造價員基礎-投影的基礎知識

模塊二投投影的的基礎知知識2.1投投影概念念2.3點的投影2.2正正投影特特性2.4直線的投影2.5平面的投影ScdbBCDAH2.1投影概念念2.1.1投影的形形成形體各輪輪廓線的的影所組組成的圖圖形，稱稱為該形形體的投影圖，簡稱投影。投影形成成的三個個要素：：投射線（光線））空間形體體（物體））投影面（落影面面）2.1.2投投影的分分類1.中心心投影所有的投投射線都都交匯于于投射中中心S。2.平行行投影（（斜投影影、正投投影）斜投影：：投射線線相互平平行且傾傾斜于投投影面正投影：：投射線線相互平平行且垂垂直于投投影面2.1.3常常用的投投影圖1.透視視投影圖圖：是用中心心投影法法繪制的的單面投投影圖,有很強的的立體感感，但作作圖方法法復雜，，度量性性差。2.軸測測投影圖圖：為單面平平行投影影圖,同樣具有有較強的的立體感感，作圖圖方法較較復雜，，度量性性差。3.正投投影圖:通常采用用多面正正投影。。直觀性性差，但但作圖簡簡單，能能很好地地反映形形體的形形狀和大大小，度度量性好好，是工工程圖的的主要圖圖示方法法。4.標高高投影圖圖:是一種帶帶有高程程數(shù)字標標記的水水平正投投影圖，，為單面面投影圖圖。主要要用于表表達地面面的形狀狀，繪制制地形圖圖。2.2正正投影影特性2.2.1點點、直線線、平面面的正投投影特性性1.類類似性點的正投投影仍然然是點，，直線的的正投影影一般仍仍然是直直線，平平面的正正投影仍仍然保留留其空間間幾何形形狀，這這種性質質稱為正正投影的的類似性。HHH（b）ABCDd（c）ABAbcb2．全等性性空間直線線、平面面平行于投影面面，其正正投影分分別反映映實長和實形，這種性性質稱為為正投影影的全等性。HHABCD（b）ABbdcbab//ABab=ABabcd//ABCDabcd=ABCD3.積聚聚性空間直線線、平面面垂直于投影面面時，在在該投影影面上的的正投影影分別成成為一個個點和一一條直線線，這種種性質稱稱為正投投影的積聚性。。（b）HAHB(b)BCDA(b)d(c)4.重合性兩個或兩兩個以上上的點、、線、面面具有同同一投影影時，稱稱為重影，這種投投影性質質稱為正正投影的的重合性。。（b）（c）HBAHHC(b,c)ABCDPp(q)d(c)(b)WYWVHYH2.2.2三面面正投影影圖WZYXOH1.三面正投投影圖的的形成1)建立三個個投影面面：V面——正立投影影面（簡稱正面）H面——水平投影影面（簡稱水平面）W面——側立投影影面（簡稱側面）H、V、W三個投影影面互相相垂直相相交，其其交線0X、0Y、0Z稱為投影軸，分別代代表長、寬、、高方向。2)把形體放放在三投投影面體體系中，，分別向向V面、H面、W面進行投投射，可可得到形形體的三三面正投投影圖。。2.三面正投投影圖的的展開展開的三三面正投投影圖YWZWVHYHXO側面投影影圖正面投影影圖水平投影影圖投影連線45°輔助線去掉投影影面邊框框和投影影軸后的的三面正正投影圖圖VXWZYOH3.三面正投投影圖的的投影規(guī)律律（對應應關系））前上左后右下前后上下右左上下前后右左（1）三面正投投影圖中的方位關系系：V投影反映映左右和和上下；；H投影反映映左右和和前后；；W投影反映映前后和和上下。。3.三面正投投影圖的的投影規(guī)律律(續(xù))上上下左右前后下前后左右3.三面正投投影圖的的投影規(guī)律律（續(xù)）長高寬寬投影關系系(三等關系系)：V、H投影長長對正正；V、W投影高高平齊齊；H、W投影寬寬相等等。長寬高物體的長長、寬、、高：長—左右距離離（X方向）寬—前后距離離（Y方向）高—上下距離離（Z方向）（2）三面正投投影圖的三等關系系V投影方向H投影方向W投影方向例1（教材例例1.1）用投影影關系，，畫出形形體的三三面正投投影圖畫圖步驟驟：1.分析形體體、布置置圖面，，確定投投影方向向2.用H鉛筆畫底底稿線（（細線）），按1:1從立體圖圖上沿軸軸向量取取尺寸3.整理、加加深加粗粗（用B或2B），檢查查驗證2.3點的投影影2.3.1點的投影影1.點的單面面投影如圖所示示，H面為一水水平投影影面。過過空間點點A向H面引一條條垂線，，該垂線線與H面產(chǎn)生交交點a，a點稱為空空間點A在H面上的正正投影。。如果已已知A點的空間間位置，，則其正正投影a唯一可求求；反過過來，已已知A點的正投投影a，卻不能能唯一確確定A點在空間間的位置置。2.aaz=aayH=Aa=x=A→Waax=aaz=Aa=y=A→Vaax=aayW=Aa=z=A→H2.3.2點的的三面投投影規(guī)律律1.aaoX，aaoZ點的投影影規(guī)律一點的兩兩投影之之間的連連線垂直直于投影影軸；點點的一個個投影到到某投影影軸的距距離等于于空間點點到與該該投影軸軸相鄰的的另一投投影面之之間的距距離。因此在求求作點A的V面投影a′時，應保保證做到到:點的V面投影與與H面投影之之間的連連線垂直直于0X軸，即a′a⊥0X；點的V面投影與與W面投影之之間的連連線垂直直0Z軸，即a′a″⊥0Z；點的H面投影到到0X軸的距離離，與點點的W面投影到到0Z軸的距離離兩者相相等，都反映映點到V面的距離離,即aaX=a″aZ。點的投影影與直角角坐標的的關系若把三個個投影面面當作空空間直角角坐標面面，投影影軸當作作直角坐坐標軸，，則點的空間間位置可可用其（（X、Y、Z）三個坐坐標來確確定，點的投投影就反反映了點點的坐標標值，其其投影與與坐標值值之間存存在著對對應關系系。點的每一一個投影影反映了了點的兩兩個坐標標（H投影反映映了x和y，V投影反映映了x和z，w投影反映映了y和z）。已知知點的兩兩個投影影，則點點的X、Y、Z三個坐標標就可確確定，即即空間點點是唯一一確定的的。因此此已知一一個點的的任意兩兩個投影影即可求求出其第第三投影影。ZXYHaOb'a'YWb"a"b例2（圖1-15）已知A、B兩兩點的兩兩面投影影圖，求求作其第第三投影影。XHVZYWOCcca

