大學(xué)物理競賽專題輔導(dǎo)之電學(xué)課件

大學(xué)物理競賽培訓(xùn)電學(xué)第四講理學(xué)院物理系張晚云大學(xué)物理競賽培訓(xùn)電學(xué)第四講理學(xué)院物理系一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電容器、電介質(zhì)有關(guān)的計算；五、電場能量的計算。三、靜電平衡問題的計算；本講主要內(nèi)容大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：應(yīng)特別注意矢量的運算方法１直接積分法方法２典型帶電體的場強場強疊加原理方法３利用高斯定理求特殊對稱分布帶電體的場強方法４利用場強與電勢的關(guān)系大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：應(yīng)特別注例1.很細的不導(dǎo)電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空隙為2cm，電荷量為3.12×10-9C的正電荷均勻分布在細棒上。求圓心處場強的大小和方向。Rd=3.12mRld=π2q=l

l解：運用補償法。圓心處的場強等于缺口段負電荷所產(chǎn)生的場強。<d<R缺口段的電荷可以看作為點電荷?！摺鋛=l

d=2.0×10-11CπqR2ε40=EO′=0.72

V/m方向由圓心指向缺口一、場強與電通量的計算大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講例1.很細的不導(dǎo)電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=

其方向為由圓心O點指向

變1：真空中一半徑為R的均勻帶電球面，總電量為今在球面上挖去非常小塊的面積ΔS(連同電荷)，不影響原來的電荷分布，且假設(shè)Q(Q>0)。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=其方向為由圓心O點··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－腔內(nèi)場強：半徑為R1的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球內(nèi)場強空腔內(nèi)為勻強場。變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內(nèi)，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔內(nèi)任一點的電場強度E。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講疊加一、場強與電通量的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的A角上，則通過側(cè)面abcd

的電場強度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平面。設(shè)q在垂直于平面并通過圓心o的軸線上A點處，A點與圓心o點的距離為d試計算通過此平面的E通量。ARqo.πΩ2=()rrdr2=π2()rdr解：A點對平面所張的立體角為：通過整個球面(即立體角4π)為的電通量為qε0通過圓平面的電通量為=Φeqεπ40Ωd()=qεπ40π2Rd2+2Rd2+2dr大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，其密度僅與到球殼中心的距離r有關(guān)，若球殼外任一點的電場的大小相等，求電荷體密度ρ與r的關(guān)系。解：球殼外任一點的場強大?。角驓け砻嫣巿鰪娙“霃椒謩e為r和r+△r的兩個同心球面作為高斯面由高斯定律：由此解得：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，變1.設(shè)氣體放電形成的等離子體在圓柱內(nèi)的電荷分布可用右式表示式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處的電荷體密度,a是常量。試計算其場強分布。1+ar20()ρρ(r)=2解：先計算高斯面內(nèi)的電量πρ2rld=dq()rr1+ar20()ρ=2π2ldrr1+ar20()ρ=2π2ldrrqòr01+ra20()ρ=πl(wèi)a2大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算變1.設(shè)氣體放電形成的式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπl(wèi)a21+ra2()1.=2Erε00ρa21+ra2()1由高斯定律：q1+ra20()ρ=πl(wèi)a2高斯面內(nèi)的電量為：理學(xué)院物理系張晚云大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπl(wèi)a21+raqOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷受力：點電荷在范圍內(nèi)作簡諧振動例4、如圖，在兩平行無限大平面內(nèi)是電荷體密度ρ(>0)的均勻帶電空間。有一質(zhì)量為m，電量為q(<0)的點電荷在帶電板的邊緣自由釋放。在僅考慮電場力不考慮其他阻力的情況下，求該點電荷運動到中心對稱面OO’的時間。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算qOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：標量直接求和方法Ⅰ直接積分法方法Ⅱ典型帶電體的電勢電勢疊加原理方法Ⅲ場強積分法（沿電力線積分）熟記電偶極子、均勻帶電圓環(huán)/圓盤、均勻帶電球面/球體，無限長均勻帶電圓柱面/柱體、無限大帶電平面的E、Ｕ分布。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：標量直例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷，測得圖中P、Q兩點（均為相應(yīng)正三角形的中心）的電勢分別為和，若撤去BC棒，則P、Q兩點的電勢各為多少？BPQAC解：根據(jù)對稱性，設(shè)AB、BC、CA三棒對P點的電勢貢獻及AC對Q點的電勢貢獻皆為AB、BC棒對Q點的電勢貢獻皆為撤去BC棒后，應(yīng)有大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二半兩球面上的面電荷密度為σ1與σ2

滿足關(guān)系σ1R1=-σ1R2。(1)試證小球面所對的圓截面S為一等勢面；(2)求等勢面S上的電勢。提示：將兩半球面均補全為閉合球面因上述任一閉合帶電球面內(nèi)為等勢體，則小球面所圍區(qū)域內(nèi)各點電勢為各去掉一半時，由電勢疊加大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電荷密度為σ，A點的坐標為(0,R/2),B點的坐標為(3R/2,0),如圖所示。則A、B兩點處的電勢差為_________。根據(jù)對稱性BxryAC解：取如圖所示C點(0,3R/2)補上下半球面成為完整球面后再由根據(jù)對稱性大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球體內(nèi)、外的場強：變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內(nèi)，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔中心處的電勢。均勻帶電球體內(nèi)某點的電勢大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均例3.如圖，某質(zhì)子加速器使每個質(zhì)子獲得2KeV的動能，很細的質(zhì)子束射向一個遠離加速器、半徑為r的金屬球，從球心到質(zhì)子束延長線的垂直距離d=r/2。假定質(zhì)子與金屬相碰后將其電荷全部交給金屬球，經(jīng)足夠長時間后，金屬球的最高電勢（以無窮遠處的電勢為零）為

