專題19 立體幾何綜合小題必刷100題(解析版)

專題19立體幾何綜合小題必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算出正四棱錐的底面積，然后利用錐體的體積公式可求出該正四棱錐的體積．【詳解】正四棱錐的底面積為，正四棱錐的高為因此，該正四棱錐的體積為．故選：A．2．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】D【分析】利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解【詳解】選項A：有可能出現(xiàn)的情況；選項B：和有可能異面；選項C：和有可能相交；選項D：由，，得直線和平面沒有公共點，所以，故選：D3．如圖，空間四邊形中，點在線段上，且，為的中點，，則，，的值分別為（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】利用空間向量的基本定理求解.【詳解】因為，，所以，，.故選：B.4．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】利用空間中點線面之間的位置關(guān)系即可對每個選項做出判斷，從而選出正確選項.【詳解】對于選項A：若，，則與平行或相交，故選項A不正確；對于選項B：若，，則與可平行、異面、或相交，故選項B不正確；對于選項C：若，，則，垂直于同一平面的兩個直線平行，故選項C正確；對于選項D：若，，則與平行或相交，故選項D不正確.故選：C5．已知四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，俯視圖為正方形，則該四棱錐的體積（單位：）是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四棱錐是正四棱錐求解.【詳解】如圖所示：由題意知：四棱錐是正四棱錐，因為四棱錐的正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2（單位：cm）的正三角形，所以，則正四棱錐的高為：，又因為俯視圖為正方形，所以，故選：B6．在正方體中，則直線與直線所成角大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正方體的棱長為，連接，證明可得或其補角即為直線與直線所成角，在中求即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，可得，所以或其補角即為直線與直線所成角，在中，，所以，所以直線與直線所成角大小為，故選：C.7．正方體的棱長為，為側(cè)面內(nèi)動點，且滿足，則△面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值．【詳解】以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因為平面，所以故△面積的最小值為故選：B8．在直三棱柱中，.、分別是、的中點，，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】以C為坐標(biāo)原點，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，分別求出的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積求出即可.【詳解】以C為坐標(biāo)原點，以CB、CA、方向分別為x、y、z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，所以，故選：D9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．BD∥平面CB1D1 B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BD D．異面直線AD與CB1所成的角為45°【答案】B【分析】利用直線與平面平移以及垂直的關(guān)系，結(jié)合異面直線所成角判斷命題的真假即可.【詳解】解：A，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，①BD∥B1D1，B1D1?平面CB1D1；BD?平面CB1D1；所以BD∥平面CB1D1；A正確；B，；AD∥A1D1，且⊥平面，所以⊥平面，又平面與平面CB1D1不平行，所以AD與平面CB1D1不平行，；B不正確；C，AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC1⊥BD；C正確；D，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得所以異面直線AD與CB1所成的角即為直線與CB1所成的角,由，所以異面直線AD與CB1所成的角為45°；D正確故選：B.10．已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實數(shù)m的值等于（）A． B．－2C．0 D．或－2【答案】B【分析】利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)m＝0時，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，與不平行，∴m≠0，∵，∴，解得m＝－2.故選：B11．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直【答案】A【分析】連接與交于點F，易得是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線與直線的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，連接與交于點F，由題意，易得四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點，∴，又且共面，則直線與直線相交.故選：A.12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】先用余弦定理求出，再由勾股定理可證，可所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)以及、的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式計算即可求解.【詳解】因為直三棱柱中，，，，在中，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，進而可得兩兩垂直，所以以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，設(shè)異面直線與所成角的平面角為，則異面直線與所成角的余弦值為：，故選：B.13．把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點（皮球不變形），則皮球的半徑為（）A．cm B．10cmC．cm D．30cm【答案】B【分析】判斷出球心的位置，由此計算出球的半徑.【詳解】依題意可知該四棱錐是正四棱錐，且平面，則.，，所以，到的距離都是，在等腰直角三角形中，到的距離為，同理可得到的距離也是.所以是皮球的球心，且皮球的半徑為.故選：B14．一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個面均為直角三角形.如圖，在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，連接AE，AF，EF（此外不再增加任何連線），則圖中直角三角形最多有（）A．6個 B．8個C．10個 D．12個【答案】C【分析】由題設(shè)，若四面體PABC為“鱉臑”，應(yīng)用線面、面面垂直的判定、性質(zhì)只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鱉臑”，即可保證直角三角形最多，進而確定個數(shù)即可.【詳解】為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設(shè)四面體PABC為“鱉臑”，其中PA⊥面ABC，BC面ABC，則PA⊥BC，又AB⊥BC，ABPA=A，∴CB⊥面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC：由CB⊥面PAB，BC面PBC，則面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，則AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，∴四面體PAEF也是“鱉臑”，則10個三角形全是直角三角形，故選：C.15．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理判斷平面，過正方形的中心作垂線，再過中點作此垂線的垂線，交點即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，，又，所以平面，過正方形的中心作垂線，再過中點作此垂線的垂線，交點為，此點即為外接球的球心，則外接球半徑，所以四棱錐外接球的表面積.故選：C二、多選題16．給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．