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文檔簡介
2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個四棱錐中最最長棱的長度是().A. B. C. D.2.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.403.一輛郵車從地往地運送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時,裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車到達,,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達式為().A. B. C. D.4.大衍數(shù)列,米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論,主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為()A. B. C. D.5.已知,若對任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.7.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體中最長的棱長為().A. B. C.1 D.9.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.10.設(shè),則(
)A.10 B.11 C.12 D.1311.()A. B. C. D.12.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則_________.14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果是______.15.函數(shù)的圖象在處的切線方程為__________.16.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線,從原點O作射線交于點M,點N為射線OM上的點,滿足,記點N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點,求的值.18.(12分)已知滿足,且,求的值及的面積.(從①,②,③這三個條件中選一個,補充到上面問題中,并完成解答.)19.(12分)已知函數(shù)(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)若數(shù)列的前項和,,求證:數(shù)列的前項和.20.(12分)某單位準備購買三臺設(shè)備,型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品,每件易耗品的價格為100元,也可以在設(shè)備使用過程中,隨時單獨購買易耗品,每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺,調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率,各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨立.(1)求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率;(2)以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù),該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品?21.(12分)在中,角,,的對邊分別為,其中,.(1)求角的值;(2)若,,為邊上的任意一點,求的最小值.22.(10分)已知拋物線,過點的直線交拋物線于兩點,坐標原點為,.(1)求拋物線的方程;(2)當以為直徑的圓與軸相切時,求直線的方程.
2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【答案解析】
作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【題目詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個四棱錐中最長棱的長度是.故選.【答案點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2.B【答案解析】
,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【題目詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,考查等差數(shù)列基本量的計算,是一道容易題.3.D【答案解析】
根據(jù)題意,分析該郵車到第站時,一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進而計算可得答案.【題目詳解】解:根據(jù)題意,該郵車到第站時,一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.【答案點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,屬于中檔題.4.B【答案解析】
直接代入檢驗,排除其中三個即可.【題目詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時B也滿足,,,故選:B.【答案點睛】本題考查由數(shù)列的項選擇通項公式,解題時可代入檢驗,利用排除法求解.5.B【答案解析】
構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.6.D【答案解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計算公式計算.【題目詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)模的求法.7.B【答案解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.8.B【答案解析】
首先由三視圖還原幾何體,進一步求出幾何體的棱長.【題目詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長的棱長為.故選:B.【答案點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.9.B【答案解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項.【題目詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當時,;又當時,,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時,,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【答案點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.10.B【答案解析】
根據(jù)題中給出的分段函數(shù),只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值,代入即可求出其值.【題目詳解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故選:B.【答案點睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值,屬于基礎(chǔ)題.11.A【答案解析】
分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【題目詳解】解:,故選:A【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.12.D【答案解析】
模擬程序運行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現(xiàn),由此可得結(jié)論.【題目詳解】;如此循環(huán)下去,當時,,此時不滿足,循環(huán)結(jié)束,輸出的值是4.故選:D.【答案點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時模擬程序運行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結(jié)論.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】
由題意可得,又由于為的中點,且點在軸上,所以可得點的橫坐標,代入拋物線方程中可求點的縱坐標,從而可求出點的坐標,再利用兩點間的距離公式可求得結(jié)果.【題目詳解】解:因為是拋物線的焦點,所以,設(shè)點的坐標為,因為為的中點,而點的橫坐標為0,所以,所以,解得,所以點的坐標為所以,故答案為:【答案點睛】此題考查拋物線的性質(zhì),中點坐標公式,屬于基礎(chǔ)題.14.1【答案解析】
該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,分析循環(huán)中各變量值的變化情況,可得答案.【題目詳解】模擬程序的運行,可得:,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,,此時滿足條件,退出循環(huán),輸出的值為1.故答案為:1.【答案點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用問題,解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結(jié)論,屬于基礎(chǔ)題.15.【答案解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,對求導(dǎo)后在計算在處導(dǎo)函數(shù)的值,再利用點斜式列出方程化簡即可.【題目詳解】,則切線的斜率為.又,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即.故答案為:【答案點睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點處的切線方程問題,需要注意求導(dǎo)法則與計算,屬于基礎(chǔ)題.16.6【答案解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)(t為參數(shù)),;(Ⅱ)1.【答案解析】
(Ⅰ)直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程,設(shè)N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),由題意可得,即ρ=4cosθ,然后化為普通方程;(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得到關(guān)于t的一元二次方程,再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值.【題目詳解】(Ⅰ)直線l1的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))即(t為參數(shù)).設(shè)N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),則,即,即ρ=4cosθ,∴曲線C的直角坐標方程為x2-4x+y2=0(x≠0).(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程中,得,即,t1,t2為方程的兩個根,∴t1t2=-1,∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1.【答案點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程,考查直角坐標方程與直角坐標方程的互化,訓(xùn)練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.18.見解析【答案解析】
選擇①時:,,計算,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案;選擇②時,,,故,為鈍角,故無解;選擇③時,,根據(jù)正弦定理解得,,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案.【題目詳解】選擇①時:,,故.根據(jù)正弦定理:,故,故.選擇②時,,,故,為鈍角,故無解.選擇③時,,根據(jù)正弦定理:,故,解得,.根據(jù)正弦定理:,故,故.【答案點睛】本題考查了三角恒等變換,正弦定理,面積公式,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【答案解析】試題分析:將,求出切線方程求導(dǎo)后討論當時和時的單調(diào)性證明,求出實數(shù)的取值范圍先求出、的通項公式,利用當時,得,下面證明:解析:(Ⅰ)因為,所以,,切點為.由,所以,所以曲線在處的切線方程為,即(Ⅱ)由,令,則(當且僅當取等號).故在上為增函數(shù).①當時,,故在上為增函數(shù),所以恒成立,故符合題意;②當時,由于,,根據(jù)零點存在定理,必存在,使得,由于在上為增函數(shù),故當時,,故在上為減函數(shù),所以當時,,故在上不恒成立,所以不符合題意.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為(III)證明:由由(Ⅱ)知當時,,故當時,,故,故.下面證明:因為而,所以,,即:點睛:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立,借助第二問的證明過程,利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式,在求解的過程中還要求出數(shù)列的和,計算較為復(fù)雜,本題屬于難題.20.(1)(2)應(yīng)該購買21件易耗品【答案解析】
(1)由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【題目詳解】(1)由題中的表格可知A型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為;B型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為;C型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為;設(shè)該單位一個月中三臺設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購買設(shè)備的同時購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買設(shè)備的同時購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購買設(shè)備時應(yīng)該購買21件易耗品【答案點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.21.(1);(2).【答案解析】
(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式,化簡即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得,在中結(jié)合正弦定理求出,從而得出,即可得出的解析式,最后結(jié)合斜率的幾何意義,
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