bb″特殊點的的投影A屬于H投影面B屬于V投影面C屬于OX投影軸a″c″AaBb

HVWOZYWYHbb″a

a″Cccc″A屬于H投影面B屬于V投影面C屬于OX投影軸特殊點的的投影（（續(xù)）AaBb

XHVZYWOCcca

bb″a″c″AaBb

XOZY2.3.3兩點點的相對對位置兩點中X值大的點點在在左兩點中Y值大的點點在在前兩點中Z值大的點點在在上a

a

ab

b

bXZYWYHOaa

ab

bb

BAA點在B點之右A點在B點之前A點在B點之上重影點及及投影的的可見性性如果空間間兩點的的某兩個個坐標相相同，兩兩點就位位于某一一投影面面的同一一條投射射線上，，兩點在在該投影影面上的的投影重重合為一一點，這這兩點就就稱為該該投影面面的重影點。重影點中中不可見見點的符符號應加加括號表表示。(a)H面的重影影點(b)V面的重影影點(c)W面的重影影點例3已知A、、B、C三點的的各一個個投影a、b′′、c〞〞，且：：Aa=10，，B點距距V面20，C點在A點的右右方15，完成成三個點點的三面面投影。。aXZYHYWb′c〞10a〞20bb〞15c′ca′例4已知A點在B點之前5毫毫米，之上上9毫米，，之右8毫毫米，C點點在A點的的正后方5毫米,求求A、C點的投影。。a