已知空間向量，，則D．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是【答案】BD【分析】對選項A，B，根據(jù)空間向量基底概念即可判斷A錯誤，B正確，對選項C，根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運算即可判斷C錯誤，對選項D，根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】對選項A，因為空間中只有不共面的三個向量可以作為一組基底，故A錯誤.對選項B，因為，則、與任何向量都是共面向量，故B正確.對選項C，，，因為，所以、不平行，故C錯誤.對選項D，，，所以向量在向量上的投影向量為.故D正確.故選：BD17．如圖，正方體的棱長為4，以下結(jié)論正確的是（）A．直線與是異面直線B．直線與平行C．直線與垂直D．三棱錐的體積為【答案】AD【分析】A選項結(jié)合異面直線的定義即可判斷；B證得即可判斷；C由直線與是矩形的兩條對角線即可判斷；D用正方體的體積減去四個三棱錐的體積即可求出結(jié)果判斷.【詳解】直線在平面內(nèi)與沒有交點，所以直線與是異面直線，故A項正確；因為，且，所以四邊形為平行四邊，因此，又因為，所以,故B項錯誤；直線與是矩形的兩條對角線，不垂直，故C項錯誤；．故D項正確．故選：AD.18．如圖，正方體的棱長為1，點是棱上的一個動點（包含端點），則下列說法正確的是（）A．存在點，使面B．二面角的平面角大小為C．的最小值是D．到平面的距離最大值是【答案】AC【分析】對于A，當(dāng)與重合時可得結(jié)論，對于B，二面角就是二面角，從而可求出結(jié)果，對于C，如圖沿棱展開面為面，利用兩點之間線段最短判斷，對于D，當(dāng)與重合時，點到面的距離最大，從而可求得結(jié)果【詳解】對于A，當(dāng)與重合時，，根據(jù)線面平行的判定，可得使面，故正確；對于B，二面角就是二面角，其平面角大小為.故錯；對于C，如圖沿棱展開面為面，使點，，，，，共面，則的最小值為，故正確；對于D，當(dāng)與重合時，垂直平面，此時點到面距離最大值為，故錯.故選：AC.19．已知、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面.下列說法中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】ACD【分析】對于A，利用線面平行的性質(zhì)定理判斷，對于B，利用線面平行的判定定理判斷，對于C，利用線面垂直的判定定理判斷即可，對于D，利用面面平行的判定方法判斷【詳解】由線面平行的性質(zhì)定理可知，A正確；若∥∥，則∥或，即B錯誤；設(shè)的法向量分別為，若，則，又，則∥，∥，所以，即C正確；若，則∥，又∥，則∥，即D正確.故選：ACD20．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（）A．＝2－－； B．；C．； D．＋＋＋＝0；【答案】ABD【分析】根據(jù)四點共面的條件對選項逐一分析，由此確定正確選項．【詳解】與，，一定共面的充要條件是，對于A選項，由于，所以不能得出共面，對于B選項，由于，所以不能得出共面，對于C選項，由于，則為共面向量，所以共面，對于D選項，由得，而，所以不能得出共面．故選：ABD21．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.22．設(shè)一空心球是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上?所有面均與內(nèi)球相切，則（）A．該正方體的核長為2 B．該正方體的體對角線長為C．空心球的內(nèi)球半徑為 D．空心球的外球表面積為【答案】BD【分析】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，利用正方體的對角線求得，根據(jù)兩球上點的距離最小值為，求解后得到r，R，進而求得正方體的對角線和外接球的表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)外球半徑分別為r，R，則正方體的棱長為，體對角線長為，∴，又由題知，所以，，∴正方體棱長為，體對角線長為，∴外接球表面積為，故選：BD.23．在正三棱柱中，，，與交于點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．存在點，使得C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】AC【分析】A.利用空間向量運算求解判斷；B.利用空間向量運算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量，故A正確；假設(shè)存在點，設(shè)，，所以.因為，所以.解得.故B錯誤；因為正三棱柱，所以，所以，所以，故C正確；設(shè)中點為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯誤.故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題24．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、BC的中點，則三棱錐N-DMC1的體積為___________.【答案】1【分析】利用等體法以及三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】.故答案為：125．已知正三棱錐的底面邊長是，側(cè)棱與底面所成角為，則此三棱錐的體積為__．【答案】【分析】過作平面交于點，延長交于，在中，求得，根據(jù)平面，得到，求得，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，過作平面交于點，延長交于，所以點是的中心，所以是等邊的一條高，其中邊長為，所以，可得，因為平面，所以，在直角中，可得，由的邊長為，可得，所以三棱錐的體積為.故答案為：.26．如圖，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，則異面直線與AC所成角的余弦值是__________________．【答案】【分析】由AC∥，知是異面直線與AC所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線與AC所成角的余弦值．【詳解】解：連結(jié)，∵AC∥，∴是異面直線與AC所成角（或所成角的補角），∵在直三棱柱中，∠ACB＝90°，，∴，，，，∴∴異面直線與AC所成角的余弦值為．故答案為：．27．已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．【答案】【分析】先畫出圓臺的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為則有，，解得，．所以外接球的表面積為．故答案為：28．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，且，則__.【答案】【分析】由空間向量的加法法則有，然后平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算可得．【詳解】平行六面體中，，..故答案為：．29．如圖，在空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，N為BC的中點，則用向量表示向量________．【答案】【分析】根據(jù)，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵在空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，N為BC的中點，∴．故答案為：．30．已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱錐P﹣ABCD的體積為，則球O的表面積為___________.【答案】【分析】由題意，畫出示意圖，四棱錐P﹣ABCD的體積，，，，球O的半徑，進而求解.【詳解】解：由題意，畫出示意圖如圖：則正方形ABCD面積S=4，∵四棱錐P﹣ABCD的體積，∴，，球O的半徑球O的表面積：.故答案為：任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．在三棱錐P－ABC中，，△PAB，△PAC，△PBC的面積分別記為，且，則此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形面積公式求出面積，聯(lián)立方程求出棱長，再求出棱錐高得出棱錐體積，由等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】，，，解得，，由余弦定理可得，，取的中點，連接，，如圖，可得，，，，，所以，所以平面ABC，內(nèi)切球半徑，故選：B2．在立體幾何探究課上，老師給每個小組分發(fā)了一個正四面體的實物模型，同學(xué)們在探究的過程中得到了一些有趣的結(jié)論.已知直線平面，直線平面，F(xiàn)是棱BC上一動點，現(xiàn)有下列三個結(jié)論：①若分別為棱的中點，則直線平面；②在棱BC上存在點F，使平面；③當(dāng)F為棱BC的中點時，平面平面.