。qedr解：當(dāng)金屬球達到最高電勢時，質(zhì)子軌跡剛好與金屬球相切。此時，質(zhì)子與金屬球組成的系統(tǒng)角動量守恒，且機械能守恒。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算例3.如圖，某質(zhì)子加速器使每個質(zhì)子獲得2KeV的動能，很細三、靜電平衡問題的計算1、導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)及其特點【靜電平衡狀態(tài)】導(dǎo)體的內(nèi)部和表面都沒有電荷作任何宏觀定向運動的狀態(tài).特點(a)導(dǎo)體內(nèi)部任一點的電場強度都等于零(b)導(dǎo)體表面任一點的場強方向垂直于表面(c)整個導(dǎo)體為一等勢體2、導(dǎo)體在靜電平衡狀態(tài)下的電荷分布(1)凈電荷只能分布于導(dǎo)體的表面上.(2)導(dǎo)體表面任意點的電荷的面密度與該點附近的場強的關(guān)系.(3)孤立帶電導(dǎo)體：電荷面密度與曲率半徑成反比。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算1、導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)及其特點【靜電平3、解決靜電平衡問題的基本依據(jù)1.靜電平衡的條件2.基本性質(zhì)方程3.電荷守恒定律(沒接地時）注：導(dǎo)體接地時，其電勢必為零，但其表面電荷不一定為零大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算3、解決靜電平衡問題的基本依據(jù)1.靜電平衡的條件2.基本性質(zhì)例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很小)，則板上離點電荷最近處的感應(yīng)電荷面密度σ=

。解：因金屬板接地，在背離+q的面上無感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷只分布在面向+q的一面Pd+qσ由靜電平衡條件：其中：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很變1、帶電導(dǎo)體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導(dǎo)體球表面附近一點，若無限大帶電平面的面電荷密度為，P點附近導(dǎo)體球表面的面電荷密度為，則P點電場強度的大小等于__________。解：導(dǎo)體球達到靜電平衡后，導(dǎo)體球為等勢體，其內(nèi)部場強為零，球表面的電荷形成穩(wěn)定分布O此時，導(dǎo)體外表面附近的電場強度僅由該處電荷面密度決定：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算變1、帶電導(dǎo)體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導(dǎo)體球表q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應(yīng)過程中總電量不變；靜電平衡后，導(dǎo)體球為等勢體。例2、如圖所示，有一半徑為R，帶電量Q的導(dǎo)體球，在距球心O點d1處放置一已知點電荷q1，在距球心d2處再放置一點電荷q2，當(dāng)q2電荷電量為_______時可使導(dǎo)體球電勢為零（以無窮遠處為電勢零點）。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應(yīng)過程中總電量不變；例2、電荷守恒:例3空腔導(dǎo)體球殼外有點電荷求：⑴感應(yīng)電荷在O處的⑶空腔接地，求感應(yīng)電荷的總量.已知:⑵腔內(nèi)任一點的解:⑴感應(yīng)電荷在O處的感應(yīng)電荷在O處的電勢:大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算電荷守恒:例3空腔導(dǎo)體球殼外有點電荷求：⑴感應(yīng)電荷在O接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導(dǎo)體為等勢體:腔內(nèi)任一點:⑵求腔內(nèi)任一點的⑶空腔接地，求感應(yīng)電荷的總量大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導(dǎo)體為等勢體:腔內(nèi)任一點:例4、如圖所示，兩個同心的薄導(dǎo)體球殼均接地，內(nèi)球殼半徑為a，外球殼半徑為b。另有一電量為Q的點電荷置于兩球殼之間，距球心r處，則內(nèi)球上的感應(yīng)電荷q1=

，外球上的感應(yīng)電荷q2=

。解：將兩薄球殼視為一導(dǎo)體組，若不接地，由靜電感應(yīng)，系統(tǒng)將產(chǎn)生+Q感與-Q的感應(yīng)電量，兩者地后，+Q被移入大地。故有aQrb大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算例4、如圖所示，兩個同心的薄導(dǎo)體球殼均接地，內(nèi)球殼半徑為a，四、電介質(zhì)中靜電場的計算1、電介質(zhì)中的電場強度2、極化電荷面密度:介質(zhì)+真空導(dǎo)體+介質(zhì)3、均勻、線性、各向同性電介質(zhì)中的電極化強度：４、電位移:大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算1、電介質(zhì)中的電場強度2、極化電荷面例1、在電荷面密度為的無限大帶電導(dǎo)體板兩側(cè)分別充以介電常數(shù)與的均勻電介質(zhì)，如圖所示，則導(dǎo)體兩側(cè)電場強度的大小

