專題32 導(dǎo)數(shù)幾何意義問題必刷100題(解析版)

專題32導(dǎo)數(shù)幾何意義問題必刷100題類型一:求在曲線上一點(diǎn)的切線方程1-10題1．已知，則在曲線上一點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，于是，所以，，，故切線方程為，即.故選：A2．設(shè)函數(shù).若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得，然后分別求得，最后可得直線方程.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)所以由所以所以，則所以所以所求切線方程為，即故選：B3．曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，解得，，所以，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即.故選：D4．已知函數(shù)是奇函數(shù)且其圖象在點(diǎn)處的切線方程，設(shè)函數(shù)，則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，再求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即得解.【詳解】解：由已知得，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)?，所以，，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.故選：A5．曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出時(shí)，，由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義和傾斜角與斜率的關(guān)系，求出，利用萬能公式求出結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，由萬能公式得：所以故選：B6．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)可得，求導(dǎo)可求解，，即得解【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，則，則，，所求切線方程為，即.故選：D7．已知函數(shù)在R上滿足，則曲在點(diǎn)處的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)求出函數(shù)的解析式，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而可得到在點(diǎn)處的切線方程的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式可求切線方程.【詳解】，.

.

將代入，得，

，，

在處的切線斜率為，

函數(shù)在處的切線方程為，即.

故選：A.8．曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，然后再求切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)榕c兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，所以此切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.故選：B.9．若函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，表示出切線方程，再求出的表達(dá)式，最后借助導(dǎo)數(shù)即可作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，于是得，函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：，從而得，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故選：D10．已知是曲線上的任一點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求，結(jié)合已知根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即對(duì)任意恒成立，再利用基本不等式求出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在處的切線的傾斜角是均不小于的銳角，所以對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)任意恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以的取值范圍是.故選：C類型二:求過一點(diǎn)的切線方程1-10題1．函數(shù)過點(diǎn)的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為因?yàn)橐虼饲芯€方程為故選：D2．已知函數(shù)，若直線過點(diǎn)，且與曲線相切，則直線的斜率為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，進(jìn)而可求得直線的斜率.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，直線的斜率為，所以，直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.3．己知函數(shù)，函數(shù)，若兩函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求切線的斜率，再由數(shù)形結(jié)合，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】由題知，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為．將代入可得，故與（）相切時(shí)，,，故由兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)可得，即，故選:A．4．已知曲線的切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則此切線的斜率為（）A．e B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)為，然后求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，然后把坐標(biāo)原點(diǎn)代入即可解出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，∴，則曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，把坐標(biāo)原點(diǎn)代入，可得，解得，∴所求切線的斜率為.故選：A.5．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，可得切線為，所以，設(shè)，則與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，討論時(shí)由單調(diào)性可知不符合題意，當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性以及最值，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，所以，若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則有兩解，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，至多一解，所以不符合題意，當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；所以若與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得即，所以若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則，故選：C.6．若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.7．已知.若曲線存在兩條過點(diǎn)的切線，則的取值范圍是___________.【答案】或【分析】求導(dǎo)函數(shù)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，寫出切線方程并代入點(diǎn)得，由于有兩條切線，故方程有兩非零的根，結(jié)合判別式即可求解．【詳解】由題得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，又切線過點(diǎn)，可得，整理得，因?yàn)榍€存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根且若，則，為兩個(gè)重根，不成立即滿足，解得或．故的取值范圍是或故答案為：或8．已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，則函數(shù)的切線方程為_______________________．【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，且該直線過點(diǎn)，代入求解出的值，即可得切線方程.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以切線方程為，且該直線過點(diǎn)，所以，得，得，所以切線方程為.故答案為：9．已知雙曲線的一條漸近線與曲線相切，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，由切線過原點(diǎn)求得的值，可得出切線的斜率，進(jìn)而得出，由此可得出雙曲線的離心率為.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在處的切線方程為，由于該切線過原點(diǎn)，則，解得.所以，切線的斜率為，所以，該雙曲線的離心率為.故答案為：.10．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，構(gòu)造求出值.再另設(shè)切點(diǎn)，求出切線方程，將代入切線方程，即可求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，切線方程可求.【詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，∴.解得，∴，∴.設(shè)切點(diǎn)為，則.設(shè)切線方程為.∵，∴.∵該直線過點(diǎn)，∴，解得，∴，，∴所求直線方程為，即.故答案為：.類型三:距離問題1-10題1．已知拋物線焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的最小距離是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：利用拋物線定義求拋物線方程，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)線距離公式得到關(guān)于t的函數(shù)，求最值即可；法二：利用導(dǎo)數(shù)求與平行且與拋物線相切的直線，根據(jù)平行線的距離公式求點(diǎn)線距離最小值；法三：設(shè)平行于且與拋物線相切的直線方程，聯(lián)立拋物線應(yīng)用方程法求參數(shù)，寫出切線方程，進(jìn)而求距離.【詳解】法一：拋物線的準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知：，解得，∴拋物線的方程為．設(shè)，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.法二：如圖，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，拋物線在點(diǎn)處的切線與平行，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，得，則，即∴拋物線上的點(diǎn)到直線距離最小的點(diǎn)是，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為．法三：設(shè)與拋物線相切且與直線平行的直線為，由，整理得由，則到直線的最小距離為.故選：B．2．點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，若滿足到直線的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．5或 B．1或3 C．1 D．5【答案】D【分析】在曲線的點(diǎn)作切線，使得此切線與直線平行，得，進(jìn)而根據(jù)題意得點(diǎn)到直線的距離為時(shí)滿足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得或，再結(jié)合圖形分析即可得答案.【詳解】過函數(shù)的圖象上點(diǎn)作切線，使得此切線與直線平行，因?yàn)?，于是，所以，∴，于是?dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，則滿足到直線的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個(gè)，∴，解得或，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線不相交（如圖），從而只有一個(gè)點(diǎn)到直線距離為，所以不滿足；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線相交，滿足條件.故選：D．3．若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)距離的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖像，當(dāng)與直線平行的直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí)，此時(shí)兩點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，計(jì)算可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而算出答案.【詳解】如圖可知，當(dāng)與直線平行的直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí)，此時(shí)兩點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí)，又，即得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以兩點(diǎn)距離的最小值為.故選：B4．若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離最小值為，則實(shí)數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，得到關(guān)于的表達(dá)式，再利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合的最小值為，求出的值，即可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可知，直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則，得，由兩點(diǎn)間的距離公式得，由于的最小值為，即，，解得，因此，.故選：C.5．曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線為，則上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最近距離是A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線方程,然后根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】,