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．③ B．①③ C．①② D．②③【答案】A【分析】將正四面體放在正方體中，如圖，由正方體的性質(zhì)判斷各選項．【詳解】可將正四面體放在正方體中研究，如圖，對于①，由直線平面，直線平面，知平面是與左右兩個側(cè)面平行的平面，是前后兩個側(cè)面的中心（對角線交點），則直線平面或直線平面，故①錯誤.對于②，正方體的左、右兩個側(cè)面與平面平行，因此，與平面垂直的直線只能是與其四條側(cè)棱平行或重合的直線，故②錯誤.對于③，平面就是平面，由與側(cè)面垂直，得面面垂直，故③正確，故選：A．3．已知圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為4，高為7，若點A、B、C在下底面圓的圓周上，且，點Р在上底面圓的圓周上，則的最小值為（）A．246 B．226 C．208 D．198【答案】D【分析】問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐且三棱錐有外接球，求轉(zhuǎn)化為求的最值，再轉(zhuǎn)化為利用向量求解即可.【詳解】如圖，ABC的外心是AC中點，點P到底面ABC的距離為7，設(shè)Р所在截面圓的圓心為，此截面與平面ABC平行，球心在上，，則，設(shè)P在平面ABC上的射影為Q，則Q在以為圓心，3為半徑的圓，因為PQ⊥平面ABC，所以PQ與平面ABC內(nèi)所有直線都垂直，PQ=7,所以，當(dāng)反向時，取得最小值-12，所以的最小值故選：D4．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計算求解即可．【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個三角形和1個四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選：B.5．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)題意可知平面，而，在線段上運動，則平面，從而得出點到直線的距離不變，求出的面積，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，得出點到平面的距離為，最后利用棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.【詳解】解：由題可知，正方體的棱長為1，則平面，又，在線段上運動，平面，點到直線的距離不變，由正方體的性質(zhì)可知平面，則，而，，故的面積為，又由正方體可知，，，且，平面，則平面，設(shè)與交于點，則平面，點到平面的距離為，.故選：A.6．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（）A．當(dāng)時，平面 B．當(dāng)時，平面C．當(dāng)為直角三角形時， D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時，【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當(dāng)為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，，故正確．故選：．7．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別為AB、AD、DC的中點，則a2等于（）A．2? B．2? C．2? D．2?【答案】B【分析】由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，對各個選項中式子進行運算，可得結(jié)論．【詳解】由題意可得，22a?a?cos（π﹣∠BAD）＝2a2?（﹣cos60°）＝﹣a2，故排除A．∵2?2?a?a?cos60°＝a2，故B滿足條件．∵2?2??a?cosπ＝﹣a2，故排除C．∵2?2??a?cos60°，故排除D，故選：B8．如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（）A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【分析】利用反證法可判斷A選項；由二面角的變化可判斷B選項；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C選項；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項.【詳解】翻折前，，，翻折后，對應(yīng)地有，，，，則平面，平面，故平面平面，D選項一定成立；對于B選項，由上可知，二面角的平面角為，在翻折的過程中，會發(fā)生變化，則與不一定垂直，即與平面不一定垂直，故B選項不一定成立；對于A選項，設(shè)，在圖一中，，所以，，可得，，因為，則，故，所以，，在圖二中，過點在平面內(nèi)作交于點，連接，則，故，則，又因為，故不為的中點，因為，，則，若，且，則平面，平面，則，由于、平面，且，故，由于為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，A選項不成立；對于C選項，由A選項可知，因為，平面，平面，所以，平面，若平面，，則平面平面，因為平面平面，平面平面，則，由于為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，C選項不成立.故選：D.9．點M是棱長為3的正方體中棱的中點，，動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且平面，則的長度范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面與于，取中點F，在上取點H，使，在上取點G，使，可得截面，【詳解】解：以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)平面與于，連接，由平面平面，是截面與這兩個平面的交線，因此，取中點F，在上取點H，使，在上取點G，使，連接，易得，所以，又，所以，所以，而平面，平面，所以平面，易知，，，，，∴，，，，，所以，共面，，，所以，同理得平面，是平面內(nèi)兩相交直線，則平面平面，∵動點P在正方形（含邊界）內(nèi)運動，且平面，∴P點的軌跡是線段，又點C到線段的距離，∴的長度的最小值為，，，∴長度的最大值為.∵的長度范圍為．故選：B.10．如圖，在正方體中，點M在線段(不包含端點)上運動，則下列判斷中正確的是（）①平面；②異面直線與所成角的取值范圍是；③平面恒成立；④三棱錐的體積不是定值．A．①③ B．①② C．①②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)給定條件證得平面平面可判斷①；由及正可判斷②；取特殊位置說明與不垂直判斷③；利用等體積法轉(zhuǎn)化可判斷④即可作答.【詳解】在正方體中，連接，如圖，因?qū)敲鍭BC1D1是矩形，則AD1//BC1，而平面ACD1，平面ACD1，于是得BC1//平面ACD1，同理，A1B//平面ACD1，而，平面，因此，平面平面，又平面，故有平面，①正確；因，即異面直線與所成角即為與所成角，而是正三角形，點M在線段(不包含端點)上運動時，與所成角范圍為，②正確；當(dāng)M為的中點時，直線過點C，，即此時與不垂直，平面不恒成立，③錯誤；因BC1//平面ACD1，則，即三棱錐的體積是定值，④錯誤.故選：B11．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（）A． B．100π C． D．20π【答案】D【分析】由題知，，，設(shè)為三角形的外心，進而得，過作三角形的垂線，球心在上，且，進而得外接球半徑，再計算表面積即可得答案.【詳解】如圖：因為平面，，所以，，因為，由余弦定理可解得，設(shè)為三角形的外心，則由正弦定理得三角形外接圓半徑為2，即，過作三角形的垂線，球心在上，則，可求外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積是，故選：D.12．已知圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓錐側(cè)面展開圖的圓心角可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑，在中，利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)于圓錐外接球半徑的方程，解方程求得，根據(jù)球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意得：，解得：.如圖，是圓錐的一條母線，由圓錐的性質(zhì)知其外接球的球心在上，連接，，設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則，則，，即，解得：，圓錐的外接球的表面積為.故選：C.13．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點是的中點，過，，三點的平面與平面的交線為，則下列結(jié)論中正確的有（）（1）平面；（2）平面；（3）直線與所成角的余弦值為；（4）平面截四棱錐所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【分析】對A，取的中點，連接，證明平面，即平面，可判斷A；對B，若平面，則，結(jié)合，可判斷B；對C，根據(jù)，故判斷C；對D，連接，分別求出兩部分的體積即可判斷D.