，

。解：設(shè)加介質(zhì)后導(dǎo)體板兩側(cè)的自由電荷面密度分別為由D的高斯定理，得設(shè)板兩側(cè)界面處的束縛電荷面密度為導(dǎo)體板兩側(cè)均相當(dāng)于均勻無限大帶電平面，為保證導(dǎo)體板內(nèi)E=0，必有故兩側(cè)介質(zhì)中的電場大小相等由(1)、(2)式可得大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算例1、在電荷面密度為的無限大帶電導(dǎo)體板兩側(cè)分別充以介電常數(shù)變1、厚度為d的無限大平板內(nèi)分布有均勻電荷密度()的自由電荷，在板外兩側(cè)分別充有介電常數(shù)為和的電介質(zhì)，如圖。（1）求板內(nèi)外的電場分布；（2）板外的A點和B點分別距左右兩板壁為l，求。提示：由電荷分布的特點可知，在板內(nèi)一定存在一個E=0的平面(MM′)，它距左、右側(cè)面分別為a、b.dllMM′abx板內(nèi)板外AB大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算變1、厚度為d的無限大平板內(nèi)分布有均勻電荷密度(例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分充滿相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)，左半部分空間的正中位置有一帶電小球P,電容器充電后P恰好處于平衡狀態(tài)，斷開電源后將電介質(zhì)快速抽出,不計靜電平衡經(jīng)歷的時間及帶電球P對電容器極板電荷分布的影響，則P將經(jīng)多久后到達某極板。提示：設(shè)小球質(zhì)量為m電量為q，電容器極板面積S,電量為Q抽出電介質(zhì)前P抽出電介質(zhì)后由牛頓第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分充滿相對介電常量為的固態(tài)電介質(zhì)的大平行板電容器相連，設(shè)此時圖中帶電小球P恰好處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)將電介質(zhì)快速抽出,穩(wěn)定后P將經(jīng)t=

后到達某極板。提示：設(shè)小球質(zhì)量為m電量為-q，抽出電介質(zhì)前P+-抽出電介質(zhì)后由牛頓第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數(shù)為、外徑為2R的均勻電介質(zhì)殼，介質(zhì)內(nèi)均勻地分布著電量為

，的自由電荷，金屬球接地，則介質(zhì)殼的電勢為

。解：金屬球接地，U=0，其上電量設(shè)為q，介質(zhì)殼內(nèi)的場強為介質(zhì)殼外的場強為故介質(zhì)殼外表面的電勢為大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數(shù)為、外五、電容器及其儲能的計算大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講1、電容器及其電容（1）孤立導(dǎo)體(無窮遠處為電勢零點)（2）雙導(dǎo)體電容器（3）電容器的串并聯(lián)熟記平行板電容器、球形電容器與圓柱形電容器的電容。五、電容器及其儲能的計算大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講1、電容器及其2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續(xù)帶電體的靜電能（自能）U為所有電荷元在dq（非點電荷）所在處激發(fā)的電勢Ui為除qi

以外的所有電荷在qi處產(chǎn)生的電勢（3）電容器的儲能（4）一般靜電場的能量大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續(xù)帶電體的五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導(dǎo)線單位長度間的電容（導(dǎo)線半徑a，軸線間距離d）解：設(shè)單位長度帶電（導(dǎo)體內(nèi)）（導(dǎo)體間）大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導(dǎo)線單位長度間的例2一同軸圓柱形電容器，外導(dǎo)體筒的內(nèi)徑為b，內(nèi)導(dǎo)體筒的外徑可調(diào)，兩筒間充滿了各向同性均勻電介質(zhì)。已知電介質(zhì)的擊穿場強為E0，試求該電容器所能承受的最大電壓

xb解：設(shè)內(nèi)筒的外徑為x，內(nèi)、外筒的電量線密度為λ、-λ,由高斯定理可得內(nèi)、外筒的電勢差為由(1)式知，最大場強（即擊穿場強）為大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算例2一同軸圓柱形電容器，外導(dǎo)體筒的內(nèi)徑為b，內(nèi)導(dǎo)體筒的外徑例3在長為L、內(nèi)芯導(dǎo)線半徑為a、外導(dǎo)體圓筒內(nèi)徑b的的同軸圓柱形電容器中充以相對介電常數(shù)為的固體電介質(zhì)。則(1)若把該電容器與電勢為U的電源相連后，抽出電介質(zhì)一部分，當(dāng)不計邊緣效應(yīng)時，為維持電介質(zhì)拉出的位置不動，需多大的力，方向如何？(2)若與上述電源充電后，斷開電源，則結(jié)果如何。解：同軸圓柱形電容器中充滿電介質(zhì)時的電容為當(dāng)拉出一部分電介質(zhì)時，設(shè)拉出部分長度為x，則電容變?yōu)?1)電介質(zhì)的移動使電容器的儲能發(fā)生變化，為維持兩板間電壓不變，電源必須做功。且電源的功轉(zhuǎn)化為儲能的增量和電力的功方向指向內(nèi)部大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算例3在長為L、內(nèi)芯導(dǎo)線半徑為a、外導(dǎo)體圓筒內(nèi)徑b的的同軸圓當(dāng)拉出一部分電介質(zhì)時，設(shè)拉出部分長度為x，則電容變?yōu)?2)電容器充電后斷開電源，則電量固定。此時，儲能的變化量等于電力的功方向指向內(nèi)部注意：電容器內(nèi)的電場有“吸引”電介質(zhì)的作用！因此，當(dāng)把電容器浸入液體介質(zhì)中時，會使得液體在電容器內(nèi)部上升形成液柱，當(dāng)液柱的重力與上述靜電引力相平衡時，液面不再上升。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算當(dāng)拉出一部分電介質(zhì)時，設(shè)拉出部分長度為x，則電容變?yōu)?2)六、有關(guān)電路的計算1、電阻大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講對非均勻截面電阻：2、歐姆定律微分形式的歐姆定律：一段含源電路的歐姆定律：電流方向和電動勢方向與A→B方向一致的取“﹢”,反之，取“-”。3、焦耳-楞次定律的微分形式六、有關(guān)電路的計算1、電阻大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講對非均勻截面六、有關(guān)電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講對電路的“節(jié)點”：IiS節(jié)點(1)基爾霍夫第一定律規(guī)定從節(jié)點流出：