,

在點(diǎn)處的切線為l的斜率,

切線方程為,

即,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,

圓心,半徑.

則圓心到直線的距離,

上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最近距離是,

故答案為.6．在平面直角坐標(biāo)系中，是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是____________.【答案】【分析】畫出函數(shù)的大致圖象和直線，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線的平行直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最小，由點(diǎn)線距公式可得最小值.【詳解】設(shè)，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.如圖，畫出函數(shù)大致圖象以及直線，當(dāng)直線的平行直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)P到直線的距離最小.設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為，由，解得，即點(diǎn).則點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.7．設(shè)P為yx2﹣2圖象C上任意一點(diǎn)，l為C在點(diǎn)P處的切線，則坐標(biāo)原點(diǎn)O到l距離的最小值為_____.【答案】2【分析】設(shè)出切點(diǎn)P坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)求得C在點(diǎn)P處的切線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式寫出坐標(biāo)原點(diǎn)O到l距離，再由基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)P（），由yx2﹣2，得，∴，則C在點(diǎn)P處的切線方程為：，整理得：.∴坐標(biāo)原點(diǎn)O到l距離d.當(dāng)且僅當(dāng)，即x0＝0時(shí)上式等號(hào)成立.∴坐標(biāo)原點(diǎn)O到l距離的最小值為2.故答案為：2.8．設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切線，則坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的最小值為_______.【答案】2【分析】設(shè)出切點(diǎn)P的坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)求得C在點(diǎn)P處的切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式寫出坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，由函數(shù)，可得，所以，所以曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為，整理得切線的方程為，又由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最小值為2.故答案為：2.9．曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，則l上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最近距離是________．【答案】【分析】可得曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，可得圓心到直線的距離即為l上的點(diǎn)到圓x2+y2+4x+3=0上的點(diǎn)的最近距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】解：∵y=f（x）=，∴f'（x）=∴在點(diǎn)（1，1）處的切線為l的斜率k=﹣1，∴切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+y2=1，∴圓心A（﹣2，0），半徑r=1．則圓心到直線x+y﹣2=0的距離d=，∴l(xiāng)上的點(diǎn)到圓x2+y2+4x+3=0上的點(diǎn)的最近距離是d﹣r=，故答案為．10．定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離．已知曲線C1：y＝x2＋a到直線l：y＝x的距離等于C2：x2＋(y＋4)2＝2到直線l：y＝x的距離，則實(shí)數(shù)a＝______________．【答案】【詳解】試題分析：由新定義可知，直線與曲線相離，圓的圓心到直線的距離為，此時(shí)直線與圓相離，根據(jù)新定義可知，曲線到直線的距離為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，故曲線在處的切線方程為，即，于是曲線到直線的距離為，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與曲線相交，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線與曲線相離，合乎題意.綜上所述，.類型四:零點(diǎn)問題1-10題1．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件得直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】有四個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，結(jié)合過定點(diǎn)，則直線應(yīng)在過此點(diǎn)的切線以及原點(diǎn)的直線之間，過原點(diǎn)時(shí)斜率為；當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由，設(shè)切點(diǎn)，則切線斜率為，得故，所以，則切線斜率為，故.故選：B2．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當(dāng)時(shí)，.由得.設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，則有，解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有，解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.3．已知，若存在實(shí)數(shù)，使得在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，令，則，由題意可得與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，求在點(diǎn)處的切線的方程求得臨界值即可求解.【詳解】由可得：，令，則，若在上有2個(gè)零點(diǎn)，則與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，作出其圖象如圖所示：由可得，當(dāng)時(shí)，，，所以在處的切線的方程為，即，所以，因?yàn)?，所以，的取值范圍為，故選：A.4．已知函數(shù)且關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根為有三個(gè)不同的交點(diǎn)，分，討論，當(dāng)時(shí)，考慮臨界狀況，與相切，分析即得解【詳解】由題意，關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不同的交點(diǎn)結(jié)合圖像，當(dāng)時(shí)顯然不成立；當(dāng)時(shí)，考慮臨界狀況，與相切設(shè)切點(diǎn)為，由于從而切線方程為：，由于直線過原點(diǎn)故數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)不同的交點(diǎn)即關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)根故選：5．已知函數(shù)，若存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，即，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，根據(jù)題意結(jié)合圖形列出不等式組，解之即可得出答案.【詳解】解：令，即，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，又當(dāng)時(shí)，，則，則，則，即且點(diǎn)為，此時(shí)，因?yàn)榇嬖?個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，所以a的取值范圍是.故選：D.6．已知函數(shù)滿足，且時(shí)，，若時(shí)，方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，由此可畫出函數(shù)圖像，而直線為過定點(diǎn)的一條直線，當(dāng)直線與當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖像相切時(shí)，直線與在的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再結(jié)合圖像可得答案【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的圖像如圖所示，直線為過定點(diǎn)的一條直線.當(dāng)直線與當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖像相切時(shí)，直線與在的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，則切線方程為，把點(diǎn)代入得，所以；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍為，故選：C.7．