導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)

第四章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法第四章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計(jì)算法；實(shí)驗(yàn)法。

理論分析法：在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對(duì)微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

實(shí)驗(yàn)法：在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)所研究對(duì)象的傳熱過(guò)程進(jìn)行研究，從而求得所求量的方法。

數(shù)值法：數(shù)值計(jì)算法，把原來(lái)在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替。通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；有限差分法、有限元法、邊界元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬。導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計(jì)算法；實(shí)驗(yàn)法。分析法：能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見。實(shí)驗(yàn)法：是傳熱學(xué)的基本研究方法。適應(yīng)性不好；費(fèi)用昂貴。數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。三種方法的特點(diǎn)：分析法：能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：根本目的相同，即確定：

①t=f(x,y,z,τ)；②熱流量。不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題一、建立控制方程及基本概念：網(wǎng)格線、步長(zhǎng)、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xynm(m,n)MN二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想基本概念：網(wǎng)格線、步長(zhǎng)、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xy三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型；其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；最后，代數(shù)方程組的形成。

對(duì)節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時(shí)，有：§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)四、設(shè)立迭代初場(chǎng)代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想四、設(shè)立迭代初場(chǎng)代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。xynm(m,n)MN

求解時(shí)遇到的問(wèn)題：

①線性；②非線性；③收斂性等。§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不斷更新。3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。1）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不再變化；§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)六、解的分析通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想六、解的分析通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題(m,n)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度tm+1,n用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)的溫度tm-1,n§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級(jí)數(shù)展三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法差分：忽略上面式子中的級(jí)數(shù)余項(xiàng)。得到差分式，并代替微分式。向前差分向后差分內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法若取上面式右邊的前三項(xiàng)，將上兩式相加同樣：內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(2)熱平衡法(m,n)(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(2)熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、有熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱量+內(nèi)熱源生成熱＝0內(nèi)節(jié)點(diǎn)對(duì)控制體每個(gè)界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法邊界節(jié)點(diǎn)為什么要建邊界節(jié)點(diǎn)離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來(lái)考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用表示內(nèi)熱源。（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直邊界節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界外角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界內(nèi)角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個(gè)問(wèn)題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱邊界第二類邊界第三類邊界不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際坐標(biāo)變換：保角變換§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個(gè)問(wèn)題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級(jí)數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)捷；泰勒級(jí)數(shù)法對(duì)于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較困難；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：§4-1導(dǎo)熱例1：對(duì)如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題，試分別列出內(nèi)節(jié)點(diǎn)m和端部節(jié)點(diǎn)M的離散方程式。已知圓截面直徑為d。例1：對(duì)如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)四、設(shè)立迭代初場(chǎng)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程式：直接解法迭代解法直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問(wèn)題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中要相應(yīng)地不斷更新）四、設(shè)立迭代初場(chǎng)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代、塊迭代、交替方向迭代等先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值：Gauss-Seidel迭代法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計(jì)算后判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10-3～10-6為k次迭代得到的計(jì)算域溫度最大值計(jì)算域溫度存在近于0的值時(shí)采用§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對(duì)角占優(yōu)原則：每個(gè)迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和(參考教材例題4-1)該條件可表示為：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成迭代形式：例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：如此經(jīng)過(guò)七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果。迭代次數(shù)t1t2t3012345670003.6255.6753.7691.7354.5454.9961.8644.0385.0581.9833.9805.0132.0033.9945.0002.0014.0005.0002.0004.0005.000如此經(jīng)過(guò)七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：迭代次數(shù)t1t2t3012300032-36-155522-396-33558722-3996-61755假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，試用高斯-塞德爾迭代法求其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)1、2、3、4點(diǎn)的溫度。200℃600℃400℃800℃234例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）1：2：3：4：200℃600℃400℃800℃234設(shè):t10=500℃,t20=650℃,t30=650℃,t40=750℃解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）200℃600℃400℃800℃迭代次數(shù)t1t2t3t4012345500650650750475556.25556.25628.15428.125514.06514.06607.03407.057503.52503.52601.76401.76500.88500.88600.44400.44500.22500.22600.11迭代次數(shù)t1t2§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問(wèn)題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算中偏差ε總存在，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可減小誤差。計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性?！?-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm，肋根溫度t0=100℃，流體溫度tf=20℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=25W/(m2·K),肋片導(dǎo)熱系數(shù)λ=50W/(m·K),設(shè)肋端絕熱。將該肋片等分成4個(gè)節(jié)點(diǎn)。試列出節(jié)點(diǎn)2,3,4的離散方程式，并計(jì)算其溫度。例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm解：這是一個(gè)一維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題。利用熱平衡法列節(jié)點(diǎn)的離散方程。節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3：節(jié)點(diǎn)4：式中Δx=H/3，將已知條件（t1=100℃）代入可得：解：這是一個(gè)一維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題。利用熱平衡法利用迭代法解得：與精確解相比較，此時(shí)：利用迭代法解得：與精確解導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對(duì)空間坐標(biāo)離散外，還需要對(duì)時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行離散處理。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源tfhtfhxt0平板加熱問(wèn)題第三類邊界條件定解條件：控制方程：一、建立控制方程及定解條件一維非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法tftfxt0平板加熱問(wèn)題定解條件：控制方程：一、建立控二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）(m,n)一維非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）(m,n)一維非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常向前差分格式向后差分格式中心差分格式Δx為空間步長(zhǎng)Δτ為時(shí)間步長(zhǎng)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法向前差分格式向后差分格式中心差分格式Δx為空間步長(zhǎng)Δτ控制方程離散化：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分?jǐn)U散項(xiàng)中心差分點(diǎn)（n,i）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法擴(kuò)散項(xiàng)(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）控制方程離散化：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分?jǐn)U散項(xiàng)中心差分點(diǎn)（n,i）其中：——一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分方程(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法其中：——一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分方程(1)泰勒從所有方向流入控制體的總熱量＝控制體內(nèi)能的增量?jī)?nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法從所有方向流入控制體的總熱量?jī)?nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建內(nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法其中：內(nèi)節(jié)點(diǎn)n(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）左邊對(duì)稱絕熱邊界4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）左4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(2)熱平衡法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）右邊第三類邊界4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(2)熱平衡法三、建立節(jié)顯示格式存在穩(wěn)定性問(wèn)題：如果節(jié)點(diǎn)tn(i)

