【知識點解析】二次根式知識卡片大全

二次根式的發(fā)展史二次根式與開平方運算及二次方程求解相關，幾乎所有的文明古國對開平方運算都早有研究.古巴比倫人制作了平方根表、立方根表.古埃及人也有開平方計算，他們用“?！北硎酒椒礁?中國古代的數(shù)學著作《九章算術》也記載有“開方術”和一元二次方程的數(shù)值求解程序.3世紀的數(shù)學家劉徽，在他所著的《九章算術注》的“割圓術”中，用勾股定理計算圓內(nèi)接正多邊形邊長時，出現(xiàn)了比較復雜的二次根式.奧地利數(shù)學家魯?shù)婪蛴?6世紀引進的二次根式符號“”，使二次根式表示簡約明了.從法國數(shù)學家韋達開始，數(shù)學家們進行了代數(shù)符號系統(tǒng)化工作，使二次根式更方便地成為數(shù)學計算的工具.二次根式引入螞蟻和大象一樣重嗎？我們知道，即時是最大的螞蟻與最小的大象，它們的重量也明顯不是一個數(shù)量級的.但是下面的“推導”卻讓我們大吃一驚：螞蟻和大象一樣重??？

設螞蟻的重量為x克，大象的重量為y克，它們的重量和為2a克，即

x+y=2a.兩邊同乘(x-y)，得(x+y)(x-y)=2a(x-y)，即x2-y2=2ax-2ay.可變形為x2-2ax=y2-2ay.兩邊都加上a2，得(x-a)2=(y-a)2.

得x-a=y-a，所以x=y.這里竟然得出了“螞蟻和大象一樣重”的結(jié)論，豈不荒唐！那么問題究竟出在哪里呢？二次根式與算術平方根總結(jié)二次根式的性質(zhì)

二次根式的乘除

二次根式的乘法法則積的算術平方根的性質(zhì)

二次根式的除法法則商的算術平方根的性質(zhì)

數(shù)學家-秦九韶秦九韶（約1202—約1261），字道古，南宋數(shù)學家.他在1247年完成著作《數(shù)書九章》.《數(shù)書九章》是一部劃時代的數(shù)學巨著，全書共18卷，81題，分為九大類.此書實用性強，所設問題復雜，解題步驟詳細，對“大衍求一術”（一次同余組解法）和“正負開方術”（高次方程的數(shù)值解法）等有十分深入的研究.二次根式知識結(jié)構圖二次根式知識結(jié)構圖二次根式的乘除知識結(jié)構圖二次根式的加減知識結(jié)構圖二次根式的定義

二次根式的性質(zhì)

注意：①化簡時一定要先將它化為，再根據(jù)絕對值的意義行化簡.②注意與的區(qū)別與聯(lián)系.

積（商）的算術平方根的性質(zhì)積的算術平方根性質(zhì)：商的算術平方根性質(zhì)：注意：（1）積的算術平方根的性質(zhì)的實質(zhì)是逆用二次根式的乘法法則，它對兩個以上的積的算術平方根同樣適用.（2）商的算術平方的性質(zhì)的實質(zhì)是逆用二次根式的除法法則，其前提條件是商中被除式是非負數(shù)，除式是正數(shù)，其作用是化簡二次根式，將分母中的根號化去.分母有理化定義化去分母中根號的變形叫作分母有理化依據(jù)方法將分子和分母都乘分母的有理化因式拓展（1）有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個代數(shù)式互拓展為有理化因式;（2）常用的有理化因式：最簡二次根式

定義一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫作最簡二次根式

滿足

兩個

條件（1）被開方數(shù)不含分母，也就是被開方數(shù)必須是整數(shù)（或式）；（2）被開方數(shù)中每個因數(shù)（式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個因數(shù)（式）的指數(shù)都是1.

三

個

步

驟一分，利用因數(shù)（式）分解的方法把被開方數(shù)的分子，分母都化成質(zhì)因數(shù)（式）的冪的乘積形式；二移，把能開得盡方的因數(shù)（式）用它的算術平方根代替，移到根號外，其中，把根號內(nèi)的分母中的因式移到根號外要注意應寫在分母的位置上；三化，將分母有理化，化去被開方數(shù)中的分母.同類二次根式的判斷（1）同類二次根式類似于整式中的同類項.（2）幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同.（3）判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同.同類二次根式的判斷:化簡二次根式的步驟（1）把被開方數(shù)分解因式；（2）利用積的算術平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；（3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.化簡二次根式的步驟:化簡二次根式的步驟（1）把被開方數(shù)分解因式；（2）利用積的算術平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；（3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.化簡二次根式的步驟:二次根式的乘除法（2）二次根式的除法法則：二次根式的乘除法（1）二次根式的乘法法則：注意：①

是積的算術平方根性質(zhì)的逆用，此法則可推廣到多個二次根式相乘，即.是商的算術平方根性質(zhì)的逆用，如果a，b是負數(shù)，那么

無意義.二次根式的加減（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號;②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡;③合并被開方數(shù)相同的二次根式.注意：①與整式的加減類似，二次根式的加減，就是化簡后合并被開方數(shù)相同的二次根式，合并時，只將二次根式的“系數(shù)”相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.②二次根式中的系數(shù)不能寫成帶分數(shù).③二次根式的加減法也滿足加法交換律和結(jié)合律.比較二次根式大小的方法（1）被開方數(shù)法：若根號外有數(shù)，可先將根號外的數(shù)平方后移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較.（2）平方法：如果a>b>0,則;如果0<a<b,則（3）估算法：若一個非負數(shù)a介于另兩個非負數(shù)c，d之間，則（4）倒數(shù)法