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數(shù)列環(huán)節(jié)一數(shù)學(xué)歸納法的原理引入新課證明某類命題多米諾骨牌的全部倒下數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用類比思想數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運算研究思路邏輯推理答案:,
,
.問題導(dǎo)入問題1已知數(shù)列滿足,
,計算,猜想其通項公式,并證明你的猜想.猜想通項公式為:(n∈N*)(n∈N*)已知數(shù)列滿足,
,計算,猜想其通項公式,并證明你的猜想.問題導(dǎo)入問題1答案:僅通過前幾項不能得出所有的結(jié)果,這樣得出的猜想不一定正確.如:17世紀(jì),法國大數(shù)學(xué)家費馬發(fā)現(xiàn),對于,分別驗證n=1,2,3,4,這個數(shù)均為質(zhì)數(shù),從而猜測:對于任意的自然數(shù),這個數(shù)都是質(zhì)數(shù).半個世紀(jì)后歐拉舉出了反例:當(dāng)n=5時,該數(shù)可拆成兩個數(shù)的乘積.追問1僅通過前幾項能得出所有的結(jié)果嗎?這樣得出的猜想一定正確嗎?猜想通項公式為:(n∈N*)(n∈N*)問題導(dǎo)入問題1已知數(shù)列滿足,
,計算,猜想其通項公式,并證明你的猜想.答案:一般來說,與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n比較小時可以逐個驗證.但當(dāng)n較大時,驗證起來會很麻煩.尤其是我們這里要證明n取所有正整數(shù)都成立,這是一個無限的問題,逐一驗證是不可能的,我們無法用常規(guī)方法嚴(yán)格證明.因此,我們很有必要尋求一種新的方法,這種方法能讓我們通過有限個步驟的推理,證明n取所有正整數(shù)時命題都成立.追問2該如何證明這個猜想呢?猜想通項公式為:(n∈N*)(n∈N*)類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行,怎么做能讓骨牌都倒下?類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行,怎么做能讓骨牌都倒下?追問1
如果碰倒第一塊骨牌,是不是其余的骨牌都將被依次推倒呢?答案:若骨牌間距過大,導(dǎo)致前一塊骨牌無法推倒后一塊骨牌,那就不能使所有骨牌都倒下.因此要讓相鄰兩個骨牌之間保持合適的間距,這個間距要能保證任意相鄰兩塊骨牌,前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行,怎么做能讓骨牌都倒下?追問2如果保證了前一塊一定能把后一塊推倒,那么它們倒了嗎?答案:如果第一塊骨牌不倒,那么后面的骨牌自然也不會倒.所以第一塊骨牌倒下,給所有骨牌倒下提供了基礎(chǔ),這個條件必不可少.可歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩個:(1)第一塊骨牌已倒;(2)前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行,怎么做能讓骨牌都倒下?可歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩個:(1)第一塊骨牌已倒;(2)前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.追問3
條件(1)與條件(2)有何聯(lián)系?類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行,怎么做能讓骨牌都倒下?可歸納得出使所有骨牌都倒下的條件有兩個:(1)第k塊骨牌已倒;(2)從第k塊開始,前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下.答案:條件(2)中k的最小值就是條件(1)中骨牌倒下的初始值.追問3
條件(1)與條件(2)有何聯(lián)系?類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行,怎么做能讓骨牌都倒下?追問4多米諾骨牌游戲與證明猜想“數(shù)列的通項公式是
”有相似性嗎?由及遞推關(guān)系由及遞推關(guān)系……遞推關(guān)系:命題:當(dāng)n=k時猜想成立,則n=k+1時猜想也成立.如果n=k時猜想成立,那么即當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.即答案:(n∈N*)類比遷移問題2將多米諾骨牌按一定間距排成一行,怎么做能讓骨牌都倒下?追問4多米諾骨牌游戲與證明猜想“數(shù)列的通項公式是
”有相似性嗎?答案:骨牌原理猜想的證明步驟(1)第一塊骨牌已經(jīng)倒下(1)證明n=1時,猜想正確(2)證明“如果前一塊倒下,則后一塊也跟著倒下”這句話是真實的(2)證明“當(dāng)n=k時猜想成立,則n=k+1時猜想也成立”是真命題根據(jù)(1)(2),所有骨牌都能倒下根據(jù)(1)(2),這個猜想對一切正整數(shù)n都成立(n∈N*)問題解決問題3類比骨牌原理,證明問題1中的猜想需要幾步?答案:需要分成兩步問題解決問題3類比骨牌原理,證明問題1中的猜想需要幾步?追問1
