十章SECTION廣義傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)

2bbb§廣義傅立級(jí)數(shù)與傅葉-貝塞耳數(shù)2bbb、如果連續(xù)函數(shù)系(x),1

(x),2

(x),n

（1）在某區(qū)[b]上正交，又如果函數(shù)f(x)在[]上絕對(duì)可積，那末以

fx)(x)dx)

(

)為系數(shù)的級(jí)數(shù)

(xn稱為函數(shù)f(x于正交函數(shù)系(1)的廣義傅立葉級(jí)數(shù)，作f)～(x)nnna(n)稱為f()關(guān)于正交函數(shù)系()的傅立葉系數(shù).不妨設(shè)(1)是標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系，即滿足

ba

n

()那末ax)xna這時(shí)，關(guān)于，有貝塞耳不等式n

()k

a

2k

a

[f(x)]

2

dx(f(x)是平方可積函數(shù))如果對(duì)于任意的平方可積函數(shù)，封閉性方程2()]xkak成立，就稱這時(shí)的正交函數(shù)系).n、葉[立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)]1

設(shè)1

,,2

,是貝塞耳函數(shù)J(x)(（見第十二章）的正根，那末函數(shù)系nJ

p

xxx12pn在[1]上按權(quán)x交，即1/3

oooooooo

10

(J()pmn

2p

(

(mn)(2對(duì)于一切在[1]上絕對(duì)可積的函數(shù)fx)，可作的傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)f()～(nn

x)n式中

)Jxn(x)x

)

()J(x

(1,2,

)c(稱為函數(shù)f()的傅立葉-貝塞耳數(shù)n3如果f()[0,1]上除有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外處處連并且逐段可微，那末當(dāng)10x時(shí)，它的傅立葉耳級(jí)數(shù)收斂，在連續(xù)點(diǎn)處，級(jí)數(shù)和等于fx)，在間斷2點(diǎn)處，級(jí)數(shù)和等于

f(x0)(x2

；如果f()在[01]絕對(duì)可積在區(qū)間[]a上連續(xù)并且有絕對(duì)可積的導(dǎo)數(shù)，1那末它的傅立葉—貝塞耳級(jí)數(shù)在每一區(qū)[a一致收斂；2如果f()在[01]絕對(duì)可積，在區(qū)間[a上連續(xù)并且有絕對(duì)可積的導(dǎo)數(shù)，同1時(shí)f那末它的傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)(p)在每一區(qū)[a上致收斂.2[二類傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)]1設(shè)1

,,2

,是n

p

HJp

（H是常數(shù)）的正根，那末，當(dāng)，函數(shù)系J(p

x),J(1

x(2p

x),n在[1]上按權(quán)x交.如果fx)[0，1]上絕對(duì)可積，那末它關(guān)于上面正交系的廣義傅立葉級(jí)數(shù)稱為fx)的第二類傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)，即f(x～J(nn

xn式中

(J(x)n(dxn

n

[

n)]22)()pn

10

(x()dxp

(n1,2,

)2如果函數(shù)fx)在[0,1]上逐段可微（至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)末它的第二類1傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)(p,)在<1上收斂，并在連續(xù)點(diǎn)處等于fx)在間斷點(diǎn)處等22/3

lll[J()]plll[J()]p)J()于

f((2

；如果函數(shù)fx)在[0，1]上連續(xù)，兩次可微（除有限個(gè)點(diǎn)外且ff'=0,fHf0,

f"(

有界，那末它的第二類傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)當(dāng)p，在每個(gè)區(qū)間[(0<上絕對(duì)且一致收斂；又當(dāng)，在整個(gè)區(qū)間[，1]上絕對(duì)且一致收.[間[,l上的傅立葉貝塞耳級(jí)數(shù)]設(shè)fx)[0l上絕對(duì)可積，那末它的傅立葉貝塞耳級(jí)數(shù)是式中

cn

l

22J2p

(

)n

f()～J(nn(x)(xdp0

x)

(n)對(duì)于第二類傅立葉-貝塞耳級(jí)數(shù)，

l

222n

l

xf(x