疊加定理定理最大傳輸量

疊加定理替代定理戴維南定理和諾頓定理根定理互易定理對(duì)偶原理第四章電路定理4-1疊加定理定理內(nèi)容：

性電路中，任一支路的電流(或電壓)可以看成是電路中每一個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用于電路時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。所謂獨(dú)立作用，指某一獨(dú)立源作用時(shí)，其他獨(dú)立源不作用(即置零)，即電流源相當(dāng)于開路，電壓源相當(dāng)于短路。單獨(dú)作用：不作用一個(gè)電源作用，其余電源不作用電壓源（us=0)

短路電流源

(is=0)

開路舉例說明：求所給電路中的i2。1節(jié)點(diǎn)1s221RR

R(

1

us

1

)u

i定理內(nèi)容：由線性電阻、線性受控源及獨(dú)立電源組成的電路中，每一元件的電流或電壓可以看成是每一個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用于電路時(shí)，在該元件上產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。4-1疊加定理1s221RR

R(

1

us

1

)u

i2s222R11i

R

R

s

iR

R

R

u

u21=H11=H2電路體現(xiàn)出一種可疊加性。i2

H1us

H2is4-1疊加定理4-1

疊加定理使用疊加定理分析電路的優(yōu)點(diǎn)：疊加性是線性電路的根本屬性。疊加方法是分析電路的一大基本方法。通過它，可將電路復(fù)雜激勵(lì)的問題轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的單一激勵(lì)問題，簡(jiǎn)化響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系。例4-1：電路，求電壓u3

的值。R12Ru310i14i1

6

siusi24A10V4-1

疊加定理解：這是一個(gè)含有受控源的電路，用疊加定理求解該題。對(duì)于電壓

u3可以看作獨(dú)立電壓源和電流源共同作用下的響應(yīng)。令電壓源和電流源分別作用，但電路中受控源要保留，不能作為獨(dú)立源進(jìn)行分解。分解后的電路如圖（a）、（b）所示，則電壓u3

u34-1

疊加定理R1R2us1i2i10i1R1R2i12iu310i1

iS(a)電壓源單獨(dú)作用(b)

電流源單獨(dú)作用4-1

疊加定理1R2Ru310i14i1

6

siusi24A10V=u3

+u3

u34+6對(duì)于（a）圖：

i'

i'1

2

10

1A31 2u'

10i'

4i'

6V∴16+4對(duì)于（b）圖：i-4

4

1.6A266+4i

4

2.4A根據(jù)KVL,有：u3

10i1

4i2

25.6V根據(jù)疊加定理，得3

33

u

u

u

6

25.6

19.6V4-1

疊加定理求：①is1

3A

is2

1②若網(wǎng)絡(luò)N含有一電壓源us,us單獨(dú)作用s1求i

8A

is2

12A時(shí)ux

？4-1

疊加定理例4-2：

的線性電阻網(wǎng)絡(luò)N，當(dāng)is1

10A，is2

14A時(shí)，ux

100Vis1

10A，is2

10A時(shí)，ux

20VNxs1is

2i

時(shí)，ux

20V，其他數(shù)據(jù)仍有效，

＋u

－Ns1is

2i

＋

ux

－性，設(shè)k1is1

k2

s21其中

k

，為兩個(gè)未知的比例系數(shù)。利用已知的條件，可知：10k1

14k2

100

k1

310k

10k

20

k

5

1

2

24-1

疊加定理解：電路有兩個(gè)獨(dú)立源激勵(lì)，依據(jù)電路的疊加當(dāng)iS1

3A,iS

2

12A時(shí)ux

3iS1

5iS

2

69V'

'1

2kk

，1k

，與第一問中的值是不一樣的。由已知條件得：is1

is2

0,ux

20V,10k'

14k'

k'

u

1001 2 3 s10k'

10k'

k'

u

201 2 3 s①②③4-1

疊加定理網(wǎng)絡(luò)N含有一電壓源us，則：k

'i

k

'

i

k

'

u

u1

s1 2

s

2

3

s

x要注意，由于電路結(jié)構(gòu)不同，這里的系數(shù)3

s又已知其他數(shù)據(jù)仍有效，即：k

'

u

20聯(lián)立①②③式得：'1'k

3.33k

3.33

2s2所以，is1

8A時(shí)，有：s1

s

2

3

su

3.33i

3.33i

k

'

u

3.33is1

3.33is

2

20

88.67V4-1

疊加定理疊加定理的

：疊加定理只適用于線性電路；由于受控源不代表外界對(duì)電路的激勵(lì)，所以做疊加處理時(shí)，受控源及電路的連接關(guān)系都要應(yīng)保持不變；疊加是代數(shù)相加，要注意電流和電壓的參考方向；由于功率不是電流或者電壓的一次函數(shù)，所以功率不能疊加。當(dāng)電路中含有多個(gè)獨(dú)立源時(shí)，可將其分解為適當(dāng)?shù)膸捉M，分別按組計(jì)算所求電流或者電壓，然后再進(jìn)行疊加。4-2

