2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)(理科)第八章立體幾何85

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§8.5空間向量及其運算1．空間向量的有關(guān)看法名稱看法表示零向模為0的向量0量單位長度（模）為1的向量向量相等a＝b向量方向相同且模相等的向量相反方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a向量表示空間向量的有向線段共線所在的直線互相平行或重a∥b向量合的向量共面平行于同一個平面的向量向量學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.空間向量中的有關(guān)定理（1)共線向量定理空間兩個向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得b＝λa。推論以下列圖，點P在l上的充要條件是錯誤!＝錯誤!＋ta①其中a叫直線l的方向向量，t∈R,在l上取錯誤!＝a，則①可化為錯誤!＝錯誤!＋t錯誤!或錯誤!＝(1－t)錯誤!＋t錯誤!.（2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a,b為不共線向量,推論的表達(dá)式為錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!或?qū)臻g任意一點O，有錯誤!＝錯誤!＋x錯誤!＋y錯誤!或錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!＋z錯誤!，其中x＋y＋z＝__1__。（3)空間向量基本定理若是向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量,a是空間任向來量,那么存在唯一一組實數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3,空間中不共面的三個向量e1,e2，e3叫作這個空間的一個基底．3．兩個向量的數(shù)量積1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a|｜b｜cos〈a，b〉．2）空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：(λa）·b＝λ(a·b)．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精②交換律:a·b＝b·a。③分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c。4．空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量a·ba1b1＋a2b2＋a3b3積共線a＝λb（b≠0）a＝λb，a＝λb,a＝λb112233a·b＝0(a≠0，垂直a1b1＋a2b2＋a3b3＝0b≠0）模｜a|錯誤!〈a,b〉（a≠0，夾角cos〈a，b〉＝錯誤!b≠0)【思慮辨析】判斷下面結(jié)論可否正確(請在括號中打“√”或“×”)（1）空間中任意兩非零向量a，b共面．(√）(2）在向量的數(shù)量積運算中(a·b)·c＝a·（b·c)．(×）3)對于非零向量b,由a·b＝b·c，則a＝c.（×）4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(×)(5）若A、B、C、D是空間任意四點，則有錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝0。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(√）(6）｜a｜－|b｜＝|a＋b｜是a、b共線的充要條件．(×）1．以下列圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若錯誤!＝a,錯誤!＝b，錯誤!＝c，則以下向量中與→相等的向量是（BM)A．－錯誤!a＋錯誤!b＋cB。錯誤!a＋錯誤!b＋cC．－錯誤!a－錯誤!b＋cD。錯誤!a－錯誤!b＋c答案A解析錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!（錯誤!－錯誤!）＝c＋錯誤!(b－a)＝－錯誤!a＋錯誤!b＋c。2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若錯誤!＝錯誤!＋x錯誤!＋y錯誤!，則x，y的值分別為（)A．x＝1,y＝1B．x＝1，y＝錯誤!C．x＝錯誤!，y＝錯誤!D．x＝錯誤!，y＝1答案C學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精解析如圖，錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!錯誤!(錯誤!＋錯誤!)．3．與向量（－3，－4,5）共線的單位向量是(A.錯誤!和錯誤!B.錯誤!C.錯誤!