a

aXZYWYHOb

bb

985cc(c′)利用點的相相對位置求求點的投影影2.4直線線的投影2.4.1直直線線的單面投投影投影特性：：直線傾斜投投影面，投投影為縮短短的直線(類似性)。直線垂直投投影面，投投影積聚為一點(積聚性)。直線平行投投影面，投投影反映實實長（全等等性）。abDCc(d)AB直線的投影影可以由屬屬于直線的的任意兩點點的同面投影來確定。2.4.2一一般位置置直線的三三面投影一般位置直直線AB與三三個投影面面都傾斜，，直線的三三面投影ab、a′b′′、a″b″相對于于各投影軸軸而言，均均為斜線，，直線的投投影長度均均小于直線線實長，且且沒有積聚聚性，直線線的投影不不反映直線線對投影面面傾角的真真實大小。。2.4.3投投影面垂垂直線的三三面投影2.4.4投影面平行行線的三面面投影例5（圖1-19）如圖1-19a，已知鉛垂垂線AB的一個端點點A的兩面投影影a、a′，直線實長長為AB（長度如圖圖），并知知B點在A點的正上方方，求作AB的三面投影影圖。例6（圖1-20）已知正平線線AB的端端點A的投投影a、a′a″，，直線實長長為AB（（長度如圖圖），AB與H面的的傾角α=30°，，B點在A點的右上上方。求作作AB的三三面投影圖圖。2.4.2直直線上上的點1.直線上上點的投影影規(guī)律：點點C在直線線AB上，，點C的三三面投影在在直線AB的各同面面投影上并并符合點的的投影規(guī)律律。2.定比性性：若點C在直線AB上，則則有AC∶∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′′b′=a″c″∶∶c″b″″c例7已已知線段AB的投影影圖，試將將AB分成成1：2兩兩段，求求分分點C的投投影。b′Xa′abOc例8已知點C在在線段AB上，求點點C的正面面投影。b′Xa′bacOc′2.4.3一一般位位置直線的的實長和傾傾角一般位置直直線的實長長和傾角不不能在投影影圖中直接接定出，應應根據(jù)投影影圖作圖求求得，常用用的作圖方方法是直角三角形形法。1.求線段段的實長及及傾角α在直角三角角形AA1B中，斜邊AB是線段的實長，直角邊BA1為水平投影ab之長，另一條直直角邊AA1是AB兩點的z坐標之差△△z，斜邊AB與直角邊BA1的夾角為直直線段對H面的傾角α。2.求線段的實實長及傾角角β直角三角形形法小結：：直角三角形形法是用來來解決一些些空間問題題的一種方方法，如求求空間直線線的實長、、傾角、以以及通過求求坐標差來來求空間直直線的投影影等等。在我們所討討論的直角角三角形中中，有四個個要素：實實長、傾角角、投影、、坐標差。。四個要素素中任意知知道兩個要要素，都可可以求到另另兩個要素素。但必須須弄清楚這這些要素的的關系。在在解題的時時候搞清楚楚每一個三三角形的含含義及目的的。坐標差△X△Y△Z實長投影W面投影a″b″V面投影a′b′H面投影ab傾角例9（圖1-26）已知AB的正面投影影a′b′和a，線段的實實長為AB（長度如圖圖），點B在點A的前邊。求求作ab及傾角β。例10（圖1-27）已知直線線AB的投影ab、a′及α=30°，B點高于A點。求作a′b′及AB的實長。2.4.4兩兩直直線的相對對位置在空間，兩兩條直線的的相對位置置有以下三三種情況：：1）兩直線平行行2）兩直線線相交3）兩直線線交叉（既既不平行，，也不相交交）兩直線平行行和兩直線線相交稱為為共面直線，兩直線交交叉稱為異面直線。1.兩直線線平行（1）投影影特性：如果兩直線線在空間平平行，則各各同面投影影除了積聚聚和重影外外，仍然平平行。如果AB∥∥CD，則則有：ab∥cd、a′′b′∥c′d′、、a″b″″∥c″d″。（2）兩直線線平行的判判斷：1)若兩直線的的三組同面面投影都平平行，則兩兩直線在空空間為平行行關系；2)若兩直線為為一般線，，只要有兩兩組同面投投影互相平平行，即可可判定兩直直線在空間間是平行關關系；3）若兩直線線是某一投投影面的平平行線，同同時，兩直直線在該投投影面上的的投影仍為為平行關系系，則兩直直線在空間間是平行關關系。2.兩直線相交交（1）投影特性性：兩直線在空空間相交，，則各同面面投影除了了積聚和重重影外必相相交，且交交點符合點點的投影規(guī)規(guī)律。如果AB與CD相交，交點點為K，則有ab與cd相交于k，a′b′與c′d′相交于k′，且kk′⊥OX。（2）兩直線相相交的判斷斷：1)若兩直線的的各同面投投影都相交交，且交點點符合點的的投影規(guī)律律，則兩直直線相交；；2)對一般線而而言，只要要有兩組同同面投影相相交，且交交點符合點點的投影規(guī)規(guī)律，則兩兩直線相交交；3)兩直線中有有某一投影影面的平行行線時，必必須驗證兩兩直線在該該投影面上上的投影是是否滿足相相交的條件件，才能判判定兩直線線是否相交交，或者在在二面投影影中用定比比性作圖來來判斷交點點是否符合合點的投影影規(guī)律，判判定兩直線線是否相交交。