前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。顯示格式顯示格式：格式右邊全部為第i時(shí)間層的溫度值，只要i時(shí)間層溫度已知，即可計(jì)算得到i+1時(shí)間層的溫度。即：空間步長(zhǎng)?x和時(shí)間步長(zhǎng)?τ的選取有限制顯示格式的穩(wěn)定性條件：4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法四、一維導(dǎo)熱問(wèn)題顯式差分格式的不穩(wěn)定性討論顯示格式存在穩(wěn)定性問(wèn)題：如果節(jié)點(diǎn)tn(i)前面的系數(shù)小于隱式格式隱式格式：空間離散采用（i+1）時(shí)層的值。隱式格式不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)沒有限制，但是計(jì)算量較大。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法隱式格式隱式格式：空間離散采用（i+1）時(shí)層的值。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2．討論一維導(dǎo)熱問(wèn)題顯式差分格式穩(wěn)定性限制的物理意義由節(jié)點(diǎn)顯式差分方程可以看出，前的系數(shù)可能是負(fù)值。當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，時(shí)刻節(jié)點(diǎn)溫度越高，時(shí)刻的溫度卻越低，違背了熱力學(xué)第二定律。4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法2．討論一維導(dǎo)熱問(wèn)題顯式差分格式穩(wěn)定性限制的物理意義4-表面溫度在不同Δτ時(shí)的計(jì)算值4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法表面溫度在不同Δτ時(shí)的計(jì)算值4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法1．首先選擇空間坐標(biāo)間隔Δx，即距離步長(zhǎng)。對(duì)二維問(wèn)題一般使Δy=Δx。2．對(duì)顯式格式差分方程，根據(jù)方程的穩(wěn)定性條件選擇允許的最大時(shí)間步長(zhǎng)Δτ