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】可看作的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，分別判斷與單調(diào)性，畫出圖象，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，利用，，可得，從而，再利用圖象平移可得答案.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，令，則與有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由得單調(diào)遞增，圖象如下，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，同時(shí)，得，即，，又，，所以，此時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，可看作的圖象向右平移，此時(shí)與必有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圖象向左平移二者必然無交點(diǎn)，綜上.故選：D.8．定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，.若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，求出臨界值即：函數(shù)圖像和直線相切時(shí)的值，結(jié)合的性質(zhì)以及函數(shù)對(duì)稱性，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則.即時(shí)，單調(diào)遞增.時(shí)，單調(diào)遞減.且.若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)過點(diǎn)做曲線的切線交曲線于點(diǎn)，切線方程為：切線由過點(diǎn)，則，又∵在時(shí)單調(diào)遞減.∴，切線的斜率為，∴由對(duì)稱性知：.故選：D9．已知函數(shù)，，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出的圖象，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求解結(jié)果.【詳解】作出的圖象，如圖所示，當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則有，解得，所以相切時(shí)的斜率；將函數(shù)的圖象順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，與有0個(gè)或1個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意.故選：D.10．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出的圖象，將恰有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)”，根據(jù)與圖象相切計(jì)算出臨界值，由此求得的取值范圍.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，均過點(diǎn)，且僅有此一個(gè)交點(diǎn)，故滿足；當(dāng)時(shí)，考慮與相切，設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以滿足，結(jié)合圖象可知，若要僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，綜上可知：，故選：B.類型五:求參數(shù)問題1-10題1．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得在的圖象的上方，分別討論、、，結(jié)合圖象的平移，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，由不等式對(duì)任意的恒成立，可得的圖象不在的圖象的上方，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，由圖象可知不滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)?shù)膱D象與的圖象相切，即有為切線，由可得，設(shè)切點(diǎn)為，可得切線的斜率為，則，所以，所以，解得：，則時(shí)，滿足題意.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：.2．若曲線與有一條斜率為2的公切線，則=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由曲線與有一條斜率為2的公切線，求得切線方程，求出的導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入求得切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入切線方程即可求得的值.【詳解】由，由點(diǎn)斜式得切線方程：，對(duì)曲線，，代入得，，將代入，得：.故選：A.3．已知的最小值為0，則正實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為的圖象在函數(shù)的圖象的上方相切，利用兩個(gè)函數(shù)的圖象以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為0，所以的圖象在函數(shù)的圖象的上方相切，因?yàn)?，所以的圖象與軸的交點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，由圖可知當(dāng)正數(shù)最小時(shí)，直線與在內(nèi)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，由?故選：C4．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意求得，代入函數(shù)解析式，把問題轉(zhuǎn)化為恒成立，對(duì)分類討論，分離參數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．【詳解】解：因?yàn)椋?，又函?shù)的圖象在處的切線方程為，所以，解得，所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪ⅲ?dāng)時(shí)，成立．當(dāng)時(shí)，令，則．當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，而，所以．綜上，，所以m的取值范圍為．故選：A5．若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到，則有解．再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步求得的取值范圍．【詳解】在點(diǎn)的切線斜率為，在點(diǎn)的切線斜率為，如果兩個(gè)曲線存在公共切線，那么：．又由斜率公式得到，，由此得到，則有解，由，的圖象有公共點(diǎn)即可．當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，可得即有切點(diǎn)，，故的取值范圍是：．故選:.6．若曲線上存在兩條垂直于軸的切線，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，得到，然后將問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的解，再構(gòu)造函數(shù)，求出的取值范圍，即可得到的取值范圍．【詳解】由，得，令，則，曲線存在兩條垂直于軸的切線，在上有兩個(gè)不同的解．令，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，，．的取值范圍為．故選：．7．若函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率均大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】分析可知，不等式對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法結(jié)合基本不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，則，由題意可知，對(duì)任意的，，則，由基本不等式可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.8．設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】首先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率，將切點(diǎn)代入切線方程可得的值，即可得有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由可得，在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，將點(diǎn)代入可得，所以方程即有兩個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作的圖象如圖所示：由圖知：若與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則嗎，故答案為：9．已知k為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于x的函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.【答案】【分析】將x的函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，與有一個(gè)交點(diǎn)，則；所以當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，求出與相切時(shí)的k值，當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，所以，則，所以切線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以則，解得，所以，由圖像知有4個(gè)零點(diǎn)，則，故答案為：10．