線性回歸分析的基本步驟

線性回歸分析的基本步驟線性回歸分析的基本步驟線性回歸分析的基本步驟線性回歸分析的基本步驟編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:步驟一、建立模型知識(shí)點(diǎn)：1、總體回歸模型、總體回歸方程、樣本回歸模型、樣本回歸方程①總體回歸模型：研究總體之中自變量和因變量之間某種非確定依賴關(guān)系的計(jì)量模型。特點(diǎn)：由于隨機(jī)誤差項(xiàng)U的存在，使得Y和X不在一條直線/平面上。例1：某鎮(zhèn)共有60個(gè)家庭，經(jīng)普查，60個(gè)家庭的每周收入（X）與每周消費(fèi)（Y）數(shù)據(jù)如下：每周收入（X）每周消費(fèi)支出（Y）8055606570751006570748085881207984909498140809395103108113115160102107110116118125180110115120130135140200120136140144145220135137140152157160162240137145155165175189260150152175178180185191作出其散點(diǎn)圖如下：②總體回歸方程（線）：由于假定，因此因變量的均值與自變量總處于一條直線上，這條直線就稱為總體回歸線（方程）。總體回歸方程的求法：以例1的數(shù)據(jù)為例1）對(duì)第一個(gè)Xi，求出E(Y|Xi)。每周收入（X）每周消費(fèi)支出（Y）E(Y|Xi)8055606570756510065707480858877120798490949889140809395103108113115101160102107110116118125113180110115120130135140125200120136140144145137220135137140152157160162149240137145155165175189161260150152175178180185191173由于，因此任意帶入兩個(gè)Xi和其對(duì)應(yīng)的E(Y|Xi)值，即可求出，并進(jìn)而得到總體回歸方程。如將代入可得：以上求出反映了E(Y|Xi)和Xi之間的真實(shí)關(guān)系，即所求的總體回歸方程為：，其圖形為：③樣本回歸模型：總體通常難以得到，因此只能通過抽樣得到樣本數(shù)據(jù)。如在例1中，通過抽樣考察，我們得到了20個(gè)家庭的樣本數(shù)據(jù)：每周收入（X）每周消費(fèi)支出（Y）8055100657012079841408093160102107110180110200120136220135137240137145260150152175那么描述樣本數(shù)據(jù)中因變量Y和自變量X之間非確定依賴關(guān)系的模型就稱為樣本回歸模型。④樣本回歸方程（線）：通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)出，得到樣本觀測(cè)值的擬合值與解釋變量之間的關(guān)系方程稱為樣本回歸方程。如下圖所示：⑤四者之間的關(guān)系：?。嚎傮w回歸模型建立在總體數(shù)據(jù)之上，它描述的是因變量Y和自變量X之間的真實(shí)的非確定型依賴關(guān)系；樣本回歸模型建立在抽樣數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上，它描述的是因變量Y和自變量X之間的近似于真實(shí)的非確定型依賴關(guān)系。這種近似表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是結(jié)構(gòu)參數(shù)是其真實(shí)值的一種近似估計(jì)；二是殘差是隨機(jī)誤差項(xiàng)U的一個(gè)近似估計(jì)；ⅱ：總體回歸方程是根據(jù)總體數(shù)據(jù)得到的，它描述的是因變量的條件均值E(Y|X)與自變量X之間的線性關(guān)系；樣本回歸方程是根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)得到的，它描述的是因變量Y樣本預(yù)測(cè)值的擬合值與自變量X之間的線性關(guān)系。ⅲ：回歸分析的目的是試圖通過樣本數(shù)據(jù)得到真實(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)值，并要求估計(jì)結(jié)果足夠接近真實(shí)值。由于抽樣數(shù)據(jù)有多種可能，每一次抽樣所得到的估計(jì)值都不會(huì)相同，即的估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量。因此必須選擇合適的參數(shù)估計(jì)方法，使其具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。2、隨機(jī)誤差項(xiàng)U存在的原因：①非重要解釋變量的省略②人的隨機(jī)行為③數(shù)學(xué)模型形式欠妥④歸并誤差（如一國(guó)GDP的計(jì)算）⑤測(cè)量誤差等3、多元回歸模型的基本假定①隨機(jī)誤差項(xiàng)的期望值為零②隨機(jī)誤差項(xiàng)具有同方差性③隨機(jī)誤差項(xiàng)彼此之間不相關(guān)④解釋就變量X1,X2,···,Xk為確定型變量，與隨機(jī)誤差項(xiàng)彼此不相關(guān)。