I

>0，流入節(jié)點：I

<0。(2)基爾霍夫第二定律在穩(wěn)恒電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數(shù)和等于零。六、有關(guān)電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)六、有關(guān)電路的計算5、RC充、放電電路大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講(1)電路似穩(wěn)

(2)Kirchhoff方程仍然適用(3)時間常數(shù)充電：放電：六、有關(guān)電路的計算5、RC充、放電電路大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第1、電阻的計算例1：一電纜的芯線是半徑為

r1的銅線，在銅線外包一層同軸的絕緣層，絕緣層的外徑為r2，電阻率為ρ，在絕緣層外又用鉛層保護起來。當(dāng)電纜在工作時，芯線與鉛層之間存在著徑向漏電電流。試求長為l的這種纜線的徑向漏電電阻。分析：由于漏電電流沿徑向通過不同截面的圓柱，因此絕緣層的電阻可視為無數(shù)圓柱薄層的電阻串聯(lián)而成。解：在此絕緣層沿徑向取半徑為r、厚為dr的薄圓柱層，其電阻為：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算1、電阻的計算例1：一電纜的芯線是半徑為r1的銅線，在銅線例2：一長為L的金屬接頭具有如圖所示的圓臺狀，電流從半徑為r1的端面S1流向半徑為r2的端面S2，且在任一截面上都是均勻分布的，試求：S1和S2面之間的電阻。O大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算例2：一長為L的金屬接頭具有如圖所示的圓臺狀，電流從半徑為例3：碳膜電位器中的碳膜，它是蒸敷在絕緣基片厚為t、內(nèi)半徑為r1，外半徑為r2

的一層碳構(gòu)成。A、B為引出端，環(huán)形碳膜總張角為,電流沿圓周曲線流動。求：A、B之間的電導(dǎo)？ABr1

r2

A、B

間電阻可視為由若干不同長度而截面相同的電阻并聯(lián)而成。電導(dǎo)為：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算例3：碳膜電位器中的碳膜，它是蒸敷在絕緣基片厚為t、內(nèi)半徑為2、歐姆定律的微分形式應(yīng)用歐姆定律微分形式常涉及到電場和電勢，它們之間仍有：例1：一高壓輸電線被風(fēng)吹斷，一端觸地，從而使強度為I的電流由接觸點流入地內(nèi)，高地面水平，土地的電阻率為ρ，當(dāng)人走近輸電線接地端，左右兩腳（間距為l）間的電壓稱為跨步電壓.試求距觸地點為L處的跨步電壓。分析：高壓線觸地后，電流以觸地點為球心，呈半球狀沿徑向流入地面，離地r處的電流密度為rab距觸地點為L處的跨步電壓離觸地點越近，跨步電壓越高。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算2、歐姆定律的微分形式應(yīng)用歐姆定律微分形式常涉及到電場和電勢變1：在一塊很大的電阻材料的水平表面上，豎直并排地插四根金屬針，針間距都是d，針與表面接觸良好。外邊兩針間接以電源，中間兩針接電壓表。設(shè)流過電源的電流為I,電壓表讀數(shù)為U.則材料的電阻率為

