【知識(shí)點(diǎn)解析】不等式與不等式組知識(shí)卡片大全

不等號(hào)的由來(lái)現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系，如何用符號(hào)來(lái)表示呢？為了尋求一套表示“大于”或“小于”的符號(hào)，1631年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首先采用符號(hào)“＞”，“＜”表示“小于”，這就是現(xiàn)在通用的大于號(hào)和小于號(hào).但當(dāng)時(shí)它們的使用并沒(méi)有被數(shù)學(xué)界所接受，直到100多年后“＞”和“＜”才逐漸成為標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用符號(hào).與哈里奧特同時(shí)代的數(shù)學(xué)家們也創(chuàng)造了一些表示大小關(guān)系的符號(hào)，但都因書(shū)寫(xiě)起來(lái)十分繁瑣而被淘汰.后來(lái)，人們?cè)诒磉_(dá)不等關(guān)系時(shí)，在許多情況下，要用到一個(gè)數(shù)（或量）大于或等于另一個(gè)數(shù)（或量），此時(shí)就把“＞”和“＝”結(jié)合起來(lái)得到符號(hào)“≥”，讀作“大于或等于”，有時(shí)也稱為“不小于”.同樣，把符號(hào)“≤”讀作“小于或等于”，有時(shí)也稱為“不大于”.＞＜≥≤不等號(hào)的讀法和含義用數(shù)軸表示不等式的解集的步驟不等式的解集的不同類型不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4如果a>b，那么b<a.性質(zhì)5如果a>b，b>c，那么a>c.如果

a＞b，c＜0，那么

ac

＜

bc（或）．如果

a＞b，那么a±c＞b±c．如果

a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）．比較大小的方法（4）數(shù)軸比較法：將兩個(gè)數(shù)分別表示在數(shù)軸上，右邊點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊點(diǎn)表示的數(shù)大，兩數(shù)表示在同一點(diǎn)則這兩數(shù)相等.（1）求差法：（2）求商法：（3）絕對(duì)值比較法：除此之外還有平方法、倒數(shù)法等，比較兩個(gè)數(shù)的大小，實(shí)際上是由符號(hào)與絕對(duì)值兩方面來(lái)確定，盡量不用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小.解一元一次不等式對(duì)比解一元一次方程與解一元一次不等式利用數(shù)軸確定不等式組的解集同大取大同小取小大小小大中間找無(wú)解大大小小無(wú)處找abababab利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題（不等式（組））實(shí)際問(wèn)題的解答設(shè)未知數(shù)列不等式（組）數(shù)學(xué)問(wèn)題的解（不等式（組）的解集）檢驗(yàn)解不等式不等式的概念內(nèi)

容一般地，用符號(hào)“<”(或“≤”），“>”(或“≥”）連接的式子叫作不等式

常用種類種類符號(hào)實(shí)際意義讀法舉例小于號(hào)<小于、不足小于2+3<6大于號(hào)>大于、超過(guò)大于3+3>5小于或等于號(hào)≤不大于、不超過(guò)、至多小于或等于x≤5大于或等于號(hào)≥不小于、不低于、至少大于或等于x≥8溫馨提示(1)用“≠”連接的式子也是不等式.(2)

不等號(hào)的方向決定數(shù)的大?。翰坏忍?hào)的開(kāi)口所對(duì)的數(shù)較大，不等號(hào)的尖角所對(duì)的數(shù)較小.列不等式列不等式的概念用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)把表示不等關(guān)系的量的代數(shù)式連接起來(lái)，就是列不等式列不等式的步驟（1）分析題意，找出題目中的各種量；（2）用代數(shù)式表示各量；（3）尋找各種量之間的不等關(guān)系，特別注意關(guān)鍵詞：至少、最多、最少、不超過(guò)、不低于等；（4）用適當(dāng)?shù)姆?hào)將各量連接起來(lái)常見(jiàn)的不等關(guān)系①a是正數(shù)a>0；②a是負(fù)數(shù)a<0；③a是非正數(shù)a≤0；④a是非負(fù)數(shù)a≥0；⑤a不大于b

