2021-2022學(xué)年博雅聞道高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則（）A． B． C． D．2．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．3．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．4．集合的真子集的個數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．325．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．6．若函數(shù)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．7．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．11．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.14．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．15．四邊形中，，，，，則的最小值是______.16．在平面直角坐標系中，點P在直線上，過點P作圓C：的一條切線，切點為T.若，則的長是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，，，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，曲線：（為參數(shù)）以原點為極點，軸正半軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）判斷點與直線的位置關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線的兩個交點分別為，，求的值.19．（12分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點”.（1）設(shè)函數(shù)（）.①當(dāng)時，求函數(shù)的極值；②若函數(shù)存在“F點”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.20．（12分）如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點，.（1）若，求直線AP與平面所成角；（2）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的實數(shù)m，都有，并證明你的結(jié)論.21．（12分）某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⑶髼５繟B的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標系中，寫出觀測點P的坐標．22．（10分）為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進行了考核．記表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時培訓(xùn)有效．請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解：，故選：D【點睛】考查集合的并集運算，基礎(chǔ)題.2．C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】兩組至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因為名女干部不能單獨成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計算能力，屬于中等題.3．A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

計算，再計算真子集個數(shù)得到答案.【詳解】，故真子集個數(shù)為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.5．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長為2，

該幾何體的表面積：．故選C．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．6．B【解析】因為對A不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象，即可排除；對B滿足函數(shù)定義，故符合；對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對D因為值域當(dāng)中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．7．B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負情況。【詳解】，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當(dāng)時，，，排除C、D當(dāng)時，，，排除A。故選B?！军c睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。8．D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為，所以為上的偶函數(shù)，因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，所以，且，解得.故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9．C【解析】

由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為，，故.又，故.因為當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.因為為偶函數(shù)，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.11．B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得及，由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù)，故排除D.又，易知當(dāng)時，；又當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，所以，綜上，時，，即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.12．B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法、加法運算，化簡求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為14．130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為元,元時,李明得到的金額為,符合要求.元時,有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識?數(shù)學(xué)式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).15．【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當(dāng)時，取最小值，進而計算出結(jié)果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當(dāng)時，取到最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．16．【解析】

作出圖像，設(shè)點，根據(jù)已知可得，，且，可解出，計算即得.【詳解】如圖，設(shè)，圓心坐標為，可得，，，，，解得，，即的長是.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求平面兩點間的距離，運用了數(shù)形結(jié)合的思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列，并求得其通項公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得數(shù)列的前項和【詳解】（1）已知，則，且，則為以3為首相，3為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）由（1）得：，，①，②①－②可得，則即.【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查累加法求數(shù)列的通項公式，考查錯位相減求和法，屬于中檔題.18．（Ⅰ）點在直線上；見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點在直線上；（Ⅱ）根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得.【詳解】（Ⅰ）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點在直線上；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程得，設(shè)兩根為，，所以，，故與異號，所以，，所以.【點睛】本題考查在極坐標參數(shù)方程中方程互化，還考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.19．（1）①極小值為1，無極大值.②實數(shù)k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性，即得極值；②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”（），即是的零點，那么由導(dǎo)數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設(shè)，由的單調(diào)性可得，即得.（2）方法一：先求的導(dǎo)數(shù)，存在兩個不相等的“F點”，，可以由和韋達定理表示出，的關(guān)系，再由，可得的關(guān)系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個“F點”，不是函數(shù)一個“F點”，進行討論即得.【詳解】解：（1）①當(dāng)時，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在處取得極小值，極小值為1，無極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”（）.（），是函數(shù)的零點.，由，得，，由，得，即.設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增，注意到，所以方程存在唯一實根1，所以，得，根據(jù)①知，時，是函數(shù)的極小值點，所以1是函數(shù)的“F點”.綜上，得實數(shù)k的值為1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，，是關(guān)于x的方程（）的兩個相異實數(shù)根.又，，，即，從而，，即..，，解得.所以，實數(shù)a的取值范圍為.（2）（解法2）因為（a，b，，）所以（）.又因為函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，所以，是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根.由得，.（2.1）當(dāng)是函數(shù)一個“F點”時，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）當(dāng)不是函數(shù)一個“F點”時，則，是關(guān)于x的方程的兩個相異實數(shù)根.又，所以得所以，得.所以，得.綜合（2.1）（2.2），實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等，是一道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目，考查學(xué)生的分析和數(shù)學(xué)運算能力，有一定難度.20．（1）；（2）存在，Q為線段中點【解析】

解法一：（1）作出平面與平面的交線，可證平面，計算，，得出，從而得出的大小；（2）證明平面，故而可得當(dāng)Q為線段的中點時.解法二，以為原點，以為建立空間直角坐標系：（1）由，利用空間向量的數(shù)量積可求線面角；（2）設(shè)上存在一定點Q，設(shè)此點的橫坐標為，可得，由向量垂直，數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】（1）解法一：連接交于，設(shè)與平面的公共點為，連接，則平面平面，四邊形是正方形，，平面，平面，，又，平面，為直線AP與平面所成角，平面，平面，平面平面，，又為的中點，，，，直線AP與平面所成角為.（2）四邊形正方形，，平面，平面，，又,平面，又平面，，當(dāng)Q為線段中點時，對于任意的實數(shù)，都有.解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，，又由，，則為平面的一個法向量，設(shè)直線AP與平面所成角為，則，故當(dāng)時，直線AP與平面所成角為.（2）若在上存在一定點Q，設(shè)此點的橫坐標為，則，，依題意，對于任意的實數(shù)要使，等價于，即，解得，即當(dāng)Q為線段中點時，對于任意的實數(shù)，都有.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算，考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.21．（1）見解析，，x[0，1]；（