。分析：電阻材料中的電流是流入電流與流出電流（均以接觸點為球心，呈半球狀沿徑向流入或流出）的疊加，當(dāng)只有流入存在時，媒質(zhì)中的電流密度為r電壓表兩端所在位置的電勢差為dddab同理，當(dāng)只有流出電流時，電壓表兩端所在位置的電勢差為故電壓表讀數(shù)應(yīng)為材料電阻率為大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算變1：在一塊很大的電阻材料的水平表面上，豎直并排地插四根金屬例2：球形電容器的兩個極為兩同心金屬球殼，極間充滿均勻各向同性的線性介質(zhì)，其相對介電常數(shù)為。當(dāng)電極帶電后，其極上電荷量因介質(zhì)漏電而逐漸減少。設(shè)介質(zhì)的電阻率為ρ，t=0時，內(nèi)外電極上電量分別為±Q，求電極上電量隨時間減少的規(guī)律以及兩極間與球心相距為r的任一點處的傳導(dǎo)電流密度。解：取包圍內(nèi)電極，位于內(nèi)外電極之間的任一閉合面，由電流連續(xù)性方程高斯定理因電流密度與電場均呈球?qū)ΨQ，有0大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算例2：球形電容器的兩個極為兩同心金屬球殼，極間充滿均勻各向同變1：已知兩個同心金屬球殼的半徑分別為a、b(b>a)，中間充滿電導(dǎo)率為，且，其中K為常數(shù)，現(xiàn)將兩球殼維持恒定電壓U，求兩球殼間的電流。解：在兩金屬球殼間取半徑為r的球面，則穿過此面的電流為而兩金屬球殼間的電勢差大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算變1：已知兩個同心金屬球殼的半徑分別為a、b(b>a)，中間例3、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導(dǎo)電性的電介質(zhì)A和B，它們的介電常數(shù)、電導(dǎo)率和厚度分別為和；且。現(xiàn)將此電容器接至電壓為U的電源上，。試求穩(wěn)定時(1)電容器所損耗的功率P；(2)介質(zhì)A和B中的電場能量WA和WB；(3)兩介質(zhì)交界面上的自由電荷與束縛電荷面密度。解：(1)兩板間電阻+-故損耗功率為(2)由電流連續(xù)大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算例3、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導(dǎo)變1、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導(dǎo)電性的電介質(zhì)A和B，它們的介電常數(shù)、電導(dǎo)率和厚度分別為和；且?，F(xiàn)將此電容器接至電壓為U的電源上，。試求穩(wěn)定時(1)電容器所損耗的功率P；(2)介質(zhì)A和B中的電場能量WA和WB；(3)兩介質(zhì)交界面上的自由電荷與束縛電荷面密度。(3)在兩介質(zhì)交界面應(yīng)用D的高斯定理，得+-由E的高斯定理，得大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算變1、一厚度為d、極板面積為S的平行板電容器有兩層具有一定導(dǎo)例4、如圖所示，電鍵S原來置于a端，電容器C已經(jīng)被充滿了電?，F(xiàn)將S由a端擲向b端，直至電容器完全放完電。試證明：在此過程中，電容器原來所儲存的能量完全轉(zhuǎn)化為電阻器中的焦耳熱。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算證:把電容器C接在電動勢為ε的電源上，充滿電以后，電容器中儲存的能量為：當(dāng)電鍵S擲向b時，電容器經(jīng)電阻R放電。放電過程中電流隨時間的變化關(guān)系為：由此可計算出電阻R中的焦耳熱：即電容器所儲存的能量在放電過程中完全轉(zhuǎn)化為電阻器中的焦耳熱例4、如圖所示，電鍵S原來置于a端，電容器C已經(jīng)被充滿了電。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)電學(xué)第四講理學(xué)院物理系張晚云大學(xué)物理競賽培訓(xùn)電學(xué)第四講理學(xué)院物理系一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電容器、電介質(zhì)有關(guān)的計算；五、電場能量的計算。三、靜電平衡問題的計算；本講主要內(nèi)容大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算一、場強與電通量的計算；二、電勢、電場力做功的計算；四、與電一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：應(yīng)特別注意矢量的運算方法１直接積分法方法２典型帶電體的場強場強疊加原理方法３利用高斯定理求特殊對稱分布帶電體的場強方法４利用場強與電勢的關(guān)系大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：應(yīng)特別注例1.很細的不導(dǎo)電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空隙為2cm，電荷量為3.12×10-9C的正電荷均勻分布在細棒上。求圓心處場強的大小和方向。Rd=3.12mRld=π2q=l

l解：運用補償法。圓心處的場強等于缺口段負電荷所產(chǎn)生的場強。<d<R缺口段的電荷可以看作為點電荷。∵′q=l

d=2.0×10-11CπqR2ε40=EO′=0.72

V/m方向由圓心指向缺口一、場強與電通量的計算大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講例1.很細的不導(dǎo)電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，兩端空則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=

其方向為由圓心O點指向

變1：真空中一半徑為R的均勻帶電球面，總電量為今在球面上挖去非常小塊的面積ΔS(連同電荷)，不影響原來的電荷分布，且假設(shè)Q(Q>0)。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算則挖去ΔS后球心處電場強度的大小E=其方向為由圓心O點··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－腔內(nèi)場強：半徑為R1的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球內(nèi)場強空腔內(nèi)為勻強場。變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內(nèi)，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔內(nèi)任一點的電場強度E。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講疊加一、場強與電通量的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的A角上，則通過側(cè)面abcd

的電場強度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算[C]例2如圖，一個帶電量為q的點電荷位于正立方體的變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平面。設(shè)q在垂直于平面并通過圓心o的軸線上A點處，A點與圓心o點的距離為d試計算通過此平面的E通量。ARqo.πΩ2=()rrdr2=π2()rdr解：A點對平面所張的立體角為：通過整個球面(即立體角4π)為的電通量為qε0通過圓平面的電通量為=Φeqεπ40Ωd()=qεπ40π2Rd2+2Rd2+2dr大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算變1.如圖所示，在點電荷q的電場中，取半徑為R的圓形平例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，其密度僅與到球殼中心的距離r有關(guān)，若球殼外任一點的電場的大小相等，求電荷體密度ρ與r的關(guān)系。解：球殼外任一點的場強大?。角驓け砻嫣巿鰪娙“霃椒謩e為r和r+△r的兩個同心球面作為高斯面由高斯定律：由此解得：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算例3.半徑為ao的球殼均勻帶電量q，球殼外分布著體電荷，變1.設(shè)氣體放電形成的等離子體在圓柱內(nèi)的電荷分布可用右式表示式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處的電荷體密度,a是常量。試計算其場強分布。1+ar20()ρρ(r)=2解：先計算高斯面內(nèi)的電量πρ2rld=dq()rr1+ar20()ρ=2π2ldrr1+ar20()ρ=2π2ldrrqòr01+ra20()ρ=πl(wèi)a2大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算變1.設(shè)氣體放電形成的式中r是到圓住軸線的距離,ρ0是軸線處E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπl(wèi)a21+ra2()1.=2Erε00ρa21+ra2()1由高斯定律：q1+ra20()ρ=πl(wèi)a2高斯面內(nèi)的電量為：理學(xué)院物理系張晚云大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπl(wèi)a21+raqOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷受力：點電荷在范圍內(nèi)作簡諧振動例4、如圖，在兩平行無限大平面內(nèi)是電荷體密度ρ(>0)的均勻帶電空間。有一質(zhì)量為m，電量為q(<0)的點電荷在帶電板的邊緣自由釋放。在僅考慮電場力不考慮其他阻力的情況下，求該點電荷運動到中心對稱面OO’的時間。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講一、場強與電通量的計算qOO’d解：建立如圖坐標系，由Gauss定理可得：x點電荷二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：標量直接求和方法Ⅰ直接積分法方法Ⅱ典型帶電體的電勢電勢疊加原理方法Ⅲ場強積分法（沿電力線積分）熟記電偶極子、均勻帶電圓環(huán)/圓盤、均勻帶電球面/球體，無限長均勻帶電圓柱面/柱體、無限大帶電平面的E、Ｕ分布。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算對于點電荷系：對于連續(xù)帶電體：標量直例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷，測得圖中P、Q兩點（均為相應(yīng)正三角形的中心）的電勢分別為和，若撤去BC棒，則P、Q兩點的電勢各為多少？BPQAC解：根據(jù)對稱性，設(shè)AB、BC、CA三棒對P點的電勢貢獻及AC對Q點的電勢貢獻皆為AB、BC棒對Q點的電勢貢獻皆為撤去BC棒后，應(yīng)有大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算例1、三等長絕緣棒連成正三角形，每根棒上均勻分布等量同號電荷例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二半兩球面上的面電荷密度為σ1與σ2