多米諾骨牌游戲的條件(1)是確保第一塊已經(jīng)倒下.那么猜想的證明中第一步應(yīng)該是什么呢?答案:第一步應(yīng)該證明猜想在n=1時成立.問題解決問題3類比骨牌原理,證明問題1中的猜想需要幾步?追問2骨牌原理的條件(2)是確保“如果第k塊骨牌倒下,那么第k+1塊骨牌也能倒下.”類似的,猜想的證明中就是要證明什么呢?答案:第二步應(yīng)該證明若n=k時猜想成立,則n=k+1時猜想也成立.如果能證明這一點,那么就可以由“n=1時猜想成立”推出“n=2時猜想成立”,再由“n=2時猜想成立”推出“n=3時猜想成立”,依此類推,就可以使這個猜想成立的范圍從1開始,向后一個數(shù)接一個數(shù)地傳遞到1以后地每一個數(shù),從而完成證明.抽象概括問題4你能從這個具體問題的解決辦法中,抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎?答案:一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:
(1)證明當(dāng)n=n0(n0∈N*)時命題成立;(2)以“當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立”為條件,推出“當(dāng)n=k+1時命題也成立”.
只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.抽象概括問題4你能從這個具體問題的解決辦法中,抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎?追問1
所有命題都是從n=1開始成立嗎?答案:證明起點的選擇不一定要取1,而是取證明命題成立的最小正整數(shù).如:用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“凸多邊形的內(nèi)角和為(n-2)180?!睉?yīng)從n=3開始驗證.抽象概括問題4你能從這個具體問題的解決辦法中,抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎?追問2第二步中的k是怎樣的正整數(shù)?答案:k應(yīng)該是大于或等于n0的正整數(shù),
不能把“k≥n0”改成“k>n0”.抽象概括問題4你能從這個具體問題的解決辦法中,抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎?追問3數(shù)學(xué)歸納法適用于怎樣的數(shù)學(xué)問題?答案:數(shù)學(xué)歸納法用于證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可以將這個關(guān)于正整數(shù)n的命題記為P(n).抽象概括問題4你能從這個具體問題的解決辦法中,抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎?追問4
數(shù)學(xué)歸納法這兩個步驟之間有關(guān)系嗎?答案:記P(n)
是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真.P(n0)真,P(n0+1)真……P(k)真,P(k+1)真…….歸納奠基歸納遞推抽象概括問題4你能從這個具體問題的解決辦法中,抽象概括出數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過程嗎?追問4
數(shù)學(xué)歸納法這兩個步驟之間有關(guān)系嗎?答案:記P(n)
是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真.
結(jié)論:P(n)為真.歸納奠基歸納遞推課題小結(jié)問題5什么是數(shù)學(xué)歸納法?答案:數(shù)學(xué)歸納法是用于證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題的數(shù)學(xué)演繹證明方法.課題小結(jié)問題5什么是數(shù)學(xué)歸納法?追問1
數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟都必要嗎?答案:數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟都必要.第一步是命題遞推的基礎(chǔ),我們把第一步稱為是歸納奠基.第二步是命題遞推的依據(jù),即確認(rèn)一種遞推關(guān)系,我們把第二步稱為是歸納遞推.“歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個步驟缺一不可.課題小結(jié)問題5什么是數(shù)學(xué)歸納法?追問2為了
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