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則________.【答案】1或【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程的答案．【詳解】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點(diǎn)處的切線方程為，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或．類型六:導(dǎo)數(shù)幾何意義綜合壓軸小題1-50題一、單選題1．過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，.若的斜率等于2，則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再代入點(diǎn)M，得到A，均滿足得到一元二次方程，即得到直線的方程和斜率，結(jié)合斜率為2解得參數(shù)即可.【詳解】拋物線，即，則由切線斜率，設(shè)切點(diǎn)，則，又，所以切線方程為，即，同理切線方程為，兩切線均過點(diǎn)，故，即，所以點(diǎn)均滿足方程，即均在直線上，即直線的方程為，所以斜率為，故.故選：C.2．關(guān)于函數(shù)，下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)的圖象在處的切線方程為B．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此解不等式，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，所以，，，所以，函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由可得，所以，，解得，D選項(xiàng)正確.故選：B.3．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）(為自然對(duì)數(shù)的底)A． B． C． D．【答案】C【分析】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，對(duì)、、進(jìn)行討論可得答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為，又函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以與的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，時(shí)符合題意；時(shí)轉(zhuǎn)化為有解，即與的圖象有交點(diǎn)，是過定點(diǎn)的直線，其斜率為，若，則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn)，滿足題意；若，設(shè)，相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，切線斜率為，由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，此時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.4．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.5．已知直線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，若這兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，如要僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖直線與曲線在第二象限有一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，在第四象限有一個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得即可得解.【詳解】由題知，直線與曲線在第二象限有一個(gè)交點(diǎn)，在第四象限有一個(gè)切點(diǎn)，由切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)在曲線上，曲線在切點(diǎn)的斜率等于曲線在切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值知，可得，故選：A．6．一條傾斜角為的直線與執(zhí)物線交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)為過作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則以為切點(diǎn)的拋物線的切線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)弦所在直線的方程為，，聯(lián)立方程得，進(jìn)而得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】設(shè)弦所在直線的方程為，，所以聯(lián)立方程得，所以，解得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以聯(lián)立方程得，此時(shí)點(diǎn)在軸上方，拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，故求導(dǎo)得，所以點(diǎn)的切線的斜率為.故選：C7．已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，則的值為（）A．-2 B．3C．-1 D．-3【答案】B【分析】求得導(dǎo)數(shù)，得到及，求得曲線的切線方程，結(jié)合切線經(jīng)過原點(diǎn)，列出方程，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，又由，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，可得，解得．故選：B.8．已知偶函數(shù)滿足，且在處的導(dǎo)數(shù)，則曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可得是周期為4的函數(shù)，即可求出，得出切線方程.【詳解】由條件知，所以，從而，即函數(shù)的周期為4.在中，令得，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A.9．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；不妨令，結(jié)合圖象與函數(shù)零點(diǎn)存在定理，確定與的范圍，從而可得出結(jié)果.【詳解】由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以，則，所以，令，則，作出和的圖象，可知恰有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)榱泓c(diǎn)為，，不妨令，則，，故有，即．又，，可得，所以；又（因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以，因此），所以；即；而，確定右邊界，所以因此，，．即ABD都錯(cuò)，只有C選項(xiàng)正確.故選：C．10．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，作出的大致形狀，求出過原點(diǎn)與曲線相切的直線的斜率，則答案可求．【詳解】解：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，也就是方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，作出函數(shù)與的圖象如圖：設(shè)過原點(diǎn)的直線與相切于，則，則切線方程為．把代入，可得，解得．切點(diǎn)坐標(biāo)為,．則原點(diǎn)與切點(diǎn)連線的斜率為．則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．11．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，若點(diǎn)，分別在，的圖象上，則當(dāng)取最大值時(shí)，的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】與關(guān)于直線對(duì)稱，所以問題轉(zhuǎn)化為與有公共點(diǎn)，求得的最大值為，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，的最下值就是平行線的距離.【詳解】由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)解，即有實(shí)數(shù)解，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值為，此時(shí)，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)，如圖，因?yàn)椋?，所以，解得，所以切線方程為，易求得平行線與之間的距離為，即的最小值為.故選：D.12．已知，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，將題干條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)與的圖象，分別討論和時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象相切，求得臨界的斜率k，結(jié)合圖象分析，即可得答案.【詳解】由題意有4個(gè)零點(diǎn)，即有4個(gè)零點(diǎn).設(shè)，則恒過點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)與的圖象，如圖.