滿足關(guān)系σ1R1=-σ1R2。(1)試證小球面所對的圓截面S為一等勢面；(2)求等勢面S上的電勢。提示：將兩半球面均補全為閉合球面因上述任一閉合帶電球面內(nèi)為等勢體，則小球面所圍區(qū)域內(nèi)各點電勢為各去掉一半時，由電勢疊加大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算例2、如圖，半徑分別為R1與R2的均勻帶電半球面相對放置，二變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電荷密度為σ，A點的坐標為(0,R/2),B點的坐標為(3R/2,0),如圖所示。則A、B兩點處的電勢差為_________。根據(jù)對稱性BxryAC解：取如圖所示C點(0,3R/2)補上下半球面成為完整球面后再由根據(jù)對稱性大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算變1、在xOy平面上倒扣著一半徑為R的均勻帶電半球面，其面電··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均勻帶電球半徑為R2的均勻帶電球－均勻帶電球體內(nèi)、外的場強：變2．在半徑為R1，體電荷密度為的均勻帶電球體內(nèi)，挖去一個半徑為R2的球體空腔，空腔中心O2與帶電球中心O1間的距離為a，且R1＞a＞R2。求空腔中心處的電勢。均勻帶電球體內(nèi)某點的電勢大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算··O1O2a解：補缺法＋疊加法補：半徑為R2的均例3.如圖，某質(zhì)子加速器使每個質(zhì)子獲得2KeV的動能，很細的質(zhì)子束射向一個遠離加速器、半徑為r的金屬球，從球心到質(zhì)子束延長線的垂直距離d=r/2。假定質(zhì)子與金屬相碰后將其電荷全部交給金屬球，經(jīng)足夠長時間后，金屬球的最高電勢（以無窮遠處的電勢為零）為

。qedr解：當(dāng)金屬球達到最高電勢時，質(zhì)子軌跡剛好與金屬球相切。此時，質(zhì)子與金屬球組成的系統(tǒng)角動量守恒，且機械能守恒。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講二、電勢（電勢能）的計算例3.如圖，某質(zhì)子加速器使每個質(zhì)子獲得2KeV的動能，很細三、靜電平衡問題的計算1、導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)及其特點【靜電平衡狀態(tài)】導(dǎo)體的內(nèi)部和表面都沒有電荷作任何宏觀定向運動的狀態(tài).特點(a)導(dǎo)體內(nèi)部任一點的電場強度都等于零(b)導(dǎo)體表面任一點的場強方向垂直于表面(c)整個導(dǎo)體為一等勢體2、導(dǎo)體在靜電平衡狀態(tài)下的電荷分布(1)凈電荷只能分布于導(dǎo)體的表面上.(2)導(dǎo)體表面任意點的電荷的面密度與該點附近的場強的關(guān)系.(3)孤立帶電導(dǎo)體：電荷面密度與曲率半徑成反比。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算1、導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)及其特點【靜電平3、解決靜電平衡問題的基本依據(jù)1.靜電平衡的條件2.基本性質(zhì)方程3.電荷守恒定律(沒接地時）注：導(dǎo)體接地時，其電勢必為零，但其表面電荷不一定為零大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算3、解決靜電平衡問題的基本依據(jù)1.靜電平衡的條件2.基本性質(zhì)例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很小)，則板上離點電荷最近處的感應(yīng)電荷面密度σ=