＝錯誤!＋錯誤!)D。錯誤!或錯誤!答案A解析因為與向量a共線的單位向量是±錯誤!，又因為向量（－3,－4,5)的模為錯誤!＝5錯誤!，因此與向量（－3，－4，5）共線的單位向量是±錯誤!(－3,－4，5）＝±錯誤!(－3，－4，5)，應(yīng)選A.4．如圖，在周圍體O－ABC中,錯誤!＝a，錯誤!＝b，錯誤!＝c，為BC的中點，E為AD的中點,則錯誤!＝________（用a，b,c表示)．答案錯誤!a＋錯誤!b＋錯誤!c解析OE，→＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!a＋錯誤!b＋錯誤!c.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精題型一空間向量的線性運算例1三棱錐O－ABC中，M,N分別是OA，BC的中點，是△ABC的重心,用基向量錯誤!，錯誤!，錯誤!表示錯誤!，錯誤!。思想點撥利用空間向量的加減法和數(shù)乘運算表示即可．解錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!(錯誤!－錯誤!)＝錯誤!錯誤!＋錯誤![錯誤!（錯誤!＋錯誤!)－錯誤!］＝－錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!.錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!錯誤!－錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!.思想升華用已知向量來表示未知向量，必然要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的要點．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和,等于由初步向量的始點指向尾端向量的終點的向量，我們把這個法規(guī)稱為向量加法的多邊形法規(guī)．以下列圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中,O為AC的中點．設(shè)E是棱DD1上的點，且錯誤!＝錯誤!錯誤!，試用錯誤!，錯誤!,錯誤!表示錯誤!.解錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!（錯誤!＋錯誤!)＝學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2錯誤!＋錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!－錯誤!錯誤!－錯誤!錯誤!。3題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，1)求證：E、F、G、H四點共面；2)求證:BD∥平面EFGH;3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＋錯誤!)．思想點撥對于（1),只要證出向量錯誤!＝錯誤!＋錯誤!即可；對于(2),只要證犯錯誤!與錯誤!共線即可；對于(3），易知四邊形EFGH為平行四邊形，則點M為線段EG與FH的中點,于是向量錯誤!可由向量錯誤!和錯誤!表示，再將錯誤!與錯誤!分別用向量錯誤!，錯誤!和向量錯誤!,錯誤!表示．證明(1)連接BG,則錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝→＋＋EB錯誤!(錯誤!錯誤!)＝錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!,由共面向量定理的推論知：學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精E、F、G、H四點共面．(2)因為EH，→＝錯誤!－錯誤!＝錯誤!錯誤!－錯誤!錯誤!＝錯誤!(錯誤!－錯誤!）＝錯誤!錯誤!,因此EH∥BD。又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH,因此BD∥平面EFGH。3)找一點O，并連接OM，OA,OB，OC,OD，OE，OG。由(2)知錯誤!＝錯誤!錯誤!，同理錯誤!＝錯誤!錯誤!,因此錯誤!＝錯誤!，即EH綊FG，因此四邊形EFGH是平行四邊形．因此EG,FH交于一點M且被M均分．故錯誤!＝錯誤!（錯誤!＋錯誤!)＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!＋錯誤!錯誤!＝錯誤!(錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＋錯誤!）．思想升華（1)證明點共線的方法證明點共線的問題可轉(zhuǎn)變成證明向量共線的問題，如證明A，B，C三點共線，即證明錯誤!,錯誤!共線，亦即證明錯誤!＝λ錯誤!(λ≠0）．2）證明點共面的方法證明點共面問題可轉(zhuǎn)變成證明向量共面問題，如要證明P,A,B，C四學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精點共面，只要能證明錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!或?qū)臻g任一點O，有錯誤!＝錯誤!x錯誤!＋y錯誤!或錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!＋zOC(x＋y＋z＝1）即可．共面向量定理實質(zhì)上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的點，F(xiàn)是AC上的點，且A1E＝2EB，CF＝2AF,則EF與平面A1B1CD的地址關(guān)系為________．答案平行解析取錯誤!＝a，錯誤!＝b，錯誤!＝c為基底，易得錯誤!＝－錯誤!(a－b＋c)，而錯誤!＝a－b＋c，即錯誤!∥錯誤!，故EF∥DB1,且EF?平面A1B1CD，DB1?平面A1B1CD，因此EF∥平面A1B1CD。題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3（2014·四川）三棱錐A－BCD及其側(cè)視圖、俯視圖以下列圖．設(shè)M,N分別為線段AD，AB的中點，P為線段BC上的點，且MN⊥NP.(1)證明：P是線段BC的中點；（2）求二面角A－NP－M的余弦值．思想點撥（1）將錯誤!表示為λ利用錯誤!·錯誤!＝0錯誤!求出λ數(shù)量積求解．