【詳解】對A，取的中點，連接，則，即，，，四點共面，即為，因為，平面，平面，所以平面，即平面，故A正確；對B：由，若平面．則必有，即四邊形為平行四邊形，則，因為，，所以矛盾，故B錯誤；對C：與所成角，即與所成角，即與所成角，由底面得．則，故C正確；對D：連接，由A知截面就是平面，下半部分分為四棱錐和三棱錐.，，由底面得，又，，平面，所以平面，即平面.所以，即下半部分體積為.所以上半部分體積與下半部分體積之比為，故D正確．因此正確的結(jié)論有3個.故選：C．14．在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的正三角形，是正方形，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點F,取AD的中點E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半徑，即可求四棱錐P-ABCD的外接球的體積.【詳解】連接AC交BD于F，球心O在底面的射影必為點F，取AD的中點E,在截面PEF中，連結(jié)，如圖，在等邊中，AD的中點為E，所以,又平面平面,是交線，所以平面,且，設(shè)，外接球半徑為R,則在正方形中，，在中，，而在截面中，，由可得：解得，所以,所以.故選：D15．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點，P是棱AC上的一動點，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（）A．π B．πC．4π D．π【答案】D【分析】首先設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，根據(jù)題意得到的最小值為，從而得到，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化得到內(nèi)切球半徑，再計算其體積即可.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示：則的最小值為，解得.如圖所示：為正四面體的高，，正四面體高.所以正四面體的體積.設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，如圖所示：則到正四面體四個面的距離相等，都等于，所以正四面體的體積，解得.所以內(nèi)切球的體積.故選：D16．在棱長為2的正方體中，點，，，分別為棱，，，的中點，若平面平面，且平面與棱，，分別交于點，，，其中點是棱的中點，則三棱錐的體積為（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理可確定出，根據(jù)點的位置可確定出的位置，由此可計算出三棱錐的體積.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，由正方體結(jié)構(gòu)特點可知：，所以六點共面，又因為平面平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，由為所在邊中點可知為中點，同理可知：為的中點，所以，且，，兩兩垂直，所以三棱錐的體積為，故選：D.17．已知球，過其球面上，，三點作截面，若點到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球的表面積為（）（注：球的表面積公式A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件先計算出外接圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑、球心到截面的距離、外接圓的半徑構(gòu)成直角三角形的三邊，由此列出方程可求外接球的半徑，則球的表面積可求.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，是的外心，外接圓的半徑為，則平面，在中，，，則，由正弦定理可得，即，在中，有，得．球的表面積為．故選：A．18．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1，P是A1C1的中點，則異面直線BC與AP所成角的余弦值為（）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】取的中點Q，連接.先證明即異面直線與所成的角或其補角.在三角形APQ中，由余弦定理求出異面直線BC與AP所成角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點Q，連接.因為，所以即異面直線與所成的角或其補角.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)，則，在三角形APQ中，由余弦定理得：.故選：D19．一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為、、，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)易知，設(shè)利用正方形、正三角形的性質(zhì)及勾股定理求出、、，即可知它們的比例關(guān)系.【詳解】設(shè)四棱錐為，三棱錐為，則三棱錐為正四面體，四棱錐為正四棱錐，顯然．設(shè)，正方形的中心為，正三角形的中心為，連接，，，，則，，，，即，，．故選：C20．如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為，在即可得到答案；【詳解】解：過點作平面的垂線，垂足為，在內(nèi)過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為又由已知，連接，則為與平面所成的角，設(shè)，則，，直線與平面所成的角的正弦值．故選：．二、多選題21．如圖，已知正方體，則四個推斷正確的是（）A． B．C．平面平面 D．平面平面【答案】BCD【分析】對于A，與成角；對于B，由，，得；對于C，由，，得平面平面；對于D，由，，得平面平面．【詳解】在正方體中，對于A，由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成的角，在中顯然，所以與成角，故A錯誤；對于B，，，，故B正確；對于C，，，、平面，、平面，∴平面，平面，又，平面平面，故C正確；對于D，，，，平面，所以平面，又平面平面平面，故D正確．故選：BCD．22．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點，則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點C到平面的距離為【答案】BCD【分析】A.設(shè)，易證平面AEF判斷；B.取的中點，連接，證明平面平面AEF判斷；C.接，易證，得到截面為等腰梯形求解判斷；D.利用等體積法，由求解判斷.【詳解】A.若，因為平面ABCD，則，又，所以平面AEF，則，則，故錯誤；B.如圖所示：取的中點，連接，易知，又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，同理平面AEF，又，所以平面平面AEF，因為平面，所以平面AEF，故正確；C.如圖所示：連接，因為E，F(xiàn)分別為的中點，則，所以共面，則截面為等腰梯形，又，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故正確；D.因為，且，所以點C到平面的距離為，故正確.故選：BCD23．正四棱錐的所有棱長為2，用垂直于側(cè)棱的平面截該四棱錐，則（）A．截面可以是三角形B．與底面所成的角為C．與底面所成的角為D．當(dāng)平面經(jīng)過側(cè)棱中點時，截面分四棱錐得到的上下兩部分幾何體體積之比為3：1【答案】ACD【分析】對于A：取PC的中點E，連結(jié)BE、DE、BD.可以證明面BDE，即可判斷A；對于B、C：作為與底面所成的角.即可求得；對于D：分別求出上下兩部分幾何體的體積，即可判斷.【詳解】對于A:取PC的中點E，連結(jié)BE、DE、BD.因為正四棱錐的所有棱長為2，所以△PBC、△PBC為正三角形，所以又,則面BDE，即△BDE為截面.故A正確；對于B、C:過P作底面ABCD于O，則O為AC中點.則即為與底面所成的角.因為正四棱錐的所有棱長為2，所以,所以,所以.故B錯誤，C正確；對于D:由A的推導(dǎo)過程可知：平面經(jīng)過側(cè)棱中點時，平面即為平面BDE.此時.因為,所以,所以.故D正確故選：ACD24．如圖，等腰直角三角形的斜邊為正四面體的側(cè)棱，，直角邊繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）A．三棱錐體積的最大值為B．三棱錐體積的最小值為C．存在某個位置，使得D．設(shè)二面角的平面角為，且，則【答案】AC【分析】是的中點﹐點在以為圓心，為半徑的圓上運動（圓錐的底面圓），作出圖形，觀察到平面距離的最大值和最小值，計算體積判斷AB，把去掉，作出圖形，分析與所成角，二面角的大小判斷CD．【詳解】在圖1中，是的中點，是的中點﹐點在以為圓心，為半徑的圓上運動，易知當(dāng)三點共線，且在之間時，三棱錐的體積最大，當(dāng)運動到的位置時，的體積最小.