大題保分練1　三角函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)案例、立體幾何、選考2選1

6/6大題保分練(一)三角函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)案例、立體幾何、選考2選11．如圖，D為△ABC中BC邊上一點(diǎn)，∠B＝60°，AB＝4，AC＝4eq\r(3).給出如下三種數(shù)值方案：①AD＝eq\r(5)；②AD＝eq\r(15)；③AD＝2eq\r(7).判斷上述三種方案所對(duì)應(yīng)的△ABD的個(gè)數(shù)，并求△ABD唯一時(shí)，BD的長(zhǎng)．[解]由于∠B＝60°，AB＝4，過(guò)A作BC的垂線(xiàn)AO，垂足為O(圖略)，則AO＝4sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).①AD＝eq\r(5)<2eq\r(3)，此時(shí)滿(mǎn)足條件的△ABD有0個(gè)；②AD＝eq\r(15)∈(2eq\r(3)，4)，此時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形有2個(gè)；③AD＝2eq\r(7)∈(4,4eq\r(3))，此時(shí)滿(mǎn)足條件的△ABD有1個(gè)．此時(shí)AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°，即28＝16＋BD2－2×4×BD×eq\f(1,2)，解得BD＝6.2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n是奇數(shù),2n，n是偶數(shù)))，并記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求T2n.[解](1)由a1＝S1＝eq\f(1,6)(a1＋1)(a1＋2)，即(a1－2)(a1－1)＝0，因?yàn)閍1＝S1>1，所以a1＝2，由6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*，可得6Sn＋1＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)，兩式相減可得6an＋1＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，得(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0，又an>0，得an＋1－an＝3，所以{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1.(2)T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(22＋24＋…＋22n)＝(2＋8＋14＋…＋6n－4)＋(22＋24＋…＋22n)＝eq\f(n2＋6n－4,2)＋eq\f(41－4n,1－4)＝eq\f(4n＋1－4,3)＋3n2－n.3．根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)顯示，從2015年到2019年全國(guó)居民人均可支配收入x(單位：萬(wàn)元)與全國(guó)居民人均消費(fèi)支出y(單位：萬(wàn)元)均呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)表(表中數(shù)據(jù)已四舍五入處理)如下：年份20152016201720182019全國(guó)居民人均可支配收入x/萬(wàn)元2.22.42.62.83.1全國(guó)居民人均消費(fèi)支出y/萬(wàn)元1.61.71.82.02.2(1)在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖，求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，5)的相關(guān)系數(shù)r的值，并說(shuō)明兩個(gè)變量x，y之間的線(xiàn)性相關(guān)強(qiáng)度；(2)求出樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，5)的線(xiàn)性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up7(^))的實(shí)際意義．參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))xi＝13.1，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))yi＝9.3，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))xiyi＝24.70，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝34.81，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝17.53，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up7(－))eq\s\up12(2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))y\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up7(－))eq\s\up12(2))))≈0.336.參考公式：對(duì)于一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)，其回歸直線(xiàn)eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up7(－))eq\s\up12(2))，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)；樣本(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up7(－))eq\s\up12(2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(n),\s\do8(i＝1))y\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up7(－))eq\s\up12(2))))).[解](1)根據(jù)題意，在坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖如圖所示：由于eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))xi＝2.62，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))yi＝1.86，則由公式得r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up7(－))eq\s\up12(2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))y\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up7(－))eq\s\up12(2)))))≈eq\f(24.70－5×2.62×1.86,0.336)≈0.99.即兩個(gè)變量x，y之間呈線(xiàn)性正相關(guān)，兩者高度相關(guān)．(2)由于eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(5),\s\do8(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up7(－))eq\s\up12(2))＝eq\f(24.70－5×2.62×1.86,34.81－5×2.622)＝eq\f(0.334,0.488)≈0.68，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝1.86－0.68×2.62≈0.08，故回歸方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝0.68x＋0.08，回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up7(^))＝0.68表明當(dāng)全國(guó)居民人均可支配收入每增加1萬(wàn)元時(shí)，全國(guó)居民人均消費(fèi)支出大約平均增加0.68萬(wàn)元．4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2.(1)證明：平面PAC⊥平面PBC；(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離．[解](1)證明：在直角梯形ABCD中，由∠BAD＝∠CDA＝90°，AD＝DC＝1，AB＝2，得AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．(2)由(1)得BC⊥PC，PC＝eq\r(3)，S△PBC＝eq\f(1,2)PC×BC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2)，S△DBC＝eq\f(1,2)DC×AD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，VP-BDC＝eq\f(1,3)S△DBC×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為h，則VD-PBC＝eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(6),2)h＝eq\f(\r(6),6)h＝VP-DBC＝eq\f(1,6)，所以h＝eq\f(\r(6),6)，所以點(diǎn)D到平面PBC的距離為eq\f(\r(6),6).5．選考題：請(qǐng)?jiān)谝韵聝深}中任選一題作答．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在極坐標(biāo)系中，圓C：ρ＝4cosθ.以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－1，－3eq\r(3))且傾斜角為α.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的參數(shù)方程；(2)已知直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，滿(mǎn)足A為MB的中點(diǎn)，求α.[解](1)由圓C：ρ＝4cosθ可得ρ2＝4ρcosθ，因?yàn)棣?＝x2＋y2，x＝ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，故圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4.直線(xiàn)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα,y＝－3\r(3)＋tsinα))(t為參數(shù)，0≤α＜π)．(2)設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程并整理，得t2－6t(eq\r(3)sinα＋cosα)＋32＝0，Δ＝36(eq\r(3)sinα＋cosα)2－4×32＞0，①所以tA＋tB＝6(eq\r(3)sinα＋cosα)，tA·tB＝32.又A為MB的中點(diǎn)，所以tB＝2tA，因此tA＝2(eq\r(3)sinα＋cosα)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，tB＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，所以tA·tB＝32sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝32，即sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1.因?yàn)?≤α＜π，所以eq\f(π,6)≤α＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，從而α＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,3)，又α＝eq\f(π,3)滿(mǎn)足①式，所以所求α＝eq\f(π,3).[選修4－5：不等式選講]設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.(1)畫(huà)出y＝f(x)的圖象；(2)若f(x)≤m|x|＋n，求m＋n的最小值．[解](1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co