;（2)建立直角坐標(biāo)系,利用向量坐標(biāo)的學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(1)證明如圖(1），取BD的中點O,連接AO，CO.由側(cè)視圖及俯視圖知ABD,△，△BCD均為正三角形，因此AO⊥BD，OC⊥BD.因為AO?平面AOC，OC?平面AOC,且AO∩OC＝O，圖(1）因此BD⊥平面AOC。又因為AC?平面AOC，因此BD⊥AC.取BO的中點H，連接NH,PH.又M,N分別為線段AD,AB的中點，因此NH∥AO，MN∥BD。因為AO⊥BD,因此NH⊥BD。因為MN⊥NP，因此BD⊥NP.因為NH?平面NHP,NP?平面NHP，且NH∩NP＝N,因此BD⊥平面NHP.又因為HP?平面NHP，因此BD⊥HP.又OC⊥BD,HP?平面BCD,OC?平面BCD,因此HP∥OC。因為H為BO中點，故P為BC中點．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）解方法一如圖(2)，作NQ⊥AC于Q，連接MQ.由(1）知,NP∥AC，因此NQ⊥NP.因為MN⊥NP,因此∠MNQ為二面角A－NP－M的一個平面角．由(1)知,△ABD，△BCD為邊長為2的正三角形，圖（2）因此AO＝OC＝錯誤!。由俯視圖可知，AO⊥平面BCD。因為OC?平面BCD，因此AO⊥OC，因此在等腰Rt△AOC中，AC＝6。作BR⊥AC于R，在△ABC中，AB＝BC，因此BR＝錯誤!＝錯誤!.因為在平面ABC內(nèi),NQ⊥AC，BR⊥AC，因此NQ∥BR。又因為N為AB的中點，因此Q為AR的中點，BR因此NQ＝2＝錯誤!.同理，可得MQ＝錯誤!.因此在等腰△MNQ中,cosMNQ∠＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。故二面角A－NP－M的余弦值為錯誤!。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精方法二由俯視圖及(1)可知，AO⊥平面BCD。因為OC?平面BCD，OB?平面BCD，因此AO⊥OC，AO⊥OB.又OC⊥OB，因此直線OA，OB，OC兩兩垂直．如圖(3)，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以錯誤!，錯誤!,錯誤!的方向為x軸，y軸,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A（0，0，3)，B（1，0，0），C(0，錯誤!，0)，D（－1,0,0)．因為M,N分別為線段AD,AB的中點，圖(3)又由（1）知,P為線段BC的中點，因此M(－錯誤!，0，錯誤!）,N（錯誤!,0，錯誤!)，P（錯誤!，錯誤!，0)．于是錯誤!＝(1，0，－錯誤!),錯誤!＝（－1，錯誤!,0）,錯誤!＝(1,0，0)，錯誤!＝（0，錯誤!，－錯誤!)．設(shè)平面ABC的一個法向量n1＝(x1，y1，z1），則錯誤!即錯誤!有錯誤!從而錯誤!取z1＝1,則x1＝錯誤!，y1＝1，因此n1＝（錯誤!，1，1)．設(shè)平面MNP的一個法向量n2＝(x2,y2，z2)，則錯誤!即錯誤!學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精有錯誤!從而錯誤!取z2＝1,因此n2＝（0，1,1)．設(shè)二面角A－NP－M的大小為θ,則cosθ＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!.故二面角A－NP－M的余弦值是錯誤!。思想升華（1）利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也能夠利用垂直關(guān)系,經(jīng)過向量共線確定點在線段上的地址；(2)利用夾角公式，能夠求異面直線所成的角，也能夠求二面角；(3）能夠經(jīng)過｜a|＝錯誤!，將向量的長度問題轉(zhuǎn)變成向量數(shù)量積的問題求解．以下列圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a,點M、N分別是AB、CD的中點．(1）求證：MN⊥AB，MN⊥CD;（2）求MN的長；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值．（1)證明設(shè)錯誤!＝p，錯誤!＝q，錯誤!＝r.由題意可知，｜p｜＝|q｜＝｜r|＝a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.錯誤!＝錯誤!－錯誤!＝錯誤!（錯誤!＋錯誤!)－錯誤!錯誤!學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精＝錯誤!（q＋r－p),∴錯誤!·錯誤!＝錯誤!(q＋r－p）·p＝錯誤!（q·p＋r·p－p2）12（a2cos60°＋a2cos60°－a2）＝0.∴錯誤!⊥錯誤!.即MN⊥AB.同理可證MN⊥CD。(2）解由（1)可知錯誤!＝錯誤!(q＋r－p），∴|錯誤!｜2＝錯誤!(q＋r－p）2＝錯誤!［q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝錯誤!［a2＋a2＋a2＋2（錯誤!－錯誤!－錯誤!）］＝錯誤!×2a2＝錯誤!?！啵e誤!|＝錯誤!a?！郙N的長為錯誤!a.(3)解設(shè)向量錯誤!與錯誤!的夾角為θ?！咤e誤!＝錯誤!(錯誤!＋錯誤!)＝錯誤!（q＋r），錯誤!＝錯誤!－錯誤!＝q－錯誤!p，∴錯誤!·錯誤!＝錯誤!（q＋r)·(q－錯誤!p)＝錯誤!（q2－錯誤!q·p＋r·q－錯誤!r·p)＝錯誤!(a2－錯誤!a2cos60°＋a2cos60°－錯誤!a2cos60°)＝錯誤!（a2－錯誤!＋錯誤!－錯誤!)＝錯誤!。又∵|錯誤!｜＝|錯誤!|＝錯誤!a，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精→θθ∴AN·錯誤!