在中，.設(shè)到平面的距離分別為，則，所以三棱錐體積的最大值為，最小值為，A正確，B錯誤.如圖2，因為直線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為，母線與旋轉(zhuǎn)軸所成的角為﹐所以直線與所成角的范圍為，即，因為，所以存在夾角為的情況，又因為線線角的取值范圍不包含鈍角，所以直線與所成角的范圍為，即可得出C正確.如圖2，當(dāng)運動到時，二面角的平面角為，在與中，所以，所以，所以，即，D錯誤.故選：AC25．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（）A．B．平面C．向量與的夾角是60°D．直線與AC所成角的余弦值為【答案】AC【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積運算，對選項中的命題分析，判斷正誤即可．【詳解】解：對于，，所以，選項錯誤；對于，所以，即，，所以，即，因為，平面，所以平面，選項正確；對于：向量與的夾角是，所以向量與的夾角也是，選項錯誤；對于，所以，，同理，可得，所以，所以選項正確．故選：AC．26．正方體中，是棱的中點，在側(cè)面上運動，且滿足平面.以下命題正確的有（）A．側(cè)面上存在點，使得B．直線與直線所成角可能為C．平面與平面所成銳二面角的正切值為D．設(shè)正方體棱長為1，則過點，，的平面截正方體所得的截面面積最大為【答案】ACD【分析】由面面平行的性質(zhì)可得出點的軌跡，再找出點，使得可判斷A；由異面直線所成的角的定義求出角的范圍可判斷B；計算二面角的平面角可判斷C；求出最大截面的面積可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A:取和的中點分別為，，連接，，，則，，，，所以面面，因為在側(cè)面上運動，且滿足平面，所以點在線段上，因為是正方體，所以，若為線段的中點，可得，因為，所以，故選項A正確；對于B：因為，所以與直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的棱長為，在中，，若所成的角為，則，而最大為，所以，所以所成角不可能為，故選項B不正確；對于C：因為面面，所以平面與平面所銳二面角，即為平面與平面所成銳二面角，因為面面，，，當(dāng)為線段的中點，可得，，所以即為二面角的平面角，且，，所以，故選項C正確；對于D:當(dāng)為與的交點時過點，，的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點，，，則截面為菱形，，，其面積為故選項D正確，故選：ACD.27．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且.則下列結(jié)論中正確的有（）A．當(dāng)時，ME與CN相交B．MN始終與平面BCE平行C．異面直線AC與BF所成的角為D．當(dāng)時，MN的長最小，最小為【答案】BD【分析】以B為原點，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.證明向量不共面可判斷選項A錯誤；判斷與平面BCE的法向量垂直可判斷選項B；利用向量法可求異面直線所成的角，從而判斷選項C；利用兩點間的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項D.【詳解】以B為原點，BA，BE，BC所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為，所以，當(dāng)時，，，若ME與CN相交，則四點共面，設(shè)，則，該方程無解，所以ME與CN不相交，故選項A錯誤；平面BCE的法向量為，此時，所以MN始終與平面BCE平行，故B正確；，設(shè)異面直線AC與BF所成的角為，所以，所以異面直線AC與BF所成的角為60°，故C錯誤；，所以當(dāng)時，MN的長最小，最小為，故D正確.故選：BD.28．(多選)如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°【答案】ABC【分析】由的射影、、，結(jié)合線面垂直的判定即可知B、C的正誤；構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得，結(jié)合C選項即可判斷A的正誤，再利用線線角的向量求法求AD與CB1所成角.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，分別以所在方向為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由在面、面、面的射影、、，即，，，又，則AC1⊥面CB1D1，∴B、C正確；設(shè)正方體棱長為1，易知＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,1)，∴，即BD∥面CB1D1，故A正確；∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，∴，∴AD與CB1所成的角為45°，故D錯，故選：ABC．29．已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，F(xiàn)B，BE，H為BF的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE⊥BFB．EF與CH所成角為C．EC⊥平面DBFD．BF與平面ACFE所成角為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，將幾何體補形為正方體，進而建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的運算得到答案.【詳解】由題意得，所得幾何體可以補形成一個正方體，如圖所示．以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AD＝DC＝DG＝2，則D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(xiàn)(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．對A，，所以，則，正確；對B，，設(shè)所成角為，所以，正確；對C，，設(shè)是平面DBF的一個法向量，所以，令x=1，則，所以，則EC⊥平面DBF，正確；對D，由題意，EA⊥平面ABCD，則EA⊥DB，易得：DB⊥AC，EA與AC交于A，則DB⊥平面ACFE，則是平面ACFE的一個法向量，設(shè)BF與平面ACFE所成的角為，所以，錯誤.故選：ABC.30．下圖中正方體邊長為2，則下列說法正確的是（）A．平面平面B．正方體外接球與正四面體外接球半徑相等均為C．正四面體內(nèi)切球半徑為D．四面體內(nèi)切球半徑為【答案】BCD【分析】取的中點，連接和，計算二面角的平面角即可判斷A；由正四面體與正方體有同一個外接球可判斷B，利用等體積求內(nèi)切球的半徑可判斷CD，進而可得正確選項.【詳解】對于A：因為正方體的邊長為，所以，所以和是等邊三角形，取的中點，連接和，則，，所以即為二面角的平面角，因為，，因為，所以不等于，即二面角的平面角不等于，所以平面平面不成立，故選項A不正確；對于B：正四面體的四個頂點都是正方體的頂點，所以正四面體與正方體有同一個外接球，且外接球的半徑為，故選項B正確；對于C：正四面體內(nèi)切球半徑為，正四面體的高為，由體積相等可得：，可得，故選項C正確；對于D：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，由體積相等可得：，即，解得：，故選項D正確；故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題31．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為__.【答案】/11.5π【分析】將該四面體的六條棱看成某長方體的六個面的對角線，然后該長方體的外接球即為該四面體的外接球，最后求出外接球的表面積【詳解】如圖所示，因為，，，先將四面體的六條棱看成該長方體如圖所示的六條面對角線，下面驗證直線和所成的角為，易知，，且，互相平分于點，所以，設(shè)長方體的三邊長為，，，則，解得，故是等邊三角形，則，即直線和所成的角為，即成立，故四面體的六條棱看成該長方體如圖所示的六條面對角線，四面體的外接球即為該長方體的外接球，所以外接球的直徑，故外接球的表面積為.故答案為：.32．如圖，A、B、C、D、P是球O上5個點，ABCD為正方形，球心O在平面ABCD內(nèi)，，，則PA與CD所成角的余弦值為______．【答案】【分析】由題可得∠PAB即為所求，設(shè)球O的半徑為r，則可得，，在等腰三角形PAB中，即得.【詳解】∵ABCD為正方形，∴AB∥CD，∴∠PAB即為異面直線PA與CD所成角，設(shè)球O的半徑為r，球心O在平面ABCD內(nèi)，則O為正方形ABCD的中心，由題可知，又，∴，又，∴，在等腰三角形PAB中，.故答案為：.33．已知圓錐、圓柱的底面半徑和體積都相等，則它們的軸截面的面積之比的比值是___________【答案】【分析】利用公式分別求出圓錐和圓柱的體積以及他們的軸截面面積，然后結(jié)合已知條件求出圓錐與圓柱的高的比值，進而求出它們的軸截面的面積之比的比值.