九年級數(shù)學周末培優(yōu)9有答案解析

九年級數(shù)學組 編號：周末培優(yōu)09九年級數(shù)學組 編號：周末培優(yōu)09九年級數(shù)學周末培優(yōu)9班級姓名學號.如圖，拋物線y=x2-2mx+3m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0,-3),(1)求該拋物線的解析式；(2)若點E為線段OC上一動點，試求AE—EC的最小值；(3)點D是y軸左側(cè)的拋物線上一動點，連接 AC,當/DAB=/ACO時，求點D的坐.如圖1,拋物線y=ax2+(a+2)x+2(aw0)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點P(m,0)(0vmv4),過點P作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點M.(1)求a的值；(2)若PN:MN=1:3,求m的值；(3)如圖2,在(2)的條件下，設(shè)動點P對應(yīng)的位置是Pi,將線段OPi繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OP2,旋轉(zhuǎn)角為“(0°Va<90°),連接AP2、BP2,求AP2-BP2的最小值..如圖，點O在線段AB上，AO=2OB=2a,/BOP=60°，點C是射線OP上的一個動與八、、?(1)如圖①，當/ACB=90°,OC=2,求a的值；(2)如圖②，當AC=AB時，求OC的長(用含a的代數(shù)式表示)；(3)在第(2)題的條件下，過點A作AQ//BC,并使/QOC=/B,求AQ:OQ的值.九年級數(shù)學周末培優(yōu) 9班級姓名學號1.如圖，拋物線y=x2-2mx+3m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0,-3),(1)求該拋物線的解析式；(2)若點E為線段OC上一動點，試求AE一ec的最小值；(3)點D是y軸左側(cè)的拋物線上一動點，連接 AC,當/DAB=/ACO時，求點D的坐標.【分析】(1)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點 C的坐標，結(jié)合點C的坐標為(0,-3)可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可得出m的值，進而可求出該拋物線的解析式；(2)連接BC,過點A作AFLBC于點F,交y軸于點E,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A,B的坐標，結(jié)合點C的坐標可得出/OCB=/OBC=45°,BC=3一，利用面積法可求出AF的值，在RtACEF中，由/ECF=45°可得出EF—EC,進而可得出當點A,巳F三點共線時，AE—ec取得最小值，最小值為AF的長；(3)過點D作x軸的垂線，交x軸于點H,設(shè)點D的坐標為(m,m2+2m-3),由/DAB=/ACO可得出tan/DAB=tan/ACO,進而可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出m的值，再將其代入點D的坐標中即可得出結(jié)論.【解答】解：(1)當x=0時，y=x2-2mx+3m=3m,.??點C的坐標為(0,3m).??點C的坐標為(0,-3),3m=-3,m=-1,該拋物線的解析式為y=x2+2x-3.（2）連接BC,過點A作AFLBC于點F,交y軸于點E,如圖1所示.當y=0時，x2+2x-3=0,解得：X1=-3,X2=1,??點A的坐標為（1,0）,點B的坐標為（-3,0）.??點C的坐標為（0,-3）,.OB=OC,./OCB=/OBC=45°,BC=3由三角形面積公式得： -BC?AF—AB?OC,即一3-?AF-4X3,.AF=2，在Rt^CEF中，/CFE=90°,/ECF=45°,?EF—EC,?AE—EC=AE+EF=AF,??當點A,E,F三點共線時，AE—ec取得最小值，最小值為2一.（3）過點D作x軸的垂線，交x軸于點H,如圖2所示.設(shè)點D的坐標為（m,m2+2m-3）../DAB=/ACO,TOC\o"1-5"\h\z?.tan/DAB=tan/ACO,即— —, -或 -,解得：m1一,m2=1,m3 一，經(jīng)檢驗，m1 —,m3 -是分式方程的解，且符合題意； m2=1不符合題意，舍去,「?點D的坐標為（一，一）或（-，一）.

