金融風(fēng)險管理：Ch11 相關(guān)系數(shù)和Copula函數(shù)

10.1金融風(fēng)險管理第十一章相關(guān)性和Copula函數(shù)10.2本章主要內(nèi)容相關(guān)系數(shù)定義相關(guān)系數(shù)估計多元正態(tài)分布Copula函數(shù)Copula函數(shù)應(yīng)用于貸款組合10.3相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差變量V1和V2的相關(guān)系數(shù)定義為：協(xié)方差 Cov(V1,V2)=E(V1V2)?E(V1)E(V2)10.4獨立性如果兩個變量V1、

V2，其中任意一個變量的信息不會影響另一個變量的分布，那么這兩個變量就是獨立的，即

其中，

f(.)代表變量的概率密度函數(shù)10.5獨立性不等同于不相關(guān)假設(shè)

V1=–1,0,或者+1(等可能性的)如果V1=-1

或者

V1=+1

那么

V2

=1如果V1=0那么

V2=0顯然V2

的值取決于V1

(反之亦然)但是這兩個變量的相關(guān)系數(shù)卻為0下面的圖11-1描述相關(guān)關(guān)系10.6掃描10-110.710.811.2.1采用EWMA模型第10章：用EWMA模型預(yù)測方差本節(jié)：用EWMA模型預(yù)測協(xié)方差..10.9

11.3多元正態(tài)分布10.14多元正態(tài)分布處理上相對簡便方差-協(xié)方差矩陣定義了變量之間的方差和相關(guān)系數(shù)為了滿足內(nèi)部一致性的條件，方差-協(xié)方差矩陣必須是半正定的基于蒙特卡羅模擬產(chǎn)生的隨機(jī)抽樣在Excel中，=NORMSINV(RAND())能產(chǎn)生一個來自于正態(tài)分布的隨機(jī)樣本間接構(gòu)造隨機(jī)數(shù)10.16因子模型

單因子模型：若{Ui,i=1,2,…N}滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則

共同因子F和特殊因子Zi均服從從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨立

變量Ui

和Uj

的相關(guān)系數(shù)是aiajM個因子模型10.1711.4Copula函數(shù)已知聯(lián)合分布可以確定邊緣分布。當(dāng)已知了兩個隨機(jī)變量的邊緣分布，怎樣來估計他的聯(lián)合分布？Copula函數(shù)方法提供了一個估計聯(lián)合分布的方法基本思想：等概率投影到已知聯(lián)合分布函數(shù)上，通過隨機(jī)變量的替換反推出未知聯(lián)合分布。10.18高斯Copula函數(shù)模型:

用于對不服從正態(tài)分布的變量生成相關(guān)結(jié)構(gòu)假設(shè)我們想對變量V1、V2定義一個相關(guān)結(jié)構(gòu)，但V1、V2不服從正態(tài)分布我們把變量V1映射到一個新的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量U1上，這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射變量V2也按變量V1的方法映射到新的變量U2

上變量U1、U2服從二元正態(tài)分布10.1910.2010.21計算聯(lián)合累積分布的例子變量V1、V2同時小于0.2的概率同變量U1<?0.84且U2

<?1.41的概率相同當(dāng)Copula相關(guān)系數(shù)等于0.5時，也就是 F(?0.84,?1.41,0.5)=0.043

其中，F(xiàn)為二元正態(tài)分布函數(shù)10.2210.2310.2410.25二元學(xué)生t-分布比二元正態(tài)分布尾部價值更高

(1)5000個抽樣，相關(guān)系數(shù)均為0.5，學(xué)生t-分布自由度為4

(2)正態(tài)分布價值大于2.33或小于-2.33的抽樣值定義為尾部價值

(3)學(xué)生t-分布價值大于3.75或小于-3.75的抽樣定義為尾部價值10.2611.4.4多元Copula函數(shù)類似的，我們可以定義多個變量V1,V2,…Vn之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)在分位數(shù)與分位數(shù)對應(yīng)映射的條件下，把變量Vi映射到一個新的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量Ui上變量Ui服從多元正態(tài)分布10.2711.4.5因子Copula函數(shù)

多元Copula模型中，市場分析員常常假定變量Ui,單因子模型中共同因子F和特殊因子Zi都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨立變量Ui

和Uj

的相關(guān)系數(shù)是aiajF和Zi也可以假設(shè)服從其他分布10.28信貸違約相關(guān)系數(shù)兩個公司之間的信貸違約相關(guān)系數(shù)用來衡量這兩個公司同時違約的傾向在風(fēng)險管理上，違約相關(guān)系數(shù)對于分析信貸風(fēng)險多樣化是非常重要的違約相關(guān)系數(shù)對于某些信貸衍生品的估值也是大有用處的掃描p

17711.5將Copula函數(shù)應(yīng)用于貸款組合我們把公司i違約的時間Ti映射到一個新的變量Ui

，并且假設(shè)

其中

F

和Zi

服從正態(tài)分布，并且相互獨立.F解釋為宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)定義

Qi

為Ti的累積概率分布PD=P(Ui<U)=P(Ti<T)whenN(U)=Qi(T)貸款組合模型觀察違約概率：(1)當(dāng)F(宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù))增加時，以上概率減小(2)當(dāng)F服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，則F<N-1(Y)