【詳解】由題意，設(shè)圓錐、圓柱的底面半徑為，高分別為、，體積分別為、，軸截面面積為、，從而，，，，因為圓錐、圓柱的體積相等，所以，即，故，從而圓錐、圓柱的軸截面的面積之比的比值是.故答案為：.34．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左圖是南北朝官員獨孤信的印信，它是由正方形和正三角形圍成.右圖是根據(jù)這只印信作出的直觀圖，直觀圖的所有頂點都在一正方體的表面上（如果一個正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上，那么這個八邊形的邊長就等于這個直觀圖的棱長）.若這個正方體的所有頂點都在半徑為的球面上，則這只印信的表面積為__________.【答案】/【分析】根據(jù)正方體外接球的半徑可確定其棱長為；根據(jù)正八邊形的八個頂點都在這個正方體同一個側(cè)面的四條棱上可構(gòu)造方程求得正八邊形的邊長，即為直觀圖的棱長，進而根據(jù)直觀圖的構(gòu)成可求得表面積.【詳解】設(shè)正方體棱長為，正方體的所有頂點都在半徑為的球面上，，解得：；設(shè)正八邊形的邊長為，則，整理可得：，解得：，即直觀圖棱長為；由直觀圖可知：印信是由個正方形，個等邊三角形拼接而成，印信的表面積.故答案為：.35．如圖，在直三棱柱中，，，已知G與E分別為和的中點，D和F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點），若，則線段DF的長度的平方取值范圍為__________.【答案】.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可得，再表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴當(dāng)時，有最小值，即為，顯然線段DF長度的最大值是1，但不包括端點，故不能取1，綜上，線段DF長度的平方取值范圍為.故答案為：.36．如圖，在長方體中，已知，點，分別在棱，上.二面角的大小為30°.若三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由題條件可求，再利用長方體的性質(zhì)可得三棱錐的外接球的半徑，即求.【詳解】如圖過D作DE⊥MN于E，連D1E，則，由長方體的性質(zhì)可知，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN，DD1∩DE=D，∴MN⊥平面DED1∴∠D1ED為二面角的平面角，∴∠D1ED，又，∴，又三棱錐的體積為，∴，∴，∴，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，則，∴三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：37．異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點C、D分別在直線a、b上，若，，，則________．【答案】或【分析】過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，要注意E、C在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情況，結(jié)合已知有，再過C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的長度，在Rt△DEC中應(yīng)用勾股定理求.【詳解】由題意，過B作BE//AC且過D作DE⊥BE于E，連接BE、CE，如下示意圖，∴由題設(shè)知：面ABEC為直角梯形且，過C作CF⊥BE于F，則CF=AB=2，，可得DE=，BE=，∴如圖1，易得EF=，則EC=，在Rt△DEC中，CD=.如圖2，易得EF=，則EC=，在Rt△DEC中，CD=.故答案為：或38．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為4的正方形，SD⊥面ABCD，點M、N分別是AD、CD的中點，P為SD上一點，且SD＝3PD＝3，H為正方形ABCD內(nèi)一點，若SH∥面PMN，則SH的最小值為__．【答案】【分析】取為中點，連結(jié)，可證明平面平面，故當(dāng)H在上運動時，始終有SH∥面PMN，由于，故當(dāng)在中點時，，SH取得最小值，計算即得解【詳解】連接BD,AC交于點O，MN交BD于Q,如圖所示：四棱錐S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SD⊥BD；由點M、N分別是AD、CD的中點，所以MN∥AC；取為中點，連結(jié)，交BD于E，故,又SD＝3PD＝3，連接SE，則＝＝，所以PQ∥SE；又,故平面平面,故當(dāng)H在上運動時，始終有SH∥面PMN由于為中點，故,當(dāng)在中點時，,此時SH取得最小值為＝＝．故答案為：39．如圖，在中，，，是棱的中點，以為折痕把折疊，使點到達點的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由已知求出，當(dāng)，即平面，三棱錐體積最大，再利用模型法求出外接球半徑即得解.【詳解】在中，因為，，由余弦定理可得，所以，當(dāng)，即平面，三棱錐體積最大，此時??兩兩垂直，可把三棱錐補形為一個長方體，且長方體長?寬?高分別為：，所以三棱錐的外接球半徑為：，所以外接球的表面積為.故答案為：40．在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是，且平面平面，活動彈子分別在正方形對角線上移動，若，則長度的最小值為__________．【答案】【分析】的最小值即為兩條異面直線間的距離，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線的公垂向量為，由距離公式可求得答案.【詳解】分別是異面直線上的點，的最小值即為兩條異面直線間的距離，平面平面，，平面平面，平面，又，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)異面直線的公垂向量為，則,令，則，，，即的最小值為．故答案為：任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題一、單選題1．已知四面體ABCD的所有棱長均為，M，N分別為棱AD，BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動點．有下列結(jié)論：①線段MN的長度為1；②若點G為線段MN上的動點，則無論點F與G如何運動，直線FG與直線CD都是異面直線；③的余弦值的取值范圍為；④周長的最小值為．其中正確結(jié)論的為（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】將正四面體ABCD放置于正方體中，由M，N所處位置即可判斷①；取AB，MN，CD中點F，G，E，探討它們的關(guān)系可判斷②；計算可判斷③；把正與正展開在同一平面內(nèi)，計算即可判斷④并作答.【詳解】如圖，在棱長為1的正方體上取頂點A，B，C，D，并順次連接即可得四面體ABCD，其棱長均為，因M，N分別為棱AD，BC的中點，則M，N恰為正方體相對面的中心，即MN=1，①正確；取AB的中點F，MN的中點G，CD的中點E，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知F，G，E共線，即直線FG與直線CD交于E，②不正確；中，，，由余弦定理得：，當(dāng)點F無限接近于點B時，無限接近于，③不正確；把四面體ABCD中的正與正展開在同一平面內(nèi)，連接MN，MN必過AB的中點，在AB上任取點，連，如圖，此時，，當(dāng)且僅當(dāng)點與線段AB中點重合時取“=”，則對AB上任意點F，有最小值，于是得在四面體ABCD中，周長有最小值，④正確，所以①④為正確的結(jié)論.故選：D2．已知三棱錐，其中平面，，，.已知點為棱（不含端點）上的動點，若光線從點出發(fā)，依次經(jīng)過平面與平面反射后重新回到點，則光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】依題意可知光線所構(gòu)成的平面與平面和平面均垂直，即平面.問題等價于：光線從線段（不含端點）上的點出發(fā)，經(jīng)過反射后重新回到點，求光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍.以為原點，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)（），分別求得關(guān)于的對稱點和關(guān)于的對稱點，根據(jù)幾何光學(xué)知識可得光線經(jīng)過路徑長度為線段的長度，進而可求得結(jié)果.【詳解】依題意可知光線所構(gòu)成的平面與平面和平面均垂直.如圖，取的中點，連接，則，又平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以平面平面；因為平面，且平面，所以平面平面.所以平面與平面和平面均垂直.因此，問題等價于：光線從線段（不含端點）上的點出發(fā)，經(jīng)過反射后重新回到點，求光線經(jīng)過路徑長度的取值范圍.