。解：因金屬板接地，在背離+q的面上無感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷只分布在面向+q的一面Pd+qσ由靜電平衡條件：其中：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算例1.面積為S的接地金屬板，距板為d處有一點電荷+q(d很變1、帶電導(dǎo)體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導(dǎo)體球表面附近一點，若無限大帶電平面的面電荷密度為，P點附近導(dǎo)體球表面的面電荷密度為，則P點電場強度的大小等于__________。解：導(dǎo)體球達到靜電平衡后，導(dǎo)體球為等勢體，其內(nèi)部場強為零，球表面的電荷形成穩(wěn)定分布O此時，導(dǎo)體外表面附近的電場強度僅由該處電荷面密度決定：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算變1、帶電導(dǎo)體球O和無限大均勻帶電平面如圖放置，P為導(dǎo)體球表q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應(yīng)過程中總電量不變；靜電平衡后，導(dǎo)體球為等勢體。例2、如圖所示，有一半徑為R，帶電量Q的導(dǎo)體球，在距球心O點d1處放置一已知點電荷q1，在距球心d2處再放置一點電荷q2，當(dāng)q2電荷電量為_______時可使導(dǎo)體球電勢為零（以無窮遠處為電勢零點）。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算q2q1d2d1ROQ提示：靜電感應(yīng)過程中總電量不變；例2、電荷守恒:例3空腔導(dǎo)體球殼外有點電荷求：⑴感應(yīng)電荷在O處的⑶空腔接地，求感應(yīng)電荷的總量.已知:⑵腔內(nèi)任一點的解:⑴感應(yīng)電荷在O處的感應(yīng)電荷在O處的電勢:大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算電荷守恒:例3空腔導(dǎo)體球殼外有點電荷求：⑴感應(yīng)電荷在O接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導(dǎo)體為等勢體:腔內(nèi)任一點:⑵求腔內(nèi)任一點的⑶空腔接地，求感應(yīng)電荷的總量大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算接地后，球殼電勢:由電勢疊加原理:導(dǎo)體為等勢體:腔內(nèi)任一點:例4、如圖所示，兩個同心的薄導(dǎo)體球殼均接地，內(nèi)球殼半徑為a，外球殼半徑為b。另有一電量為Q的點電荷置于兩球殼之間，距球心r處，則內(nèi)球上的感應(yīng)電荷q1=

，外球上的感應(yīng)電荷q2=

。解：將兩薄球殼視為一導(dǎo)體組，若不接地，由靜電感應(yīng)，系統(tǒng)將產(chǎn)生+Q感與-Q的感應(yīng)電量，兩者地后，+Q被移入大地。故有aQrb大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講三、靜電平衡問題的計算例4、如圖所示，兩個同心的薄導(dǎo)體球殼均接地，內(nèi)球殼半徑為a，四、電介質(zhì)中靜電場的計算1、電介質(zhì)中的電場強度2、極化電荷面密度:介質(zhì)+真空導(dǎo)體+介質(zhì)3、均勻、線性、各向同性電介質(zhì)中的電極化強度：４、電位移:大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算1、電介質(zhì)中的電場強度2、極化電荷面例1、在電荷面密度為的無限大帶電導(dǎo)體板兩側(cè)分別充以介電常數(shù)與的均勻電介質(zhì)，如圖所示，則導(dǎo)體兩側(cè)電場強度的大小

，

。解：設(shè)加介質(zhì)后導(dǎo)體板兩側(cè)的自由電荷面密度分別為由D的高斯定理，得設(shè)板兩側(cè)界面處的束縛電荷面密度為導(dǎo)體板兩側(cè)均相當(dāng)于均勻無限大帶電平面，為保證導(dǎo)體板內(nèi)E=0，必有故兩側(cè)介質(zhì)中的電場大小相等由(1)、(2)式可得大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算例1、在電荷面密度為的無限大帶電導(dǎo)體板兩側(cè)分別充以介電常數(shù)變1、厚度為d的無限大平板內(nèi)分布有均勻電荷密度()的自由電荷，在板外兩側(cè)分別充有介電常數(shù)為和的電介質(zhì)，如圖。（1）求板內(nèi)外的電場分布；（2）板外的A點和B點分別距左右兩板壁為l，求。提示：由電荷分布的特點可知，在板內(nèi)一定存在一個E=0的平面(MM′)，它距左、右側(cè)面分別為a、b.dllMM′abx板內(nèi)板外AB大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算變1、厚度為d的無限大平板內(nèi)分布有均勻電荷密度(例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分充滿相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)，左半部分空間的正中位置有一帶電小球P,電容器充電后P恰好處于平衡狀態(tài)，斷開電源后將電介質(zhì)快速抽出,不計靜電平衡經(jīng)歷的時間及帶電球P對電容器極板電荷分布的影響，則P將經(jīng)多久后到達某極板。提示：設(shè)小球質(zhì)量為m電量為q，電容器極板面積S,電量為Q抽出電介質(zhì)前P抽出電介質(zhì)后由牛頓第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算例2、板間距為2d的大平行板電容器水平放置，電容器的右半部分變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分充滿相對介電常量為的固態(tài)電介質(zhì)的大平行板電容器相連，設(shè)此時圖中帶電小球P恰好處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)將電介質(zhì)快速抽出,穩(wěn)定后P將經(jīng)t=

后到達某極板。提示：設(shè)小球質(zhì)量為m電量為-q，抽出電介質(zhì)前P+-抽出電介質(zhì)后由牛頓第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算變1、如圖，一直流電源與一水平放置的板間距為2d、其下半部分例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數(shù)為、外徑為2R的均勻電介質(zhì)殼，介質(zhì)內(nèi)均勻地分布著電量為