；在穩(wěn)定性條件允許范圍內(nèi)，Δτ越大，計(jì)算工作量越小，但精度較差；對(duì)一維問(wèn)題，一般取，即可滿足工程精度要求；對(duì)于隱式差分方程，Δx、Δτ可任意選取，不必進(jìn)行穩(wěn)定性條件校核；4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、節(jié)點(diǎn)方程組的求解1．首先選擇空間坐標(biāo)間隔Δx，即距離步長(zhǎng)。對(duì)二維問(wèn)題一般3.按題意給定的初始溫度分布，確定各節(jié)點(diǎn)上的溫度初值；4.根椐建立的差分方程組，求Δτ時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度tn(1)；5.再由tn(1)為初值，換用τ=2Δτ（即k=2），重復(fù)4計(jì)算出tn(2)，如此反復(fù)，最后得到j(luò)時(shí)刻的tn(j)。4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法3.按題意給定的初始溫度分布，確定各節(jié)點(diǎn)上的溫度初值；4.第四章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法第四章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計(jì)算法；實(shí)驗(yàn)法。

理論分析法：在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對(duì)微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

實(shí)驗(yàn)法：在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)所研究對(duì)象的傳熱過(guò)程進(jìn)行研究，從而求得所求量的方法。

數(shù)值法：數(shù)值計(jì)算法，把原來(lái)在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替。通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；有限差分法、有限元法、邊界元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬。導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本方法：理論分析法；數(shù)值計(jì)算法；實(shí)驗(yàn)法。分析法：能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見。實(shí)驗(yàn)法：是傳熱學(xué)的基本研究方法。適應(yīng)性不好；費(fèi)用昂貴。數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。三種方法的特點(diǎn)：分析法：能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：根本目的相同，即確定：

①t=f(x,y,z,τ)；②熱流量。不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解的步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題一、建立控制方程及基本概念：網(wǎng)格線、步長(zhǎng)、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xynm(m,n)MN二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想基本概念：網(wǎng)格線、步長(zhǎng)、節(jié)點(diǎn)(內(nèi)、外)、界面線、控制容積xy三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型；其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；最后，代數(shù)方程組的形成。

對(duì)節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時(shí)，有：§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)四、設(shè)立迭代初場(chǎng)代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想四、設(shè)立迭代初場(chǎng)代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。xynm(m,n)MN

