(nèi)數(shù)的認識》讓學生畫圖解讀對1323的理解。例3：借助“形”感知小數(shù)的含義例4：借助“形”理解分數(shù)的意義師:要想知道這張紙條的長度怎么辦?生:用尺子來量用“米”做單位量:1米多,不到2米。用“厘米”做單位量:177厘米。用“單位1”量:恰好是“2”。教師改變紙條長度，繼續(xù)用“單位1”測量學生思考，想辦法，通過對折創(chuàng)造“單位”度量。13/41教師不斷改變紙條的長度，學生通過對折不斷創(chuàng)造出新的“分數(shù)單位”來完成測量。在這樣的教學活動中，學生感悟到的是：度量、單位累加、數(shù)分數(shù)單位認識分數(shù)。通過這樣的教學活動，能讓學生把整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的認識、運算統(tǒng)一在“數(shù)位、計數(shù)單位”這一核心概念之下。2.借助“直觀”幫助學生理解數(shù)學如何解決“兒童認知特點與數(shù)學的嚴謹、抽象之間的矛盾”是擺在我們面前的難題。兒童的認知特點：天真、活潑、好動，喜歡在多種感官都能參與的活動中學習；兒童喜歡富有故事情節(jié)、與自己生活相貼近的學習內(nèi)容；兒童以直觀、形象思維為主，很難理解抽象的數(shù)學；兒童認識存在片面性，他們往往關注自己最喜歡的“點”，不會全面考慮問題。溝通“圖”與“式”的聯(lián)系，讓學生明理。

例5：借助直觀幫助學生理解“算理”例題：一盒巧克力，老師先拿走一半，又拿走5塊，還剩40塊。這盒巧克力一共有多少塊？（1）教師引導學生分析原來一盒巧克力？（）40塊－5＋5×2÷2第一次變化現(xiàn)在第二次變化（2）學生獨立解決問題。例6：借助“直觀”理解解決問題的思路（3）學生匯報交流。生1：40+5=45（塊）45×2=90（塊）生2：（40+5）×2=90（塊）生3：老師，我還有和他們不一樣的方法。40×2+5×2=90（塊）老師評價：你的方法實際和他們的方法一樣。第三個孩子的想法真的和前兩種方法一樣嗎？拿走一半5塊40塊5塊40塊5塊40塊面對學生的生成問題，教師應學會傾聽孩子的心聲，讓他嘗試用“直觀”的方式解釋自己的思路。例7:《比較》（1）創(chuàng)設情境，發(fā)現(xiàn)、提出問題①你看到了哪些數(shù)學信息？30千克26千克②你能提出哪些數(shù)學問題？3.借助“直觀”溝通不同方法之間的聯(lián)系，幫助學生感悟數(shù)學思想方法。每只小狗重多少千克？每只小貓重多少千克？1只小狗和1只小貓各重多少千克？1只小狗和1只小貓相差多少千克？1只小狗和1只小貓共重多少千克？③梳理問題師：先解決哪個問題更好呢？生：先解決合并的問題更好。師：我們先解決各重多少千克的問題。教師可以對學生提出的問題進行梳理，選擇哪個問題先解決，不需要學生參與，不過多浪費時間。思考：創(chuàng)設問題情境，讓學生發(fā)現(xiàn)、提出問題非常重要；讓學生發(fā)現(xiàn)、提出問題，不是多多益善，應讓學生逐步感悟到：有些問題是有價值的，有些問題是由同一個問題衍生出來的。（2）嘗試探究，解決問題①學習提示：獨立思考嘗試解決問題，可以圈一圈、畫一畫，也可以借助線段圖、示意圖幫助理解題意；獨立思考后在小組內(nèi)交流。思考：教師對學生活動有明確的要求，有方法引領，有材料支持，能處理好獨立思考與合作交流的關系，給學生提供了充足的時間，確保學生活動能收到實效。②學生在小組內(nèi)嘗試探究，解決問題。③全班交流。方法一：30千克26千克30－26=4（千克）4÷（3－1）=2（千克）…一只小貓（26－2）÷3=8（千克）…一只小狗師：4表示什么？能用學具擺一擺，讓別人一眼就看出來嗎？方法二：30千克26千克師：他們組用的是什么方法？生：抵消法師：怎么抵消的？生：一個對著一個抵消的。方法三：30千克26千克30÷3=10（千克）…一只小狗和一只小貓26－10=16（千克）…2只小狗16÷2=8（千克）…1只小狗26－8×3=2（千克）…1只小貓方法四：△=狗□=貓△＋△＋△＋□＋□＋□=30△＋△＋△＋□

=26師：他們的方法和哪種方法有相同的地方？通過尋找相同，引出課題“比較”并板書“一一對應”思考：這是一個有價值的問題，能引發(fā)學生思考，能讓學生透過“不同方法的表象”看到“相同的本質”，有助于學生感悟數(shù)學思想方法。教師啟發(fā)得出方法五：能不能把圖形變一下，讓人一眼就看出相差兩只小貓？方法五：30千克26千克教師繼續(xù)啟發(fā)得出方法六：觀察圖的變化，還有不同的方法嗎？方法六：（30＋26）÷2=28（千克）28－26=2（千克）…1只小貓（26－2）÷3=8（千克）…1只小狗思考：如何理解解決問題策略的多樣化？教學方式放開了，不同水平的學生獨立探究解決同一個問題會呈現(xiàn)出不同的方法，我們鼓勵學生用自己喜歡的方法解決問題，不強求學生用多種方法解決問題。在問題解決的教學中，如果把學生呈現(xiàn)出的不同方法全部展示出來，把教師想到的所有方法全部挖掘出來，會給一部分學生帶來困惑，會讓他們逐步懼怕數(shù)學、失去學好數(shù)學的自信心。學生獨立研究中還有很多有價值的資源，教師并未捕捉到。4.讓學生借助“直觀”展開想象。…………例8：《探索規(guī)律》一年級例9：《探索規(guī)律》五年級老師讓學生從棱長是2、3、4、5的正方體開始分類計數(shù)小正方體表面涂色情況，并得出下表。三面兩面一面無色a=2a=3a=4a=588880001261(4-2)×12(4-2)2×6(4-2)3(5-2)×12(5-2)2×6(5-2)3學生第一次用算式表示棱長是4、5的情況時都出現(xiàn)了錯誤，說明學生不理解抽象的算式。三面兩面一面無色a=2a=3a=4a=588880001261(4-2)×12(4-2)

×6(4-2)3(5-2)×12(5-2)×6(5-2)3教師可以讓學生借助“直觀圖”展開四次想象：第一次想象：理解算式的含義——理解第二次想象：棱長是3、2時，能用算式表示嗎？——回顧第三次想象：棱長是6、7時，怎樣用算式表示？——拓展第四次想象：棱長是n時，怎樣用算式表示？——抽象5.培養(yǎng)學生“畫圖解決問題”的習慣與能力。能把握問題的結構，畫枝形圖解決問題獨立研究問題的能力強，用直觀的方法解決問題獨立研究問題的能力強，用直觀的方法解決問題沒有理解題意養(yǎng)成了畫圖解決問題的習慣，有助于學生空間觀念的發(fā)展。在觀察、操作、畫圖、想象等活動中學習圖形問題，讓學