⑤解釋就變量X1,X2,···,Xk之間不存在精確的（完全的）線性關(guān)系，即解釋變量的樣本觀測(cè)值矩陣X為滿秩矩陣：rank(X)=k+1<n⑥隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，即：ui~N(0,2)，i=1,2,···,n步驟二、參數(shù)估計(jì)知識(shí)點(diǎn)：1、最小二乘估計(jì)的基本原理：殘差平方和最小化。2、參數(shù)估計(jì)量：一元回歸：多元回歸：3、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)（Gauss-Markov定理）：在滿足基本假設(shè)的情況下，最小二乘估計(jì)量是的最優(yōu)線性無偏估計(jì)量（BLUE估計(jì)量）步驟三、模型檢驗(yàn)1、經(jīng)濟(jì)計(jì)量檢驗(yàn)（后三章內(nèi)容）2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)①擬合優(yōu)度檢驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)：?。簲M合優(yōu)度檢驗(yàn)的作用：檢驗(yàn)回歸方程對(duì)樣本點(diǎn)的擬合程度ⅱ：擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)方法：計(jì)算（調(diào)整的）樣本可決系數(shù)，注意掌握離差平方和、回歸平方和、殘差平方和之間的關(guān)系以及它們的自由度。計(jì)算方法：通過方差分析表計(jì)算方差來源符號(hào)計(jì)算公式自由度.)均方值(MSS)離差平方和TSSn-1/n-1回歸平方和RSSk/k殘差平方和ESSn-k-1/n-k-1例2：下表列出了三變量（二元）模型的回歸結(jié)果：方差來源平方和（SS）自由度均方值離差平方和TSS6604214回歸平方和RSS65965殘差平方和ESS樣本容量為多少解：由于TSS的自由度為n-1，由上表知n-1＝14，因此樣本容量n=15。求ESS解：由于TSS＝ESS＋RSS，故ESS＝TSS－RSS＝77ESS和RSS的自由度各為多少解：對(duì)三變量模型而言，k=2，故ESS的自由度為n-k-1＝12RSS的自由度為k＝2求解：，②回歸方程的顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）目的：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械囊蜃兞颗c自變量之間是否存在顯著的線性關(guān)系步驟：1、提出假設(shè)：2、構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：3、給定顯著性水平，確定拒絕域4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值，并判斷是否拒絕原假設(shè)例3：就例2中的數(shù)據(jù)，給定顯著性水平，對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。解：由于統(tǒng)計(jì)量值，又，而故拒絕原假設(shè)，即在1%的顯著性水平下可以認(rèn)為回歸方程存在顯著的線性關(guān)系。附：檢驗(yàn)的關(guān)系：由于③解釋變量的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）目的：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械淖宰兞渴欠駥?duì)因變量存在顯著影響。知識(shí)點(diǎn)：多元回歸：，其中為中位于第i+1行和i+1列的元素；一元回歸：變量顯著性檢驗(yàn)的基本步驟：1、提出假設(shè)：2、構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：3、給定顯著性水平，確定拒絕域4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值，并判斷是否拒絕原假設(shè)例4：根據(jù)19個(gè)樣本數(shù)據(jù)得到某一回歸方程如下：試在5%的顯著性水平下對(duì)變量的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。解：由于，故t檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?。?duì)自變量而言，其t統(tǒng)計(jì)量值為，落入拒絕域，故拒絕的原假設(shè)，即在5%的顯著性水平下，可以認(rèn)為自變量對(duì)因變量有顯著影響；對(duì)自變量而言，其t統(tǒng)計(jì)量值為，未落入拒絕域，故不能拒絕的原假設(shè)，即在5%的顯著性水平下，可以認(rèn)為自變量對(duì)因變量Y的影響并不顯著。