由圖象可知，當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)和時(shí)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)與的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象至多有2個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，所以，解得，所以，此時(shí)函數(shù)與的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn).所以若要使函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則.故選：C.13．若函數(shù)（為常數(shù)）存在兩條均過原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線斜率，從而可得，，將問題轉(zhuǎn)化為與，，存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)；通過導(dǎo)數(shù)研究的圖象，從而得到所求范圍.【詳解】由題意得設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：，則過原點(diǎn)的切線斜率：，整理得：，存在兩條過原點(diǎn)的切線，，，存在兩個(gè)不同解，設(shè)，，則問題等價(jià)于與存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，的大致圖象如下：若與存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得：故選：B14．已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)過點(diǎn)的切線方程，切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)解，通過設(shè)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線為，，設(shè)切點(diǎn)為，則，得有三個(gè)解，令，，當(dāng)，得或，，得，所以在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，，有三個(gè)解，得，即.故選：D15．已知函數(shù)，方程恰有兩個(gè)根，記較大的根為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)求取切線方程，再結(jié)合三角計(jì)算可得.【詳解】如圖所示：函數(shù)的圖像與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，且最大的根為，則函數(shù)在處的切線為，顯然，當(dāng)時(shí)，則，切點(diǎn)坐標(biāo)為所以由點(diǎn)斜式得切線方程為即所以得，故選：D16．已知函數(shù)，若方程有且僅有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．2e B．4e C．6e D．8e【答案】A【分析】設(shè)，判斷為偶函數(shù)，只需滿足時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，即，轉(zhuǎn)化為，相切，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率即可.【詳解】解：設(shè)，可得，即有為偶函數(shù)，由題意考慮時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，即有時(shí)，，由，可得，由，相切，設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，可得切線的方程為，由切線經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得或舍去，即切線的斜率為2e，故選：A17．若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】原題等價(jià)于方程恰好有三個(gè)不同的解，作出函數(shù)的圖象，觀察圖象即可得解.【詳解】方程，即恰有三個(gè)不同的解，即函數(shù)與有三個(gè)不同的交點(diǎn).函數(shù)的圖象是頂點(diǎn)在直線的“V”型函數(shù)；函數(shù)，得斜率為-1的切線的切點(diǎn)，，即切線為和，故與相切于點(diǎn)；函數(shù)，得斜率為-1的切線的切點(diǎn)，，即切線為和，故與相切于點(diǎn)；作圖，，如下：由圖象可知，沿直線在之間滑動(dòng)時(shí)與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故.故選：B.18．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，的圖象在處切線垂直于y軸，且，則當(dāng)取最小正數(shù)時(shí)，不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得不等式的解集．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，的圖象在處切線垂直于y軸，即的圖象在處切線斜率為零，由得，則若取=，此時(shí)，，．此時(shí)，，不滿足條件．若取，，，滿足條件．則當(dāng)取最小正數(shù)時(shí)，不等式，即，故，求得．由于函數(shù)的周期為，故，即．故不等式的解集為，故選：C．19．設(shè)函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最大值是（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先設(shè)切點(diǎn)寫出曲線的切線方程，得出、的值，再利用構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可.【詳解】解：由題得，設(shè)切點(diǎn)，，則，；則切線方程為：，即，又因?yàn)?，所以，，則，令，則，則有，；，，即在上遞增，在上遞減，所以時(shí)，取最大值，即的最大值為.故選：C.20．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知直線介于與軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導(dǎo)數(shù)可得，因?yàn)?，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D21．過直線上一點(diǎn)可以作曲線兩條切線，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再將方程的根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】由題意得，設(shè)切點(diǎn)為，，則過點(diǎn)的切線方程為，整理得由點(diǎn)在切線上，則，即因?yàn)檫^直線上一點(diǎn)可以作曲線兩條切線所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，；時(shí)，則函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示由圖可知，故選：C22．已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x1＜x2)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)得，令，，轉(zhuǎn)化條件為要使函數(shù)、的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的圖象可得；數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且，即可得、，即可得解.【詳解】因?yàn)椋匀粢购瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，令，，則要使函數(shù)、的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，易知直線恒過點(diǎn)，，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)、的圖象，如圖，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)、的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以若要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，故A、B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由圖象可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，所以，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.23．若存在，使得函數(shù)與的圖象在這兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)處的切線相同，則的最大值為A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)曲線與的公共點(diǎn)為，，利用解得或，又，且，則．再由，得到．設(shè)，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．【詳解】解：設(shè)曲線與的公共點(diǎn)為，，，，，則，解得或，又，且，則．，，．設(shè)，，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．的最大值為．故選：．24．已知函數(shù)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件得函數(shù)的圖象與直線有個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可作出函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象如圖，