＝｜錯誤!｜|錯誤!｜cos＝錯誤!a×錯誤!a×cos＝錯誤!.∴cosθ＝錯誤!.∴向量錯誤!與錯誤!的夾角的余弦值為錯誤!,從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為錯誤!.“兩向量同向"意義不清致誤典例：已知向量a＝（1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y），并且a，b同向，則x,y的值分別為________．易錯解析將a，b同向和a∥b混淆,沒有搞清a∥b的意義：a、b方向相同或相反．解析由題意知a∥b,因此錯誤!＝錯誤!＝錯誤!，即錯誤!把①代入②得x2＋x－2＝0,（x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2,或x＝1當(dāng)x＝－2時，y＝－6;當(dāng)x＝1時，y＝3.當(dāng)錯誤!時,b＝(－2，－4，－6）＝－2a，兩向量a,b反向，不吻合題意，因此舍去．當(dāng)錯誤!時,b＝(1,2，3)＝a，a與b同向,因此錯誤!答案1,3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精溫馨提示(1)兩向量平行和兩向量同向不是等價的,同向是平行的一種情況．兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來不行立,也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行"的充分不用要條件；（2）若兩向量a，b滿足a＝λb（b≠0）且λ〉0則a，b同向；在a，b的坐標(biāo)都是非零的條件下，a，b的坐標(biāo)對應(yīng)成比率．方法與技巧1．利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)．2．利用共線向量定理、共面向量定理能夠證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算能夠解決一些距離、夾角問題．3．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)變成向量表示，用已知向量表示未知向量，爾后經(jīng)過向量的運算或證明去解決問題．失誤與防范1．向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a,·(b＋c)＝a·b＋a·c建立，但(a·b）·c＝a·(b·c)不用然建立．2．求異面直線所成的角，一般能夠轉(zhuǎn)變成兩向量的夾角，但要注意學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精兩種角的范圍不相同,最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)變.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：45分鐘）1．空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點，那么（)A.錯誤!·錯誤!<錯誤!·錯誤!B。AE，→·錯誤!＝錯誤!·錯誤!C.錯誤!·錯誤!>錯誤!·錯誤!D。錯誤!·錯誤!與錯誤!·錯誤!的大小不能夠比較答案C解析取BD的中點F，連接EF，則EF綊錯誤!CD，因為〈錯誤!,錯誤!〉＝〈錯誤!，錯誤!〉〉90°，因為錯誤!·錯誤!＝0,錯誤!·錯誤〈!0，因此錯誤!·錯誤!>錯誤!·錯誤!.2．若是三點A（1，5，－2)，B(2，4，1），C(a,3,b＋2)在同一條直線上(）A．a(chǎn)＝3，b＝－3B．a(chǎn)＝6，b＝－1C．a(chǎn)＝3,b＝2D．a(chǎn)＝－2，b＝1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精答案C解析錯誤!＝（1,－1,3），錯誤!＝(a－1,－2，b＋4），因為三點共線，所以存在實數(shù)λ使錯誤!＝λ錯誤!，即錯誤!∴a＝3，b＝2.3．已知a,b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1,則異面直線a,b所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如圖，設(shè)錯誤!＝a，錯誤!＝b,錯誤!＝c，則錯誤!＝a＋bc，因此cos<錯誤!,錯誤!>＝錯誤!＝錯誤!，因此異面直線a,b所成的角等于60°，應(yīng)選C。4．空間四點A(2,3，6）、B（4,3,2）、C(0,0,1）、D（2,0，2）的地址關(guān)系是( )A．共線B．共面C．不共面D．無法確定答案C解析∵錯誤!＝(2,0，－4),錯誤!＝（－2，－3,－5）,錯誤!＝(0，－3，－4）．假設(shè)四點共面，由共面向量定理得，存在實數(shù)x，y,使錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!，即錯誤!學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由①②得x＝y(tǒng)＝1，代入③式不行立，矛盾．∴假設(shè)不行立，故四點不共面．5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是BC、AD的中點，則錯誤!·錯誤!的值為( )A．a(chǎn)2B。錯誤!a2C。錯誤!a2D。錯誤!a2答案C解析如圖，設(shè)錯誤!＝a，錯誤!＝b,錯誤!＝c，則｜a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°。錯誤!＝錯誤!(a＋b)，錯誤!＝錯誤!c，∴錯誤!·錯誤!＝錯誤!（a＋b）·錯誤!c＝錯誤!