以為原點，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.則，，所以的方程為，即，設(shè)（）關(guān)于的對稱點為，則，解得，即，關(guān)于的對稱點為，根據(jù)幾何光學(xué)知識可得光線經(jīng)過路徑長度為線段的長度.因為，所以.故選：C.3．如圖，已知銳二面角的大小為，，，，，，，C，D為AB，MN的中點，若，記AN，CD與半平面所成角分別為，，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)面面角的定義求得，根據(jù)線面角的定義找到，，通過比較的正弦值比較兩角的大小，接著根據(jù)的范圍判斷的大小，根據(jù)線段長度的大小關(guān)系求得的大小關(guān)系.【詳解】分別過點和點作，的平行線相交于點，因為，所以,所以，過點作，連接，所以，所以,,由于，所以，所以，又因為都為銳角，所以，又，所以，則，所以；取線段中點為點，又C，D為AB，MN的中點，所以與平行且相等，所以，所以CD與半平面所成角為，顯然，又因為，所以；故選：A.4．在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與不重合），有以下四個結(jié)論：①存在點，使得平面平面；②存在點，使得平面；③若的周長為L，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可判定②正確；將平面與平面展開到同一平面，由兩點之間線段最短，可判定③正確；由三角形的面積公式，可求得的面積的范圍，可判定④錯誤.【詳解】解：連接，設(shè)平面與體對角線交于點，由，，,平面，即平面,平面，平面平面，存在點，使得平面平面，故①對；由，平面，平面，所以平面，同理由可得平面，又，所以平面平面，設(shè)平面與交于點M，則平面，所以平面，故②對；將平面與平面展開到同一平面，如圖所示則，所以的周長為L的最小值為，故③對；連接交于點O，過O作，在正方體中，平面，平面，，由，則，即，此時面積為，故④錯；故選：B．5．在棱長為1的正方體中，點P是正方體棱上一點，若滿足的點P的個數(shù)為4，則d的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得正方體的8個頂點到兩點的距離之和，進而得到得到在棱上的運動時d的取值范圍，然后再根據(jù)點的個數(shù)為4取交集即可.【詳解】如圖所示：因為頂點到兩點的距離之和分別為所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是；因為頂點，到兩點的距離之和分別為：，所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是；因為頂點到兩點的距離之和分別為：，，，，所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是；當(dāng)點分別在棱上運動時，設(shè)，易得，此式可看成點與間的距離，所以因為頂點到兩點的距離之和分別為：，，所以當(dāng)點分別在棱上運動時，的取值范圍是.由幾何直觀可知，點在正方體的每一條棱上運動時，它所在的位置與的值是一一對應(yīng)的，所以當(dāng)?shù)狞c的個數(shù)為4時，則的取值范圍是，故選：C（無答案）6．在三棱錐中，，點在面上的投影是的垂心，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，二面角的平面角記為，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意作出各二面角的平面角，再在每一個直角三角形中將角用三角函數(shù)表示出達，然后再通過比較邊長從而達到比較角的大小的目的.【詳解】因為為點在平面的投影，且為的垂心連接交于點，連接，可知平面，所以，可知，所以在上的投影為，過作，連接.連接交于，連接.這樣.又因為,在中，,可得.在中，,,，又因為在中，，所以，所以，所以，所以而所以.所以在中，，所以在中，，因為，所以，所以.由題意，可知平面，所以，又為的垂心，所以，且，所以平面，所以，取的中點，連接、.由于為正三角形，所以，且，所以平面，因此，由于為的中點，所以，又，所以三棱錐為正三棱錐.在分別，中，，而，，從而可知選項C正確.故選：C.7．已知正方體的棱長為1，是的中點，是棱上一點（不包括端點），則下列結(jié)論錯誤的是（）A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得直線與直線相交C．當(dāng)是棱的中點時，直線與直線所成的角為D．平面截正方體所得的截面是五邊形【答案】B【分析】對A用等體積轉(zhuǎn)換可知其正確；對B用反證法可知其錯誤；對C用兩異面直線所成的角可知其正確；對D由作圖可知其正確.【詳解】對于選項A：如圖，因為，所以A正確；對于選項B：若存在點，使得直線與直線相交，則，，，四點共面，又平面平面，平面，平面，所以，又，所以，矛盾.所以B錯誤；對于選項C：取的中點，連接，則，則或其補角是異面直線與所成的角，連接，易知，連接，，，由余弦定理得，所以直線與直線所成的角為，所以C正確；對于選項D：過點作的平行線，交線段于點，交直線于點，連接，交于點，連接，，則五邊形就是平面截正方體表面所得的截面，所以D正確．故選：B．8．如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（）A．的大小不會發(fā)生變化 B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大【答案】C【分析】過點作，交于點，交于點，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個選項中的角的相應(yīng)三角函數(shù)表示出來，然后判斷可得答案.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為1，，則在中，由，則過點作，交于點，交于點，連接，則,所以，在三角形沿直線折起的過程中，始終滿足.由平面平面，平面平面，所以平面由平面,則在中，,所以所以所以大小不變，故選項A正確.過作交于點，由，則由平面，又平面，則由,所以平面,所以為二面角的平面角在直角中，所以大小不變，故選項B正確.由,則，又,且所以平面，又平面,所以由平面，由平面,則所以設(shè)點到平面的距離為.由等體積法可得,即則設(shè)與平面所成的角為，則當(dāng)從滑動到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中逐漸變大.所以在這一過程中，變小，則角變小，故選項C不正確.由，則(或其補角)為與所成的角.由上可知：，則函數(shù)的對稱軸為當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以當(dāng)從1變到的過程中，變小，當(dāng)從變到0的過程中，變大，所以選項D正確.故選：C9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個點，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題實際上是求四面體外接球的面積問題.設(shè)出球心，根據(jù)已知條件求出外接球半徑即可.【詳解】由已知得△，△均為等邊三角形.如圖所示，設(shè)球心為，△的中心為，取的中點，連接，，，，，，則，，得平面，且可求得，而，所以.在平面中過點作的垂線，與的延長線交于點，由平面，得，故平面，過點作于點，則四邊形是矩形.則，，，.設(shè)球的半徑為，，則由，，得，，解得，.故三棱錐外接球的表面積.故選：B.10．已知在中，斜邊，，若將沿斜邊上的中線折起，使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意作出三棱錐的外接球的球心，進而通過計算求得外接球半徑，最終可求得外接球的表面積.【詳解】依題意知，△是邊長為1的等邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為，由正弦定理易得；△是腰長為1的等腰三角形，同理可得其外接圓半徑.在三棱錐中，分別過△和的外心、作它們的垂線，二者交于點，則是三棱錐的外接球的球心.取的中點為，連接，，由平面平面可知，四邊形為矩形.在直角△中，，，所以，所以，在直角△中，，所以.故三棱錐的外接球的表面積.故選：A.11．如圖，在長方體中，，，，點是的中點，點為棱上的動點，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.【詳解】以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、其中.則,.設(shè)是平面的一個法向量，則，不妨設(shè)x=-1，則，顯然是面的一個法向量.設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，要使平面與平面所成的銳二面角正切的最小，只需平面與平面所成的銳二面角最小，只需平面與平面所成的銳二面角余弦最大.所以當(dāng)時，最小，最大.此時，所以.故選：B12．已知正方體的棱長為，M，N為體對角線的三等分點，動點P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點P的軌跡長度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過位置關(guān)系的證明說明在平面內(nèi)，然后根據(jù)已知條件求解出的長度，根據(jù)的長度確定出在平面內(nèi)的軌跡形狀，由此求解出對應(yīng)的軌跡長度.