④回歸系數(shù)的置信區(qū)間目的：給定某一置信水平，構(gòu)造某一回歸參數(shù)的一個(gè)置信區(qū)間，使落在該區(qū)間內(nèi)的概率為基本步驟：1、構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量2、給定置信水平，查表求出水平的雙側(cè)分位數(shù)3、求出的置信度為的置信區(qū)間例5：根據(jù)例4的數(shù)據(jù)，求出的置信度為95%的置信區(qū)間。解：由于，故的置信度為95%的置信區(qū)間為：3、經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)?zāi)康模簷z驗(yàn)回歸參數(shù)的符號(hào)及數(shù)值是否與經(jīng)濟(jì)理論的預(yù)期相符。例6：根據(jù)26個(gè)樣本數(shù)據(jù)建立了以下回歸方程用于解釋美國(guó)居民的個(gè)人消費(fèi)支出：其中：Y為個(gè)人消費(fèi)支出（億元）；X1為居民可支配收入（億元）；X2為利率（%）先驗(yàn)估計(jì)的符號(hào)；解：由于居民可支配收入越高，其個(gè)人消費(fèi)水平也會(huì)越高，因此預(yù)期自變量X1回歸系數(shù)的符號(hào)為正；而利率越高，居民儲(chǔ)蓄意愿越強(qiáng)，消費(fèi)意愿相應(yīng)越低，因此個(gè)從消費(fèi)支出與利率應(yīng)該存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，即應(yīng)為負(fù)。解釋兩個(gè)自變量回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義；解：表示，居民可支配收入每增加1億元，其個(gè)人消費(fèi)支出相應(yīng)會(huì)增加億元，即居民的邊際消費(fèi)傾向MPC＝；表示，利率提高1個(gè)百分點(diǎn)，個(gè)人消費(fèi)支出將減少億元。截距項(xiàng)表示居民可支配收入和利率為零時(shí)的個(gè)人消費(fèi)支出為億元，它沒有明確的經(jīng)濟(jì)含義。檢驗(yàn)是否顯著不為1；（）解：1）提出假設(shè)：2）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：3）給定顯著性水平，查表得，故拒絕域?yàn)?）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值：由于則，落入拒絕域。故拒絕的原假設(shè)。即在5%的顯著性水平下，可認(rèn)為邊際消費(fèi)傾向MPC顯著不為1。檢驗(yàn)顯否顯著不為零；（）解：1）提出假設(shè)：2）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：3）給定顯著性水平，查表得，故拒絕域?yàn)?）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值：由于，落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)。即在5%的顯著性水平下，可以認(rèn)為顯著異于零。計(jì)算值；解：由于計(jì)算每個(gè)回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差；解：由于給出置信水平為95%的置信區(qū)間；解：由于，故置信水平為95%的置信區(qū)間為對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；解：提出假設(shè)：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量確定拒絕域：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量并進(jìn)行判斷：由于故拒絕原假設(shè)，即在5%的顯著性水平下認(rèn)為回歸方程的線性關(guān)系顯著成立。步驟四：經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)：可以看著是Y的條件均值和個(gè)別值的預(yù)測(cè)值，分別稱為均值預(yù)測(cè)和個(gè)值預(yù)測(cè)；性質(zhì)：是和的一個(gè)無偏估計(jì)量。區(qū)間預(yù)測(cè)：均值的區(qū)間預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)步驟：1）確定統(tǒng)計(jì)量：其中2）給定置信水平，確定的預(yù)測(cè)區(qū)間為：個(gè)值的區(qū)間預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)步驟：1）確定統(tǒng)計(jì)量：其中2）給定置信水平，確定的預(yù)測(cè)區(qū)間為：作業(yè)：為解釋某地對(duì)酒的消費(fèi)，根據(jù)20年的樣本數(shù)據(jù)得到了如下回歸方程：其中：：每一成年人每年對(duì)酒的消費(fèi)量（升）