替代定理定理內(nèi)容：在有唯一解的任意線性或者非線性網(wǎng)絡(luò)中，若某一支路的電壓為uk

、電流為ik

，那么這條支路就可以用一個(gè)電壓等于uk的獨(dú)立電壓源，或者用一個(gè)電流等于ik

的獨(dú)立電流源，替代后電路的整個(gè)（其他各支路）電壓、電流值保持不變。U

1.5V，其中，R1R2us例4-3：已知電路試用替代定理求U1

。U

R3

34R

2U1

R5

24-2

替代定理解：設(shè)R3支路以左的網(wǎng)絡(luò)為N。因?yàn)橐阎猂3支路的電壓及電阻，所以流過R3

的電流為：U

1.5

0.5AR3

3將R3支路用電流源代替，

。則替代后各支路電壓電流值不變。由此可以得到：12U

0.5

2

0.5VNU1220.5A4-2

替代定理例4-4：在圖所示電路中，已知N2

的VCR為u

i

2

，利用替代定理求

i1

的大小。N257.5u15V1i

1i14-2

替代定理。其VCR表達(dá)式為：解：假設(shè)11

左端電路為N1，則

N1

的最簡(jiǎn)3u2

Ai等效電路形式u

3i

6端口電壓變量u和電流變量i應(yīng)該同時(shí)滿足N1

N2的VCR，因此有：u

i

2

u

3V

u

3i

6

i

1A4-2

替代定理15V7.553Vi115i

3

A4-2

替代定理根據(jù)題意，以u(píng)s

3V的電壓源替代

N2。求得：定理適用于線性和非線性網(wǎng)絡(luò)，電路在替代前后要有“唯一解”。被替代的特定支路或端口與電路其他部分應(yīng)無耦合關(guān)系或者控制與被控制的關(guān)系。因此，當(dāng)電路中含有受控源時(shí)應(yīng)保證其控制支路或被控制支路不能存在于被替代的電路部分中。替代不是等效，希望區(qū)分清楚。替代定理

：4-3

戴維南定理和諾頓定理在電路分析中，常常需要研究某一支路的電流、電壓或功率是多少，對(duì)該支路而言，電路的其余部分可看成是一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)，該有源二端網(wǎng)絡(luò)可等效為較簡(jiǎn)單的電壓源與電阻串聯(lián)或電流源與電阻并聯(lián)支路，以達(dá)到計(jì)算和分析簡(jiǎn)化的目的。戴維南定理和諾頓定理給出了這種等效的方法。這兩個(gè)定理非常重要，是電路分析計(jì)算的有力工具。一、戴維南定理任何線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N，就其外特性而言，可以用一個(gè)電壓源與電阻的串聯(lián)支路等效置換，。Nuabi

uabRequoci4-3

戴維南定理和諾頓定理N0Req(a)(b)Nuoc電壓

u

，如圖(a)所示；oc串聯(lián)電阻值等于有源二端網(wǎng)絡(luò)所有獨(dú)立源不作用時(shí)對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)N

在輸0出端求得的等效輸入電阻Req，如圖(b)所示。這樣的等效電路稱為戴維南等效電路。4-3

戴維南定理和諾頓定理其中，電壓源的電壓值為該有源二端網(wǎng)絡(luò)N的開路例4-5：求圖示電路中電流

I

的大小。40K

10K10V4K20VabI解：將電流I流過的ab支路作為外電路，將ab端以左的電路用戴維南定理等效。先求ab端的開路電壓uoc

，如圖

(a)所示：4-3

戴維南定理和諾頓定理40K10K20Vabuoc10Vuoc40K

10Kab(b)

例題4-5等效電阻求解圖eqR4-3

戴維南定理和諾頓定理(a)