【詳解】如圖所示：連接，因為四邊形是正方形，所以，因為平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，所以，同理可知：，又因為平面，平面，，所以平面，根據(jù)題意可知：，所以為正三角形，所以，所以，設(shè)到平面的距離為，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以即為與平面的交點，由題意可知：平面，所以，所以，再如下圖所示：在正三角形中，高，所以內(nèi)切圓的半徑，且，取的兩個三等分點，連接，所以，所以是以長度為邊長的正三角形，所以的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，圓的周長為，在內(nèi)部的軌跡是三段圓弧，每一段圓弧的圓心角為，所以對應(yīng)的軌跡長度是圓周長的一半為，故選：B.13．已知半球與圓臺有公共的底面，圓臺上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺側(cè)面積取最大值時，圓臺母線與底面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，，作于點，延長交球面于點，則由圓的相交弦定理可得，從而可求得，進而可表示出圓臺的側(cè)面積，求出其最大值，從而可得的值，然后在求出圓臺母線與底面所成角的余弦值即可【詳解】如圖1所示，設(shè)，，作于點，延長交球面于點，則，，由圓的相交弦定理及圖2得，即，解得，則圓臺側(cè)面積，則，令，則或（舍去），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取得最大值．當(dāng)時，，則．在軸截面中，為圓臺母線與底面所成的角，在中可得，故選：D．14．如圖，等腰直角中，，點為平面外一動點，滿足，，給出下列四個結(jié)論：①存在點，使得平面平面；②存在點，使得平面平面；③設(shè)的面積為，則的取值范圍是；④設(shè)二面角的大小為，則的取值范圍是.其中正確結(jié)論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】①當(dāng)時，結(jié)合條件，利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判斷；②取AP的中點M，根據(jù)，得到，利用反證法判斷；③由AP=4，AC=2，得到，由點P在平面上的極限位置判斷；④根據(jù)，由點在平面內(nèi)時，當(dāng)點運動時，設(shè)點A到平面的距離為h，根據(jù)，由判斷.【詳解】如圖所示：①當(dāng)時，又，所以平面ABC，所以，又，所以平面PBC，又平面PAC，所以平面平面，故正確；②取AP的中點M，連接BM，CM，因為，所以，假設(shè)平面平面，則平面PAC，則，而BM=BC=2，，不成立，故錯誤；③因為AP=4，AC=2，所以，當(dāng)點P在平面上，且C，P在A，B的異側(cè)，當(dāng)C，P在A，B的同側(cè)時，A，C，P共線，，因為點為平面外，則的取值范圍是，故錯誤；④因為，當(dāng)點在平面內(nèi)時，當(dāng)點運動時，設(shè)點A到平面的距離為h，因為，則，所以，所以的取值范圍是，故正確.故選：B15．已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個半圓面所在的平面垂直，折到點位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)知，過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，有，利用余弦定理、線面垂直的性質(zhì)證，結(jié)合勾股定理判斷是否為直角；再過作交于，則F為中點，連接，即直線與直線OC所成的角為，過F作于，連接，利用勾股定理及余弦定理求，即可比較與60°的大小.【詳解】圖1中過D作于，連接CE、AC，設(shè)圓的半徑為，由，則且，∴在△中，，而，∵圖2中兩個半圓面所在的平面垂直，它們交線為AB，且面，∴面，面，則，∴在Rt△中，，而∴，故，過作交于，則F為中點，連接，即直線與直線OC所成的角為，，，過F作于，連接，且面面，面，∴面，面，則，而在圖1中，，，，在△中，，∴圖2，在Rt△中，，則在△中，，∴.故選：C二、多選題16．如圖，底面ABCD為邊長是4的正方形，半圓面底面ABCD．點P為半圓弧(不含A，D點)一動點．下列說法正確的是（）A．三梭錐P—ABD的每個側(cè)面三角形都是直角三角形B．三棱錐P—ABD體積的最大值為C．三棱錐P—ABD外接球的表面積為定值D．直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為【答案】AC【分析】對于A，根據(jù)面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得，由平面幾何知識可證得，，，由此可判斷；對于B，當(dāng)點P是半圓弧的中點時，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，由棱錐的體積公式計算可判斷；對于C，取BD的中點O，則有點O為三棱錐P—ABD外接球的球心，由球的表面積公式計算可判斷；對于D，過點P作于，連接HB，則有就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，設(shè)，表示，令，由基本不等式可求得，由此可判斷.【詳解】解：對于A，因為底面ABCD為邊長是4的正方形，所以，又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以半圓面，所以，所以是直角三角形，，因為AD是圓的直徑，所以，所以是直角三角形，；因為，所以是直角三角形，，所以在中有，所以，所以是直角三角形，所以三棱錐P—ABD的每個側(cè)面三角形都是直角三角形，故A正確；對于B，在三棱錐P—ABD中，半圓面，所以AB是三棱錐P—ABD的高，當(dāng)點P是半圓弧的中點時，三棱錐P—ABD的底面積取得最大值，三棱錐P—ABD的體積取得最大值，故B不正確；對于C，取BD的中點O，由A選項的解析得，所以點O為三棱錐P—ABD外接球的球心，所以三棱錐P—ABD外接球的表面積為，故C正確；對于D，過點P作于，連接HB，又半圓面底面ABCD，半圓面底面，所以面，所以BH就是PB在面內(nèi)的射影，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角的平面角，設(shè)，則，，所以在直角三角形中，，，所以，所以，令，則，且，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足）時，取等號，所以，所以，所以，即直線PB與平面ABCD所成最大角的正弦值為，故D不正確，故選：AC.17．已知正方體的棱長為2，動點在正方形內(nèi)，則（）A．若，則三棱錐的的外接球表面積為B．若平面，則不可能垂直C．若平面，則點的位置唯一D．若點為中點，則三棱錐的體積是三棱錐體積的一半【答案】CD【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系并得出各點坐標(biāo)，設(shè)，其中，由，可知，設(shè)三棱錐的的外接球的球心為，根據(jù)球心到球上各點距離相等以及空間兩點間的距離公式，可求出球心的坐標(biāo)，再利用球的表面積公式進行計算即可判斷A選項；利用空間向量求法向量的方法求出平面的法向量，有條件得出，利用向量的數(shù)量積運算得出，進而求出，可知當(dāng)時，從而可判斷B選項；根據(jù)平面，得出，再利用向量的數(shù)量積運算即可求出和的值，即可判斷C選項；利用三棱錐體積公式和等體積法分別求出和，結(jié)合條件即可判斷D選項.【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：則，由于動點在正方形內(nèi)，可設(shè)，其中，對于A選項，由于，則為的中點，此時，設(shè)三棱錐的的外接球的球心為，則，即，解得：，所以，則三棱錐的的外接球的半徑為，所以三棱錐的的外接球表面積為，故A不正確；對于B選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，得，故，而，若平面，則，則，即，所以，此時，而，所以，當(dāng)時，，此時，則，故B不正確；對于C選項，若平面，則，由于，，則，解得：或（舍去），此時，即點的位置唯一，使得平面，故C正確；對于D選項，點為中點，由正方體可知平面，三棱錐的體積為：，由于在正方形內(nèi)，則到平面為，三棱錐體積為：，而，所以，所以三棱錐的體積是三棱錐體積的一半，故D正確.故選：CD.18．為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確（）A．經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為B．異面直線與所成的角的余弦值為C．多面體的體積為D．球離球托底面的最小距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)球的體積，應(yīng)用球體體積公式求其半徑，A