2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題 正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì) 講義 （解析版）

第Page\*MergeFormat16頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)一、正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)：1．定義域：2．值域：①②二次函數(shù)求最值方法：注意三個關(guān)鍵點。①先看開口方向；②再找對稱軸位置（）；③再看所在區(qū)間。題型：求三角函數(shù)值域和最值：1．化為二次函數(shù)求值域和最值。（★★）規(guī)律：對于“非齊次式”，要化為二次函數(shù)求最值。例1．求最大值。分析：本題要化為二次函數(shù)求最值，開口向下，對稱軸為，所在區(qū)間為，故在處取得最大值，在處取得最小值。解：故當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)時，取得最小值。例2．求最值。例3．求，求值域。2．求一般形式的值域和最值。①求一般形式在R上的最值及相應(yīng)的x的集合?！铩铩镆话阈问交虻难芯浚浩浔举|(zhì)是一個兩層復(fù)合函數(shù)。必須從四個層次來把握一般形式的值或范圍：例1．求下列函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x的集合。（1）（2）分析：當(dāng)遇到與類型的三角函數(shù)時，需要用到“整體思維”。即把看成一個整體。規(guī)律：要從整體出發(fā)，“下求，上求”。解：（1）當(dāng)，即時，取最大值3。故使取最大值時的x的集合為：。（2）分析：，故當(dāng)時，取到最大值2，則整體。解答如下：當(dāng)時，取最大值2。故使取最大值時的x的集合為：。②求一般形式在部分區(qū)間上的值域和最值及相應(yīng)的x的值。（★★★★★）例1．，求f(x)最值及相應(yīng)x的值。解：兩步四行當(dāng)，f(x)取得最大值1。當(dāng)，f(x)取得最小值。三步六行歸納：這種思路為“對整體進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析”。過程：必須從四個層次來把握一般形式的值或范圍：例2．已知函數(shù)，當(dāng)，f(x)的最小值是-2，最大值是，求實數(shù)a,b的值。解：因f(x)的最小值是-2，最大值是，求實數(shù)a,b的值。。圖象分析法：練1：，求的最大值與最小值及相應(yīng)的值。練2.，求的最大值與最小值及相應(yīng)的值。3．周期性：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，則稱為周期函數(shù)，T稱為的周期。注意：指的是自變量本身加T。因，因，故均為與的周期，我們?nèi)∽钚〉恼龜?shù)作為與周期的代表，稱之為最小正周期。即與的最小正周期為。以后指的周期都是指最小正周期。例1．求下列函數(shù)的周期：（1）（2）（3）（4）分析：可以根據(jù)、最小正周期為，化成形式，求T。解：（2）因周期為。（3）因（4）因一般形式：故與的周期性研究：規(guī)律：周期減半4．單調(diào)性：注意：單調(diào)區(qū)間是定義域的一個子集，是x本身的范圍。題型：求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間。1．求R上的單調(diào)區(qū)間。（★★）例1．求單調(diào)區(qū)間：（1）（2）（3）解：（1）當(dāng)，即，時，單調(diào)遞增；當(dāng)，時，單調(diào)遞減。故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。（2）當(dāng)，時，單調(diào)遞增；當(dāng)，時，單調(diào)遞減。故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。注意：要保證x的系數(shù)永遠(yuǎn)為正。（3）★★當(dāng)，時，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，單調(diào)遞增。故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。2．求部分區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間。（★★★★★）例1．求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與遞減區(qū)間。解：（方法一：“由大到小”，即先求出全部的增減區(qū)間，再與取交集）當(dāng)，時，單調(diào)遞增；當(dāng)，時，單調(diào)遞減。又的增區(qū)間為；減區(qū)間為：。解：（方法二：整體思維，從整體出發(fā)，“三步走”的方法）整體圖象當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減。故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。歸納：這種思路為“對整體進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析”。過程：兩種思路的比較：一般來說，用“三步走”的方法較為簡單。例1。，則下列區(qū)間哪個是的單調(diào)增區(qū)間：（）A。B。C。D。，故A錯誤。例2.求的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間。5．奇偶性與對稱性：因故余弦函數(shù)的圖象可由正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位得到。而對稱軸與對稱中心的間隔正好為，故正弦、余弦函數(shù)的對稱軸與對稱中心互換。規(guī)律總結(jié)：正弦、余弦函數(shù)圖象的對稱軸與對稱中心互換。題型：對稱性的應(yīng)用。1.對稱軸方程與對稱中心坐標(biāo)：（★★★★）對于一般形式的三角函數(shù)，即或，可以從兩個角度把握對稱軸方程與對稱中心坐標(biāo)。①對稱軸方程對稱中心坐標(biāo)方法一般結(jié)論法代入法②對稱軸方程對稱中心坐標(biāo)方法一般結(jié)論法代入法例1．函數(shù)圖象的一個對稱中心是（）ABCD解析：本題有兩種方法：①利用一般結(jié)論；即：，故一個對稱中心為；②代入法：各選項代入，利用對稱中心出現(xiàn)在中間點處判斷，即：，故一個對稱中心為。例2．函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是（）ABCD解析：本題有兩種方法：①利用一般結(jié)論；即：，故一條對稱軸方程是；②代入法：各選項代入，利用對稱軸出現(xiàn)在最值處判斷，即：，故一條對稱軸方程是。2．是奇函數(shù)或偶函數(shù)求的取值問題。（★★★★）例。故本來是奇函數(shù)，但在變?yōu)橐话阈问綍r，奇偶性可能會變?yōu)椋浩婧瘮?shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)三種可能。則是奇函數(shù)或偶函數(shù)時的取值規(guī)律如下：。解釋：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)。根據(jù)誘導(dǎo)公式的規(guī)律“奇變偶不變，符號看象限”，若為奇函數(shù)，說明正弦依然是正弦，函數(shù)名不變，故；若為偶函數(shù)，說明正弦變成了余弦，函數(shù)名改變，故。同理。例1．函數(shù)是奇函數(shù)，則（）ABCD解析：由題意得：，。例2．圖象關(guān)于y軸對稱，則最小正值為（）ABCD解析：由題意得：，故最小正值為。例3．函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個取值為（）ABCD解析：由題意得：，故的一個取值為。練1。函數(shù)的最小正周期為，若其圖象向