例題4-5開路電壓求解圖容易求得：

uoc

18V用戴維南等效電路置換原ab端以左的電路部分，如圖所示。得：ocu12VI8k4kb4-3

戴維南定理和諾頓定理再求Req

：將獨(dú)立電壓源短路，則ab端以左僅為兩電阻的并聯(lián)，如圖(b)所示，則：Req

40KΩ

/a18

1.5mA4

8I

二、諾頓定理任何線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N，對(duì)其外特性而言，都可以用一個(gè)電流源與電阻的并聯(lián)支路來代替。其中電流源電流值為有源二端網(wǎng)絡(luò)輸出端的短路電流

isc

，并聯(lián)電阻值為該有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有獨(dú)立源置零后對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)

N0在輸出端求得的等效輸入電阻

Req

。4-3

戴維南定理和諾頓定理Nuabi

ubiscReq

i

a諾頓定理示意圖4-3

戴維南定理和諾頓定理諾頓定理是戴維南定理的推論，與戴維南定理互為對(duì)偶定理。uRuoc

isc

Reqi

oceq

sc應(yīng)用戴維南和諾頓定理應(yīng)注意：戴維南和諾頓定理只適用線性電路；戴維南等效電路與諾頓電路可以互相轉(zhuǎn)換，

。轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)根據(jù)等效原則，即端口處的VCR要相同。等效變換關(guān)系見式（a）。其中應(yīng)特別注意開路電uoc壓

參考極性和短路電is流c參考方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系；式（a）4-3

戴維南定理和諾頓定理sc

iiReq

uiuocRequ戴維南電路與諾頓電路等效變換圖(3)當(dāng)網(wǎng)絡(luò)

含有受控源時(shí)，控制電路與受控源必須包含在被化簡(jiǎn)的同一部分電路中。即該有源二端網(wǎng)絡(luò)與外電路不能有耦合關(guān)系；(4)若求得N的等效電阻

Req

則戴維南等效電路不存在；若Req

0，則諾頓等效電路不存在。4-3

戴維南定理和諾頓定理T

等效變換關(guān)系直接計(jì)算

Req

。三、等效內(nèi)阻

Req

的計(jì)算網(wǎng)絡(luò)不含受控源：當(dāng)有源二端網(wǎng)絡(luò)N

獨(dú)立源置零后，若網(wǎng)絡(luò)

全是電阻元件而不含有受控源，可以直接利用前面章節(jié)中介紹的電阻串并聯(lián)及4-3

戴維南定理和諾頓定理置零，受控源保持不變。然后對(duì)除源網(wǎng)絡(luò)（記為N

）外加0一電壓源u。設(shè)在該電壓源作用下其端口電流為i，如圖所示，則等效輸入電阻定義為：eqRi

uiuN0加壓法求等效電阻示意圖網(wǎng)絡(luò)含有受控源：1.外加電壓法先將網(wǎng)絡(luò)N

所有獨(dú)立電源4-3

戴維南定理和諾頓定理i1K

1K10V例4-6：求圖所示電路中ab端的戴維南等效電路。0.5iab4-3

戴維南定理和諾頓定理解：先求開路電壓uoc因?yàn)轭}圖電路為開路狀態(tài)，端口電流為零，所以開路電壓即為電壓源電壓，有uoc

10V再求等效電阻

Req。因含有受控源，用外加電壓法。4-3

戴維南定理和諾頓定理將10V電壓源作短路處理。受控電流源與電阻的并聯(lián)電路可等效為受控電壓源與電阻的串聯(lián)形式。這樣變換可使計(jì)算簡(jiǎn)單。在ab端施加一個(gè)電壓為u的電壓源，在該電壓源作用下，端電流為i，1K1K500i。aubi4-3

戴維南定理和諾頓定理ba10V1500列寫KVL方程，有：u

500i

2000i

1500ieqiR

u

1500∴戴維南等效電路圖ab端的等效戴維南電路。4-3

戴維南定理和諾頓定理eqscRi

uoc短路電流

isc，

。則：ocNuababNisc開路電壓短路電流法示意圖應(yīng)該特別注意開路電壓參考極性與短路電流參考方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意與外加電壓法求解的區(qū)別。4-3

戴維南定理和諾頓定理2.開路電壓短路電流法對(duì)于某線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N，若分別將其開路和短路，可求得兩種情況下的開路電壓uoc

與例4-7：求圖所示電路中的電壓u12214ii112V20Vabu1

1解：將ab端以左的電路用戴維南定理等效。4-3

戴維南定理和諾頓定理24i112Vab2

uocli，列寫回路l的i1先求開路電壓uoc

，方程。有：2i

2(i1

4i1)