Sli【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積、等腰直角三角形、正切的定義以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是： (1)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征結(jié)合點C的坐標，找出關(guān)于m的一元一次方程；(2)利用點到直線垂直線段最短找出點 E的位置；(3)由角相等結(jié)合正切的定義，找出關(guān)于 m的分式方程.2.如圖1,拋物線y=ax2+(a+2)x+2(aw0)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點P(m,0)(0vmv4),過點P作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點M.(1)求a的值；(2)若PN:MN=1:3,求m的值;(3)如圖2,在(2)的條件下，設(shè)動點P對應(yīng)的位置是P1,將線段OP1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OP2,旋轉(zhuǎn)角為e(0°<e<90°),連接AP2、BP2,求AP2旋轉(zhuǎn)得到OP2,旋轉(zhuǎn)角為【分析】(1)把A點坐標代入可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值；(2)由△OABs^pan可用m表示出PN,且可表示出PM,由條件可得到關(guān)于m的方程，則可求得m的值；(3)在y軸上取一點Q,使一，可證得△P2(3)在y軸上取一點Q,使則可把AP2-BP2化為AP2+QP2,利用三角形三邊關(guān)系可知當 A、P2、Q三點在一條線上時有最小值，則可求得答案.【解答】解：(1)???A(4,0)在拋物線上，.?-0=16a+4(a+2)+2,解得a―;(2)由(1)可知拋物線解析式為y -x2-x+2,令x=0可得y=2,.?.OB=2,.OP=m,AP=4—m,??PM，x軸，OAB^APAN,—— ——，即- ,??PN一(4—m),?M在拋物線上，.PM -m2-m+2,.PN:MN=1:3,.PN:PM=1:4,-m2-m+2=4-(4-m),解得m=3或m=4(舍去)；且/P2OB=/QOP2,P2OB^AQOP2,

?）??當Q（0,-）時QP2-BP2,?AP2-BP2=AP2+QP2〉A(chǔ)Q,??當A、P2、Q三點在一條線上時，AP2+QP2有最小值，.A（4,0）,Q（0,-）,?.AQ — ——，即AP2—BP2的最小值為 .【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系等知識.在（ 2）中用m分別表示出PN和PM是解題的關(guān)鍵,在（3）確定出取得最小值時的位置是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是（3）中構(gòu)造三角形相似，難度較大.3.如圖，點O在線段AB上，AO=2OB=2a,/BOP=60°，點C是射線OP上的一個動點八、、?(1)如圖①，當/ACB=90°,OC=2,求a的值;(1)如圖②，當AC=AB時，求OC的長（用含a的代數(shù)式表示）；(3)在第（2）題的條件下，過點A作AQ//BC,并使/QOC=/B,求AQ:OQ的值.(3)【分析】（1）如圖①中，作CHLAB于H.證明△ACHs^cbh,可得一一，由此構(gòu)建方程即可解決問題.（2）如圖②中，設(shè)OC=x/CHLAB于H,則OHCH—x,在RtAACH中,根據(jù)ac2=ah2+ch2,構(gòu)建方程即可解決問題.（3）如圖②-1中，延長QC交CB的延長線于K.利用相似三角形的性質(zhì)證明即可解決問題.【解答】解：(1)如圖①中，作CHLAB于H.?.CHXAB,./AHC=ZBHC=90°,./ACB=90°,./ACH+/BCH=90°, /ACH+/A=90°,./BCH=ZA,ACH^ACBH,?）.OC=2,/COH=60°,./OCH=30°,TOC\o"1-5"\h\z?OH -OC=1, CH ,,? ,整理得：2aa-4=0,解得a 或 （舍棄）.經(jīng)檢驗a 是分式方程的解.a .,CH-x.(2)如圖②中，設(shè)OC=x.彳CH,AB于,CH-x.(3a)2=(—x)2+(2a-x)2,整理得：x2+ax-5a2=0,解得x=(-1)2或(-1)a(舍棄)，?.OC=(-1)a,；■I???/AOC=//AOQ+/QOC=/ABC+/OCB,