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二階導數與函數凹凸性

證明Documentnumber:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

證明設f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內具有一階和二階導數，那么若在(a,b)內f"(x)>0，則f(x)在［a,b］上的圖形是凹的。設x1和x2是［a,b］內任意兩點，且x1<x2，記(x1+x2)/2=x0,并記x2-x0=x0-x1=h，則x1=x0-h,x2=x0+h，由拉格朗日中值公式得f(xO+h)-f(x0)=f(x0+81h)h,f(x0)-f(x0-h)=f'(x0￡2h)h，其中0<01<1,0<02<1。兩式相減，得f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=［f(x0+81h)-f'(x0￡2h)］h。對f'(x)在區(qū)間［x0￡2h,x0+81h］上再利用拉格朗日中值公式，得［f(x0+eih)-f'(x0-e2h)］h=f^'(^)(ei+e2)hA2，其中x0-02h<^<x0+eiho因為f"(g)>0,所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0,即［f(x0+h)+f(x0-h)］/2>f(x0),亦即［f(x1)+f(x2)］/2>f［(x1+x2)/2］,所以f(x)在［a,b］上的圖形是凹的。f(x)v=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2，注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入f(x)v=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等價于f(x)(x2-x1)v=(x2-x)f(x1)+(x-x1)f(x2)(1)那個二階條件是充要條件，必要性證明，假設是凹的，⑴式改寫成，f(x)-f(x1)/x-x1v=f(x2)-f(x)/x2-x，其中x1vxvx2,令x趨向x1和x2，并求極限，由導數定義，f'(x1)v=f(x2)-f(x1)/x2-x1,f'(x2)>=f(x2)-f(x1)/x2-x1,所以f'(x1)v=f'(x2)，即導函數單調增，口x)>=0充分性證明，由于f''(x)>=0,f'(x)單調增(廣義的)，這里要用拉格朗日定理了f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中xlvavx.f(x2)-f(x)/x2-x=f'(b),其中xvbvx2.所以f'(a)

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