，的自由電荷，金屬球接地，則介質(zhì)殼的電勢為

。解：金屬球接地，U=0，其上電量設(shè)為q，介質(zhì)殼內(nèi)的場強為介質(zhì)殼外的場強為故介質(zhì)殼外表面的電勢為大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講四、電介質(zhì)中靜電場的計算例3.如圖，半徑為R的金屬球外面包一層相對介電常數(shù)為、外五、電容器及其儲能的計算大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講1、電容器及其電容（1）孤立導(dǎo)體(無窮遠處為電勢零點)（2）雙導(dǎo)體電容器（3）電容器的串并聯(lián)熟記平行板電容器、球形電容器與圓柱形電容器的電容。五、電容器及其儲能的計算大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講1、電容器及其2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續(xù)帶電體的靜電能（自能）U為所有電荷元在dq（非點電荷）所在處激發(fā)的電勢Ui為除qi

以外的所有電荷在qi處產(chǎn)生的電勢（3）電容器的儲能（4）一般靜電場的能量大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算2、靜電場的能量（1）點電荷系的相互作用能（2）連續(xù)帶電體的五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導(dǎo)線單位長度間的電容（導(dǎo)線半徑a，軸線間距離d）解：設(shè)單位長度帶電（導(dǎo)體內(nèi)）（導(dǎo)體間）大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算例1:求兩平行長直導(dǎo)線單位長度間的例2一同軸圓柱形電容器，外導(dǎo)體筒的內(nèi)徑為b，內(nèi)導(dǎo)體筒的外徑可調(diào)，兩筒間充滿了各向同性均勻電介質(zhì)。已知電介質(zhì)的擊穿場強為E0，試求該電容器所能承受的最大電壓

xb解：設(shè)內(nèi)筒的外徑為x，內(nèi)、外筒的電量線密度為λ、-λ,由高斯定理可得內(nèi)、外筒的電勢差為由(1)式知，最大場強（即擊穿場強）為大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算例2一同軸圓柱形電容器，外導(dǎo)體筒的內(nèi)徑為b，內(nèi)導(dǎo)體筒的外徑例3在長為L、內(nèi)芯導(dǎo)線半徑為a、外導(dǎo)體圓筒內(nèi)徑b的的同軸圓柱形電容器中充以相對介電常數(shù)為的固體電介質(zhì)。則(1)若把該電容器與電勢為U的電源相連后，抽出電介質(zhì)一部分，當(dāng)不計邊緣效應(yīng)時，為維持電介質(zhì)拉出的位置不動，需多大的力，方向如何？(2)若與上述電源充電后，斷開電源，則結(jié)果如何。解：同軸圓柱形電容器中充滿電介質(zhì)時的電容為當(dāng)拉出一部分電介質(zhì)時，設(shè)拉出部分長度為x，則電容變?yōu)?1)電介質(zhì)的移動使電容器的儲能發(fā)生變化，為維持兩板間電壓不變，電源必須做功。且電源的功轉(zhuǎn)化為儲能的增量和電力的功方向指向內(nèi)部大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算例3在長為L、內(nèi)芯導(dǎo)線半徑為a、外導(dǎo)體圓筒內(nèi)徑b的的同軸圓當(dāng)拉出一部分電介質(zhì)時，設(shè)拉出部分長度為x，則電容變?yōu)?2)電容器充電后斷開電源，則電量固定。此時，儲能的變化量等于電力的功方向指向內(nèi)部注意：電容器內(nèi)的電場有“吸引”電介質(zhì)的作用！因此，當(dāng)把電容器浸入液體介質(zhì)中時，會使得液體在電容器內(nèi)部上升形成液柱，當(dāng)液柱的重力與上述靜電引力相平衡時，液面不再上升。大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講五、電容器及其儲能的計算當(dāng)拉出一部分電介質(zhì)時，設(shè)拉出部分長度為x，則電容變?yōu)?2)六、有關(guān)電路的計算1、電阻大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講對非均勻截面電阻：2、歐姆定律微分形式的歐姆定律：一段含源電路的歐姆定律：電流方向和電動勢方向與A→B方向一致的取“﹢”,反之，取“-”。3、焦耳-楞次定律的微分形式六、有關(guān)電路的計算1、電阻大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講對非均勻截面六、有關(guān)電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講對電路的“節(jié)點”：IiS節(jié)點(1)基爾霍夫第一定律規(guī)定從節(jié)點流出：

I

>0，流入節(jié)點：I

<0。(2)基爾霍夫第二定律在穩(wěn)恒電路中，沿任何閉合回路一周的電勢降落的代數(shù)和等于零。六、有關(guān)電路的計算4、基爾霍夫第一、第二定律大學(xué)物理競賽培訓(xùn)六、有關(guān)電路的計算5、RC充、放電電路大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講(1)電路似穩(wěn)

(2)Kirchhoff方程仍然適用(3)時間常數(shù)充電：放電：六、有關(guān)電路的計算5、RC充、放電電路大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第1、電阻的計算例1：一電纜的芯線是半徑為

r1的銅線，在銅線外包一層同軸的絕緣層，絕緣層的外徑為r2，電阻率為ρ，在絕緣層外又用鉛層保護起來。當(dāng)電纜在工作時，芯線與鉛層之間存在著徑向漏電電流。試求長為l的這種纜線的徑向漏電電阻。分析：由于漏電電流沿徑向通過不同截面的圓柱，因此絕緣層的電阻可視為無數(shù)圓柱薄層的電阻串聯(lián)而成。解：在此絕緣層沿徑向取半徑為r、厚為dr的薄圓柱層，其電阻為：大學(xué)物理競賽培訓(xùn)第四講六、有關(guān)電路的計算1、電阻的計算例1：一電纜的