當(dāng)時(shí)，，，所以在處的切線的斜率；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)過原點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則的斜率，解得，；若要使函數(shù)的圖象與直線有個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得.故選：A.25．已知函數(shù)，若方程有4個(gè)零點(diǎn)，則的可能的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得解析式，令，將問題轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)來求解出的取值范圍，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)，所以.令，得，依題意，的圖象與的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出和的圖象如下圖所示.由圖可知，要使的圖象與的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，需，即.四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)符合.另外注意：當(dāng)時(shí)，，，，所以過的切線方程為，即，故此時(shí)切線方程過原點(diǎn).也即與只有個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意.故選：B26．已知函數(shù)，函數(shù)，若方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】要使方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，再分別作出函數(shù)的圖象，觀察圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】解：依題意，畫出的圖象，如圖.直線過定點(diǎn)，由圖象可知，函數(shù)的圖象與的圖象相切時(shí)，函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn).下面利用導(dǎo)數(shù)法求該切線的斜率.設(shè)切點(diǎn)為，由，得，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），要使方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D27．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出函數(shù)的圖象,①當(dāng)直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí),,推出直線與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)的范圍;②當(dāng)直線與曲線相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,通過,求出,或,,然后判斷求解的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示,

①當(dāng)直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí),,

故當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),

②當(dāng)直線與曲線相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,則,

,解得,或,，當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),

綜上的取值范圍是.故選：C.28．已知直線與曲線有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，其中，則（）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】先分析出直線與曲線在點(diǎn)A處相切，在點(diǎn)B處相交，求出直線方程為，聯(lián)立曲線方程，解方程組即得.【詳解】問題等價(jià)于直線與曲線有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象只能是這樣：直線與曲線在點(diǎn)A處相切，在點(diǎn)B處相交.由題得切線的斜率為，切線方程為.所以,所以直線方程為.把直線方程和曲線方程聯(lián)立得，，所以或.所以.故選：B29．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，作直線，得出時(shí)，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，直線與在處相切，再令，令，可得有三個(gè)解：，再結(jié)合函數(shù)的圖象可以得出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得選項(xiàng).【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，作直線，如圖，時(shí)，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)解，且，時(shí)，，則，由，解得，而時(shí)，，所以直線與在處相切，即時(shí)，方程有一個(gè)解，令，令，則，由上面的討論知方程有三個(gè)解：，而有一個(gè)解，有兩個(gè)解，有一個(gè)解，所以有4個(gè)解，所以函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.30．已知函數(shù)在上的最小值為3，直線l在y軸上的截距為，則下列結(jié)論正確是（）①實(shí)數(shù)；②直線l的斜率為1時(shí)，是曲線的切線；③曲線與直線l有且僅有一個(gè)交點(diǎn).A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性得時(shí)，取得最小值，進(jìn)而可判斷①；通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率為1時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，檢驗(yàn)不滿足可判斷②；將交點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)，即，判斷函數(shù)的單調(diào)性，得其范圍可判斷③.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋?，，，所以時(shí)，取得最小值，所以，所以.故①正確；設(shè)切點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以切線滿足斜率，∴，且過點(diǎn)，代入不成立.所以直線不是曲線的切線，故②錯(cuò)誤；又設(shè)直線，則曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于方程的根的個(gè)數(shù).由方程，得.令，則，其中，且.考察函數(shù)，其中，因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且.而方程中，，且.所以當(dāng)時(shí)，方程無根；當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一根，故當(dāng)時(shí)，曲線與直線沒有交點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤，正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)；故選：B.二、多選題31．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），過點(diǎn)作曲線的切線.下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，若只能作兩條切線，則B．當(dāng)，時(shí)，則可作三條切線C．當(dāng)時(shí)，可作三條切線，則D．當(dāng)，時(shí)，有且只有一條切線【答案】ACD【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，設(shè)切線為：，可得，設(shè)，求，利用導(dǎo)數(shù)分別求，，時(shí)的單調(diào)性和極值，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線為：，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，若只能作兩條切線，則與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)只能作一條切線，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值，極大值，若可作三條切線，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，此時(shí)與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以有且只有一條切線，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.32．