求解時(shí)遇到的問(wèn)題：

①線性；②非線性；③收斂性等?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不斷更新。3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。1）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過(guò)程中不再變化；§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想五、求解代數(shù)方程組2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)六、解的分析通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想六、解的分析通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題一、建立控制方程及定解條件控制方程：定解條件：§4-2二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題(m,n)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、有均勻內(nèi)熱源、常三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度tm+1,n用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來(lái)表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)的溫度tm-1,n§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(1)泰勒級(jí)數(shù)展三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法差分：忽略上面式子中的級(jí)數(shù)余項(xiàng)。得到差分式，并代替微分式。向前差分向后差分內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)中心差分幾種差分的比較或三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法若取上面式右邊的前三項(xiàng)，將上兩式相加同樣：內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(1)泰勒級(jí)數(shù)展開法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(2)熱平衡法(m,n)(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(2)熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、有熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱量+內(nèi)熱源生成熱＝0內(nèi)節(jié)點(diǎn)對(duì)控制體每個(gè)界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法內(nèi)節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）(2)熱平衡法(（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法邊界節(jié)點(diǎn)為什么要建邊界節(jié)點(diǎn)離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來(lái)考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用表示內(nèi)熱源。（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直邊界節(jié)點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界外角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界內(nèi)角點(diǎn)三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法（3）邊界節(jié)點(diǎn)的有限差分方程從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個(gè)問(wèn)題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱邊界第二類邊界第三類邊界不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際坐標(biāo)變換：保角變換§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程邊界節(jié)點(diǎn)離散方程中的兩個(gè)問(wèn)題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級(jí)數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)捷；泰勒級(jí)數(shù)法對(duì)于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較困難；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想三、建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：§4-1導(dǎo)熱例1：對(duì)如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題，試分別列出內(nèi)節(jié)點(diǎn)m和端部節(jié)點(diǎn)M的離散方程式。已知圓截面直徑為d。例1：對(duì)如圖所示的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)四、設(shè)立迭代初場(chǎng)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程式：直接解法迭代解法直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問(wèn)題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中要相應(yīng)地不斷更新）四、設(shè)立迭代初場(chǎng)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代、塊迭代、交替方向迭代等先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組迭代解法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值：Gauss-Seidel迭代法§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組在計(jì)算后判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10-3～10-6為k次迭代得到的計(jì)算域溫度最大值計(jì)算域溫度存在近于0的值時(shí)采用§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε為允許的偏差，一般取10§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對(duì)角占優(yōu)原則：每個(gè)迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和(參考教材例題4-1)該條件可表示為：§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法五、求解代數(shù)方程組如何避免例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成迭代形式：例4-1：利用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程：先將上式改寫成假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為：如此經(jīng)過(guò)七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果。迭代次數(shù)t1t2t3012345670003.6255.6753.7691.7354.5454.9961.8644.0385.0581.9833.9805.0132.0033.9945.0002.0014.0005.0002.0004.0005.000如此經(jīng)過(guò)七次迭代后，在四位有效數(shù)字內(nèi)得到了與精確解一致的結(jié)果假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：迭代次數(shù)t1t2t3012300032-36-155522-396-33558722-3996-61755假設(shè)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值為（經(jīng)三次迭代）：導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，試用高斯-塞德爾迭代法求其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)1、2、3、4點(diǎn)的溫度。200℃600℃400℃800℃234例2：某方形物體，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，已知各邊界溫度如圖所示，解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）1：2：3：4：200℃600℃400℃800℃234設(shè):t10=500℃,t20=650℃,t30=650℃,t40=750℃解：1）列節(jié)點(diǎn)方程（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）200℃600℃400℃800℃迭代次數(shù)t1t2t3t4012345500650650750475556.25556.25628.15428.125514.06514.06607.03407.057503.52503.52601.76401.76500.88500.88600.44400.44500.22500.22600.11迭代次數(shù)t1t2§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問(wèn)題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算中偏差ε總存在，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可減小誤差。計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性?！?-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法六、解的分析如何判斷數(shù)值解例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm，肋根溫度t0=100℃，流體溫度tf=20℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=25W/(m2·K),肋片導(dǎo)熱系數(shù)λ=50W/(m·K),設(shè)肋端絕熱。將該肋片等分成4個(gè)節(jié)點(diǎn)。試列出節(jié)點(diǎn)2,3,4的離散方程式，并計(jì)算其溫度。例3：如圖所示，一等截面之類，高H=45mm，厚δ=10mm解：這是一個(gè)一維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題。利用熱平衡法列節(jié)點(diǎn)的離散方程。節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3：節(jié)點(diǎn)4：式中Δx=H/3，將已知條件（t1=100℃）代入可得：解：這是一個(gè)一維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題。利用熱平衡法利用迭代法解得：與精確解相比較，此時(shí)：利用迭代法解得：與精確解導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法(課件)4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對(duì)空間坐標(biāo)離散外，還需要對(duì)時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行離散處理。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源tfhtfhxt0平板加熱問(wèn)題第三類邊界條件定解條件：控制方程：一、建立控制方程及定解條件一維非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法tftfxt0平板加熱問(wèn)題定解條件：控制方程：一、建立控二、區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）(m,n)一維非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