（a·c＋b·c）＝錯誤!(a2cos60°＋a2cos60°）＝錯誤!a2。6．已知2a＋b＝（0，－5，10）,c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|12，則以b,c為方向向量的兩直線的夾角為________．答案60°解析由題意得,(2a＋b）·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝錯誤!＝錯誤!＝－錯誤!，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精∴〈b，c〉＝120°，∴兩直線的夾角為60°.7．如圖，在空間四邊形OABC中，若OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值為______．答案錯誤!解析∵錯誤!＝錯誤!－錯誤!,→∴OA·錯誤!＝錯誤!·（錯誤!－錯誤!)＝錯誤!·錯誤!－錯誤!·錯誤!＝｜錯誤!|｜錯誤!｜cos〈錯誤!,錯誤!>－｜錯誤!||錯誤!｜cos〈錯誤!，錯誤!〉＝8×4×cos135°8×6×cos120°＝24－162。cos<錯誤!，錯誤!>＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。故錯誤!與錯誤!夾角的余弦值為錯誤!，即直線OA與BC所成角的余弦值為錯誤!.8．在空間四邊形ABCD中，則錯誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!的值為________．答案0解析方法一如圖,令錯誤!＝a,錯誤!＝b，錯誤!＝c,則錯誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!＝錯誤!·(錯誤!－錯誤!）＋錯誤!·(錯誤!－錯誤!）＋錯誤!·(錯誤!－錯誤!)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精a·(c－b）＋b·（a－c)＋c·(b－a)a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a0。方法二如圖,在三棱錐A－BCD中，不如令其各棱長都相等，則正周圍體的對棱互相垂直．∴錯誤!·錯誤!＝0，錯誤!·錯誤!＝0，錯誤!·錯誤!＝0?！噱e誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!＋錯誤!·錯誤!＝0。9．已知向量a＝(1,－3,2)，b＝（－2,1，1），點A(－3，－1，4)，B（－2,－2，2)．1)求|2a＋b|；(2)在直線AB上可否存在一點E，使得錯誤!⊥b（O為原點）？解(1)∵a＝(1,－3，2)，b＝（－2,1，1)，∴2a＋b＝（0，－5，5），|2a＋b|＝錯誤!＝5錯誤!。(2）假設(shè)存在點E，其坐標(biāo)為E（x,y，z），則錯誤!＝λ錯誤!,即（x＋3，y＋1,z－4)＝λ(1，－1，－2），∴錯誤!∴E(λ－3,－λ－1，－2λ＋4）,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精∴錯誤!＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又∵b＝（－2，1,1)，錯誤!⊥b，∴錯誤!·b＝－2（λ－3）＋(－λ－1)＋(－2λ＋4）＝－5λ＋9＝0，∴λ＝錯誤!，∴E（－錯誤!,－錯誤!,錯誤!)，∴在直線AB上存在點E（－錯誤!，－錯誤!，錯誤!),使錯誤!⊥b.10．以下列圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以極點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°。1)求AC1的長；2）求BD1與AC夾角的余弦值．解（1）記錯誤!＝a,錯誤!＝b,錯誤!＝c，則|a｜＝|b|＝|c|＝1，〈a，b>＝〈b，c>＝〈c，a〉＝60°，1a·b＝b·c＝c·a＝2。｜錯誤!｜2＝（a＋b＋c）2a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a)1＋1＋1＋2×（錯誤!＋錯誤!＋錯誤!)＝6，∴|錯誤!|＝錯誤!,即AC1的長為錯誤!。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）錯誤!＝b＋c－a，錯誤!＝a＋b，∴｜錯誤!｜＝錯誤!,｜錯誤!|＝錯誤!，錯誤!·錯誤!＝(b＋c－a)·(a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1。cos〈錯誤!，錯誤!>＝錯誤!＝錯誤!。AC與BD1夾角的余弦值為錯誤!。B組專項能力提升(時間：30分鐘）11．設(shè)向量a、b、c不共面，則以下會集可作為空間的一個基底的是(）A．｛a＋b，b－a,a｝B．{a＋b，b－a,b}C．｛a＋b，b－a，c}D．{a＋b＋c，a＋b，c｝答案C解析A中，a＝錯誤!(a＋b）－錯誤!（b－a)，故三向量共面，不能夠作基底；B中,b＝錯誤!(a＋b)＋錯誤!（b－a)，故三向量共面，不能夠作基底；中，c＝(a＋b＋c）－（a＋b)，故三向量共面,不能夠作基底．12．以下命題中,正確的命題個數(shù)為（)①若a,b共線，則a與b所在直線平行；②若｛a，b,c｝為空間一個基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間的學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精另一個基底；③若空間向量m、n、p滿足m＝n，n＝p，則m＝p;④對空間任意一點O和不共線三點A、B、C，若錯誤!＝x錯誤!＋y錯誤!＋z錯誤!(其中x，y，z∈R），則P、A、B、C四點共面．A．1B．2C．3D．4答案