已知函數(shù)，，若x1、x2、x3，x4是方程僅有的4個(gè)解，且x1<x2<x3<x4，則（）A．0<x1x2<1 B．x1x2>1C． D．【答案】AC【分析】分別作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得出x1、x2、x3，x4的數(shù)量關(guān)系及范圍即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，則，則，故A正確；與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，則，且直線與在處相切，所以，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，將上述兩式相除得，故C正確．故選：AC.33．關(guān)于函數(shù)，.下列說法正確的是（）A．在處的切線方程為B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．有兩個(gè)極值點(diǎn)D．存在唯一極小值點(diǎn)，且【答案】ABD【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，得到出的導(dǎo)數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，進(jìn)而得出切線方程，從而判定A；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值情況，進(jìn)而判定零點(diǎn)情況，從而判定BCD.【詳解】，，，，切線方程為,即,故A正確；，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，,∴，∴時(shí)，，∴單調(diào)遞增，，，在內(nèi)，存在唯一的零點(diǎn),且，且在內(nèi)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，∴為極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn).由，∴，∵，∴，∴，∴有唯一的極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，且，故C錯(cuò)誤，D正確；又∵,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知∴有兩個(gè)零點(diǎn)，故B正確；故選：ABD.34．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數(shù)，則的取值范圍為D．在上最多有個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】由定義法確定函數(shù)的奇偶性，再求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與切線斜率，以及零點(diǎn)情況.【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意，都有，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確.又，令，得(*)，因?yàn)?，，所以方?*)無實(shí)數(shù)解，即曲線的所有切線的斜率都不可能為，故B錯(cuò)誤.若為增函數(shù)，則大于等于0，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故C正確.令，得或().設(shè)，則，令，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，從而，單調(diào)遞增.又因?yàn)閷?duì)于任意，都有，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則直線與最多有2個(gè)交點(diǎn)，所以在上最多有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選ACD.35．某數(shù)學(xué)研究小組在研究牛頓三叉戟曲線時(shí)通過數(shù)學(xué)軟件繪制出其圖象（如圖），并給出以下幾個(gè)結(jié)論，則正確的有（）A．函數(shù)的極值點(diǎn)有且只有一個(gè)B．當(dāng)時(shí)，恒成立C．過原點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有2條D．若，則的最小值為【答案】ABD【分析】由確定極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)（可由圖象得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)），判斷A，由絕對(duì)值的性質(zhì)判斷B，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，判斷C，由得，然后表示出，用換元法求得最小值后判斷D．【詳解】，＝0，，，極值點(diǎn)有且只有一個(gè)，A正確；（實(shí)際上，由圖象知函數(shù)的極值點(diǎn)有且只有一個(gè)）時(shí)，，B正確；，設(shè)切點(diǎn)為，則，又切線過原點(diǎn)，所以，即，，，只有一個(gè)切點(diǎn)，過原點(diǎn)的切線只有1條，C錯(cuò)；，且，則，，，設(shè)，，，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以的最小值為，此時(shí)．D正確．故選：ABD．36．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則曲線在處的切線與相互平行B．函數(shù)在[1，4]上單調(diào)遞増的必要不充分條件是C．記函數(shù)的最小值為，則D．若，，使得在恒成立，則的最大值為3【答案】ABC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷A；求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，即可得到，從而判斷B；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C；【詳解】解：依題意，，，故，故曲線在處的切線與相互平行，故A正確；令，利用導(dǎo)數(shù)判斷D；，令，則，則，因?yàn)?，故，故函?shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件，故B正確；令得，顯然，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，令，則，得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，故C正確；，令，則.令，，∴時(shí)，，即單調(diào)遞增，∵，，設(shè)并記其零點(diǎn)為，故，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增，所以，因此，由于且，即，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC37．函數(shù)的圖象（如圖）稱為牛頓三叉戟曲線，則（）A．的極小值點(diǎn)為B．當(dāng)時(shí)，C．過原點(diǎn)且與曲線相切的直線僅有2條D．若，，則的最小值為【答案】BD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)確定極小值點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)A；按與的大小化簡(jiǎn)即可判斷選項(xiàng)B；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷選項(xiàng)C；化簡(jiǎn)，并將轉(zhuǎn)化為一新變量的函數(shù)，求其最小值即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由函數(shù)知，，求導(dǎo)得：，對(duì)于A選項(xiàng)：，，則的極小值點(diǎn)為，A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)：時(shí)，，時(shí)，時(shí)，，即時(shí)，恒有，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，而切線過原點(diǎn)，則有，解得，即過原點(diǎn)且與曲線相切的直線有一條，C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)：時(shí)，，，令，則，，時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)即有最小值3，的最小為，D正確.