a≤b；

⑥a不小于b

a≥b不等式的基本性質(zhì)1內(nèi)容不等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變符號(hào)語(yǔ)言如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；如果a<b，那么a+c<b+c，a-c<b-c.溫馨提示（1）“兩邊”是指不等號(hào)的左右兩邊.（2）“都”是指不等式的兩邊必須同加（或同減）.（3）“同一個(gè)整式”的含義：不僅包括相同的單項(xiàng)式，還包括相同的多項(xiàng)式.（4）“方向不變”：結(jié)果保持原來(lái)的不等號(hào).不等式的基本性質(zhì)2內(nèi)容不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變符號(hào)語(yǔ)言溫馨提示（1）運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2時(shí)，應(yīng)注意它的“兩同”要求：①兩邊同時(shí)乘（或除以）；②同一個(gè)正數(shù).（2）要正確理解“不等號(hào)方向不變”的含義，它是指如果原來(lái)為“>”，那么變化后仍為“>”；如果原來(lái)為“<”，那么變化后仍為“<”.（3）在不等式的兩邊不能都乘零，乘零后不等式變?yōu)榈仁?不等式的基本性質(zhì)3內(nèi)容不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變符號(hào)語(yǔ)言溫馨提示（1）運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)3時(shí)，需注意兩點(diǎn)：①兩邊同乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)；②改變不等號(hào)的方向.（2）運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2，3時(shí)，要先確定是同乘（或除以）正數(shù)還是負(fù)數(shù)，然后再確定是否變號(hào).（3）對(duì)不等式的基本性質(zhì)2，3可總結(jié)為：負(fù)變正不變.不等式的相關(guān)概念概念示例不等式的解能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解是具體的未知數(shù)，不是一個(gè)范圍4是不等式x+1>3的解不等式的解集一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.不等式的解集是一個(gè)集合，一個(gè)范圍，包含不等式的每一個(gè)解.不等式x+1>3的解集為x>2注意：不等式的解和不等式的解集是兩個(gè)不同的概念，不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值，而不等式的解集是由滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值組成，解集中包含了每一個(gè)解.解不等式注意:（1）解不等式的主要依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，解不等式的實(shí)質(zhì)是把不等式化成“x>a（或x≥a）”或“x<a(或x≤a）”的形式.在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解題時(shí)應(yīng)特別注意：不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變；不等式兩邊不能都乘0.（2）判斷不等式無(wú)解的過(guò)程也叫解不等式.解不等式：求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式.不等式解集的表示方法2.用數(shù)軸表示：不等式的解集表示的是未知數(shù)的取值范圍，所以不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái).用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)應(yīng)確定兩點(diǎn)：一是確定“邊界點(diǎn)”，若解集包含“邊界點(diǎn)”，則用實(shí)心圓點(diǎn)；若解集不包含“邊界點(diǎn)”，則用空心圓圈；二是確定“方向”，大于“邊界點(diǎn)”向右畫(huà)，小于“邊界點(diǎn)”向左畫(huà)，畫(huà)線要與數(shù)軸平行.一般地，利用數(shù)軸表示不等式的解集通常有以下四種情況：1.用不等式表示：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，它的解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式“x>a（x≥a）”或“x<a(x≤a）”表示出來(lái).不等式的解集x>ax≥ax<ax≤a數(shù)軸表示aaaa一元一次不等式的概念一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式.一元一次不等式一元一次方程

相同點(diǎn)未知數(shù)個(gè)數(shù)11未知數(shù)的最高次數(shù)11式子特點(diǎn)左右均為整式左右均為整式不同點(diǎn)表示關(guān)系不相等相等一元一次不等式與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別：列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)遇的步驟與列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟類似，步驟如下：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量和未知量，找出題目中隱含的一個(gè)不等關(guān)系（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)（3）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式（4）解：解一元一次不等式，求出其解集.（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的不等式的解集是否符合題意（6）答：寫(xiě)出答案.注意：（1）利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，其關(guān)鍵是尋找不等關(guān)系，建立不等式模型，列出不等式，尤其要注意所列的不等式是否包含等號(hào)（2）實(shí)際問(wèn)題的解，需要滿足兩個(gè)要求：一是滿足不等式；二是滿足實(shí)際青況.如人數(shù)、次數(shù)、物體個(gè)數(shù)等為非負(fù)整數(shù)，長(zhǎng)度、面積等為非負(fù)數(shù).一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系一元一次不等式解集kx+b>0(k≠0）直線y=kx+b（k≠0）在x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.kx+b<0(k≠0）直線y=kx+b（k≠0）在x軸下方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.kx+b>a(k≠0）直線y=kx+b（k≠0）在直線y=a上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.kx+b<a(k≠0）直線y=kx+b（k≠0）在直線y=a下方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.k1x+b1>k2x+b2(k1k2≠0）直線y=k1x+b1（k1≠0）在直線y=k2x+b2（k2≠0）上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.k1x+b1<k2x+b2(k1k2≠0）直線y=k1x+b1（k1≠0）在直線y=k2x+b2（k2≠0）下方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式的綜合應(yīng)用1.一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式這三者之間的關(guān)系常用來(lái)解決比較型的方案決策問(wèn)題，即對(duì)兩種不同的方案進(jìn)行比較，從而判斷或選擇某種合算的方案。常見(jiàn)的問(wèn)題有購(gòu)物問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、支出問(wèn)題等.2.解答方案決策問(wèn)題的一般步驟（1）根據(jù)條件中兩組獨(dú)立的變量關(guān)系列出相關(guān)的兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)1=k1x+b1和y2=k2x+b2;（2）根據(jù)y1與y2之間的大小關(guān)系（y1＞y2或y1＝y(tǒng)2或y1＜y2）分情況求得相應(yīng)的x的值或取值范圍;（3）比較所得的結(jié)果，根據(jù)問(wèn)題的要求進(jìn)行判斷或決策.一元一次不等式組一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組.注意：一元一次不等式組必須滿足三個(gè)條件：（1）組成不等式組的每個(gè)不等式都是一元一次不等式；（2）不等式組中只含有同一個(gè)未知數(shù)；（3）不等式組中的一元一次不等式的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上.一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集.一元一次不等式組的解集：注意：（1）“公共部分”是指同時(shí)滿足不等式組中每一個(gè)不等式的解集的共有部分，如果組成不等式組的各個(gè)不等式的解集沒(méi)有公共部分，則這個(gè)不等式組無(wú)解；（2)不等式組的解集適合于不等式組中的每一個(gè)不等式.一元一次不等式組的解法1.解不等式組：求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組.2.解一元一次不等式組的步驟：（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；（2）利用數(shù)軸或“口訣”求出這些不等式解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集.注意：（1）在數(shù)軸上表示不等式組的解集時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是向右畫(huà)還是向左畫(huà)；二是用實(shí)心圓點(diǎn)還是空心圓圈.（2）解不等式組與解方程組不同，解不等式組既不能用加減法，也不能用代入法，而應(yīng)先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，再找出它們的公共部分.利用一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)題列一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)遇的步驟：（1）審：分析題目中的已知量、未知量及它們之間的關(guān)系，找出題目中的不等關(guān)系.（2）設(shè)：設(shè)出合適的未知數(shù).（3）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出一元一次不等式組.（4）