12

2i11i

1Auoc

25i1

10V4-3

戴維南定理和諾頓定理isc224i112Vabiisc再求短路電流

。。因?yàn)?電阻被短路，所以電流i為零。列寫KVL方程，有：i112

2i1i1

6Asci

i1

4i1

5i1

30A根據(jù)開路電壓短路電流法有：eqscRi

30

3

uoc

10

1

4-3

戴維南定理和諾頓定理戴維南等效電路

，由此易求得：304Vu1

eqRuoc120Vi1a

ub1也可以用外加電壓源法求例4-7的戴維南等效電路，求解過程請(qǐng)同學(xué)自行練習(xí)，此處從略。4-3

戴維南定理和諾頓定理例4-8：求圖中ab端的戴維南等效電路。i02237A103uu02i0

ab解：為簡(jiǎn)化分析，先對(duì)電路進(jìn)行必要的等效變換，如下圖所示。注意圖中對(duì)應(yīng)u0

位置的變化。4-3

戴維南定理和諾頓定理0i2237V1u09u0uocab2i0i4-3

戴維南定理和諾頓定理先求開路電壓

uoci0

00i(2

310u

35

V3

3i

56

Auoc

9u0

3i

49V列回路KVL方程，有：又

u0

7解得：所以有4-3

戴維南定理和諾頓定理Req。uoc已經(jīng)is即c可。電路本題用開路電壓短路電流法求得到，則只要求出短路電流。0i2

237V1u09u0ab2i0iiscim1m

2i4-3

戴維南定理和諾頓定理349Vab用網(wǎng)孔電流法求解。方程如下：6i1

3i2

2i0

9u0

7i0

i2eqsci

uoc3

33i1

5i2

9u0約束方程為：u049解得：

i2

isc

A所以：R戴維南等效電路。例4-8化簡(jiǎn)電路4-3

戴維南定理和諾頓定理4-4

根定理根定理也是電路理論中的一個(gè)重要定理。與KVL和KCL一樣，它屬于電路的拓?fù)浼s束，即根定理要求不

路要具有相同的連接形式，至于構(gòu)成電路的具體元件則對(duì)定理的結(jié)論沒有影響。根定理有兩種表達(dá)形式。根定理I：具有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的任意集數(shù)網(wǎng)絡(luò)N，在任意瞬間t，各支路電壓與其支路電流乘積的代數(shù)和恒為零，即：bk

1

0ukik該定理對(duì)任何集

數(shù)電路都適用，它實(shí)質(zhì)上是功率守恒的體現(xiàn)，說明各支路吸收的功率代數(shù)和為零，因此該定理也稱為功率守恒定理。4-4

根定理1i1

...

ib

,

ib

,

u1

...

ub；i1

...根定理II：若兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)N

和N由不同元件構(gòu)成，但是它們有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。設(shè)各支路電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向，分別表示為：則在任意時(shí)間t，有：b

bk

kk

1u?k

ikk

1

u

i?

04-4根定理由定理II可以看到，它表示不

路的對(duì)應(yīng)支路電壓與電流所應(yīng)遵循的數(shù)值約束關(guān)系。這兩種乘積都有功率的量綱，但并不是實(shí)際支路的功率，因此

也稱定理II為擬功率守恒定理。根定理II比I更為重要，它將不同網(wǎng)絡(luò)的支路電壓和電流以數(shù)值形式結(jié)合了起來，因此應(yīng)用更廣泛。4-4

根定理注意：若支路電壓，電流不是關(guān)聯(lián)方向，則相應(yīng)電流和電壓的乘積項(xiàng)符號(hào)的正負(fù)要改變。不

路所對(duì)應(yīng)的支路電流和電壓參考方向和參考極性的取法應(yīng)該嚴(yán)格保持一致。4-4根定理例4-9：電路如題圖所示，N0為純電阻電路，不含獨(dú)立源和受控源。已知兩次測(cè)量值為：1R2

2K,R?2

1K,u1

4V,

i1

2mA,

u2

2Vu?1

6V,

i?

4mA①②求：

第二次的電壓

u?2

的值。1uN0R2

i11u2

u?N0?2u?R2

1i2

i?2i?(a)(b)4-4

根定理解：雖然前后兩次測(cè)量所用的電路參數(shù)有所改變，但是電路的結(jié)構(gòu)卻完全相同，因此可以用根定理將兩個(gè)電路聯(lián)系在一起。設(shè)網(wǎng)絡(luò)N0有b條支路，則由

根定理II，得：b

b1

1 2

2

k

k

1

1 2

2

k

ku

i?

u

i?

u

i?

0

u?

i

u?

i

u?

i其中，因?yàn)镹0

外部的電壓源和電阻上電流和電壓取非關(guān)聯(lián)方向，所以①式中方程左右前兩項(xiàng)前面符號(hào)取負(fù)。①4-4

根定理②uk

i?

i

Ri?

i

(i?