故選：BD38．設(shè)函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與該曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則選項(xiàng)中滿足條件的有（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】討論當(dāng)每個(gè)選項(xiàng)做為切點(diǎn)時(shí)，其切線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】A選項(xiàng)：切點(diǎn)，切線的斜率為切線方程為：設(shè)，其中又，故在內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn)，則與切線有兩個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：切點(diǎn)，切線的斜率為切線方程為：設(shè)，其中在單調(diào)減，在單調(diào)增，所以恒成立，則單調(diào)增只有一個(gè)零點(diǎn)，則與切線有1交點(diǎn)，故B正確；C選項(xiàng)：切點(diǎn)，切線的斜率為切線方程為：設(shè)，其中又，在單調(diào)減，在單調(diào)增，所以恒成立，則只有一個(gè)零點(diǎn)，則與切線有1交點(diǎn)，故C確；D選項(xiàng)：切點(diǎn)，切線的斜率為切線方程為：設(shè)，其中，，在小于0，在大于0，所以恒成立，則只有一個(gè)零點(diǎn)，則與切線有1交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD39．已知函數(shù)，則（）A．若，則函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)B．若關(guān)于的不等式函數(shù)在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C．若曲線在處的切線與相互垂直，則D．若，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求值，判斷；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增減區(qū)間，并同時(shí)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷AD選項(xiàng)；利用參變分離的方程轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，判斷B.【詳解】依題意，，故，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，令，故或，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，區(qū)間之間不能用“”，單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯(cuò)誤，A正確；當(dāng)，故，令，故，而，令，故，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故B正確．故選ABC．40．若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意可知性質(zhì)指函數(shù)的圖象上有兩個(gè)不同點(diǎn)的切線是重合的，分析各選項(xiàng)中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與原函數(shù)的奇偶性，數(shù)形結(jié)合可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)相等，求解方程，可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，性質(zhì)指函數(shù)的圖象上有兩個(gè)不同點(diǎn)的切線是重合的，即兩個(gè)不同點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等，且該點(diǎn)處函數(shù)的切線方程也相等.對(duì)于A選項(xiàng)，，則，導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)，不存在不同的兩個(gè)使得導(dǎo)數(shù)值相等，所以A不符合；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，，令，可得或，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)在和處的切線重合，所以B選項(xiàng)符合；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)兩切點(diǎn)分別為和，則兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等有：，解得：，令，則，兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，兩切點(diǎn)連線的斜率為，則，得，兩切點(diǎn)重合，不符合題意，所以C選項(xiàng)不符合；對(duì)于D選項(xiàng)，，設(shè)兩切點(diǎn)得橫坐標(biāo)分別為和，則，所以，取，，則，，兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，兩切點(diǎn)連線的直線斜率為，所以兩切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于兩切點(diǎn)連線的斜率，符合性質(zhì)，所以D選項(xiàng)符合.故選：BD.三、填空題41．若曲線與曲線有公切線，則的取值范圍是_____________.【答案】【分析】分別利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩條曲線的切線，再根據(jù)題意得到的表達(dá)式，通過構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)是曲線上一點(diǎn)，由，因此過點(diǎn)的切線的斜率為，所以切線方程為：，而，即，設(shè)是曲線上一點(diǎn)，由，所以過點(diǎn)的切線的斜率為，所以切線方程為：，而，即，當(dāng)這兩條切線重合時(shí)，就是兩個(gè)曲線的公切線，因此有：，因?yàn)?，所以設(shè)函數(shù)，，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是減函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以，故答案為：42．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為___________.【答案】【分析】，看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，轉(zhuǎn)化為一個(gè)點(diǎn)在函數(shù)上，一個(gè)點(diǎn)在直線上，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的應(yīng)用可以求出，再利用取等號(hào)的條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，則看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，其中點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在直線上，由，得，令，則，，設(shè)，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值，點(diǎn)到直線的距離為，所以，過點(diǎn)且垂直直線的直線方程為，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以.所以實(shí)數(shù)的所有可能取值為，故答案為：.43．已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若且有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____【答案】【分析】根據(jù)定義域?yàn)?，且，可知函?shù)是偶函數(shù)．所以只需研究時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即可，然后再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線等，即可解決問題．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，故函?shù)是偶函數(shù)．為自然對(duì)數(shù)的底