R)

i

u?k

k

k

k

k

k

k將式②代入式①，則有：u1

i?

u

i?

u?

i

u?

i1 2

2 1

1 2

2③4-4

根定理又因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)為線性電阻網(wǎng)絡(luò)，所以其包含b條支路的電流、電壓應(yīng)滿足歐姆定律。設(shè)電流、電壓都取關(guān)聯(lián)方

于每條支路，應(yīng)有：22i2

R將其代入③式并代入已知數(shù)據(jù)，有：14

4

2

u?2

6

2

u?

2

2

2

u?2

4V4-4

根定理由題圖，應(yīng)有4-5

互易定理互易特性是線性網(wǎng)絡(luò)的重要性質(zhì)之一。

網(wǎng)絡(luò)在輸入端（激勵(lì)）與輸出端（響應(yīng)）互換位置后，若同一激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)不變,則網(wǎng)絡(luò)是具有互易性的網(wǎng)絡(luò)，稱為互易網(wǎng)絡(luò)?；ヒ锥ɡ硎菍?duì)網(wǎng)絡(luò)這種性質(zhì)的概括?；ヒ锥ɡ砉灿腥N表達(dá)形式：11

2?i

i互易定理形式I：如圖(a)所示,不含有獨(dú)立源和受控源的線性網(wǎng)絡(luò)N0

中，在

11

端接入電壓源

us，設(shè)22端的短路電流

i2

為唯一激勵(lì)

us

產(chǎn)生的響應(yīng)。若將電壓源移動(dòng)至支路22，如圖(b)所示，設(shè)支路11產(chǎn)生的響應(yīng)為短路電流

i?

，則有4-5

互易定理N0u2i1i222'1'suN021i?2

i?2'1'us1

1u?1(a)(b)N0u2i1i222'1'su1N021i?2

i?2'1'us1u?1(a)(b)互易定理形式I示意圖4-5

互易定理u?1

u2線性網(wǎng)絡(luò)

N0中，在11

端接入電流源

i，s

設(shè)22端的開路電壓u2為唯一激勵(lì)

is

產(chǎn)生的響應(yīng)。若將電流源移動(dòng)至支路2，2

如圖

(b)所示，設(shè)支路11產(chǎn)生的響應(yīng)為開路電壓u?1

，則有4-5

互易定理互易定理形式II：如圖

(a)所示的不含有獨(dú)立源和受控源的N0u22'1'is1

2N0u?12'1'1

2is(a)(b)N0u222'1'is1N0u?122'1'1is(a)(b)互易定理形式II示意圖4-5

互易定理互易定理形式Ⅲ：如圖(b)所示，而且在數(shù)值上有設(shè)支路

11

產(chǎn)生的響應(yīng)為開路電壓

u?1

，則在數(shù)值關(guān)系上有

u?1

i2如圖(a)所示的不含有獨(dú)立源和受控源的線性網(wǎng)絡(luò)

N0

中，在11

端接入電流源

i，s

設(shè)22端的短路電流i2

為唯一激勵(lì)is

產(chǎn)生的響應(yīng)。若將電流源

is

換成電壓源

us

移動(dòng)至支路22is

，4-5

互易定理isN0u?122'1'1usN02i22'1'1(a)(b)isN0u?122'1'1usN02i22'1'1(a)(b)互易定理形式III示意圖4-5

互易定理4-5

互易定理注意：互易前后應(yīng)保持網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變，僅理想電源與某支路互易；互易定理不適用于含受控源的網(wǎng)絡(luò)?；ヒ浊昂蠹?lì)與響應(yīng)的參考方向和極性要保持一致;(4)互易定理可以與電路齊次特性結(jié)合使用：若互易后激勵(lì)為原來激勵(lì)的k倍，則互易后

的響應(yīng)也為原來響應(yīng)的k倍；（5）若網(wǎng)絡(luò)含有多個(gè)獨(dú)立電源時(shí)，分別考慮電源的單獨(dú)作用，再配合疊加定理求出總響應(yīng)。4-5

互易定理4-6

對(duì)偶原理回顧前面所學(xué)的內(nèi)容，容易發(fā)現(xiàn)某些電路結(jié)構(gòu)、變量、元件分析方法和定理等都具有明顯的類比性質(zhì)。例如，對(duì)于圖示電阻元件在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，VCR的約束可表達(dá)為下面兩個(gè)公式：i

u

R(G)i

uGu

iR

①②i

u

,

R

G在①式中，若將u

i,