3.兩直線交叉叉（1）投影特性性：兩直線在空空間既不平平行，也不不相交，叫叫做交叉。。其投影特性性是，同面面投影可能能有平行的的，但不會會全都平行行，其同面面投影可能能有相交的的，但交點點不符合點點的投影規(guī)規(guī)律。（2）交叉叉直線上重重影點可見見性的判別別：交叉直線同同面投影的的交點是該該投影面上上重影點的的投影，應應根據(jù)投影影圖中的投投影關系可可以判別出出重影點的的可見性。。如前圖ⅠⅠ、Ⅱ兩點點是H面的的重影點，，從V面投投影圖中可可看出Ⅰ點點在上為可可見點，ⅡⅡ點在下為為不可見點點，Ⅲ、ⅣⅣ兩點為V面的重影影點，從H面投影圖圖中可看出出Ⅲ點在前前為可見點點，Ⅳ點在在后為不可可見點。不可見點得得投影符號號加括號表表示。例11（圖1-31）判別兩直直線是否平平行。解：因為AB、CD是側平線，，方法一，可以補出出AB、CD的W投影來判定定兩直線是是否平行。。方法二，由于AB、CD兩兩側平線端端點的順序序V投影同向向，而H面投影反反向，故可直接接判斷兩直直線不平行行。兩直線交叉叉例12（圖1-32）直線AB與與CD相交交，求作c′d′。。例13（圖1-33）已知AB、CD的兩面投影影，判斷兩兩直線是否否相交。用定比性作作圖，作圖圖知，因kk1不平行dd1，故ck∶∶kd≠c′k′∶∶k′d′′，說明交交點不符合合點的投影影規(guī)律，兩兩直線不相相交，為交交叉直線。。補畫W投影，作圖圖知，因投投影圖中的的交點不符符合點的投投影規(guī)律，，故兩直線線不相交。。為交叉直直線。2.4.5一一邊平平行于投影影面的直角角的投影兩條直線在在空間相互互垂直，其其中的一條條直線平行行于某一投投影面，這這兩條直線線在該投影影面上的投投影仍然相相互垂直。。反過來，，兩條直線線在某一投投影面上的的投影是垂垂直關系，，其中的一一條直線又又平行于該該投影面，，則兩直線線在空間為為垂直關系系。這一性質稱稱為直角定理。若AB⊥BC，AB∥H，則則有ab⊥⊥bc。反反過來，若若ab⊥bc，AB∥H，則則有AB⊥⊥BC?？臻g兩直線線交叉垂直直時，直角角定理同樣樣成立，若AB⊥BC，AB∥H，則則有ab⊥⊥bc。反反過來，若若ab⊥bc，AB∥H，則則有AB⊥⊥BC。利利用直角定定理可解決決兩直線間間的垂直關關系問題，，如作一條條直線與另另一條直線線垂直或判判定兩直線線在空間是是否垂直。。例14（圖1-36）已知直線AB和點C的兩面投投影，AB為水平線線，求點C到AB的的距離。dd'D0距離例15（圖1-37）補全矩形ABCD的的兩面投影影，如圖1-37所所示，圖中中a′b′′∥OX。。dcc'2.5平面的投影影2.5.1平面的表示示方法圖a用不在同一一直線上的的三個點表表示一個平平面。圖b用一條直線線和直線外外一點來表表示一個平平面。圖c用兩條相交交直線表示示一個平面面。圖d用兩條平行行直線表示示一個平面面。圖e用平面圖形形（如三角角形）表示示一個平面面。1.用幾何元素素表示平面面2.用跡線線表示平面面空間平面P與H、V、W三個個投影面相相交，交線線分別是PH、PV、PW，，PH稱為為平面P的水平跡線，PV稱為為平面P的的正面跡線，PW稱為為平面P的的側面跡線。平面P可可用其三條條跡線來表表示。2.5.2各各種位位置平面的的投影平面對投影影面的相對對位置可分分為一般位位置平面、、投影面平平行面和投投影面垂直直面三種。。1.一般位位置平面一般位置平平面與三個個投影面都都傾斜，三三面投影都都不反映平平面的實形形，投影沒沒有積聚性性，投影也也不反映平平面對投影影面傾角的的真實大小小，三面投投影均為類類似形。一一般位置平平面簡稱一一般面。2.投影面面平行面投影面平行行面與一個個投影面平平行，與另另兩投影面面垂直。3.投影面垂直直面投影面垂直直面與一個個投影面垂垂直，與另另兩個投影影面傾斜。。2.5.3平平面上上的點和直直線1.平面上上的點和直直線若點在平面面上的一條條直線上，，則點在平平面上。直線通過平平面上兩點點，或者直直線通過平平面上的一一個點，且且與平面內(nèi)內(nèi)另一條直直線平行，，則直線在在平面上。。EF∥AB例16已知點D在ABC上，試求點點D的水平投影影。ddabcabcee例17求五邊形平平面ABCDE的H投影，，其中AB∥V面。。dabcaee1'b1c2'2d例18（圖1-44）補全帶缺缺口的三角角形的另兩兩個投影圖圖。解：由已知知的V投影和H投影可先補補出平面的的W投影。利用用在平面上上取點、取取線的方法法可在平面面上定出缺缺口的投影影。2.平面上上的特殊位位置直線一般位置平平面上的特特殊位置直直線有：平平面上的水水平線、平平面上的正正平線和平平面上的側側平線。作作投影圖時時，常用平平面上的特特殊位置直直線作為輔輔助線來幫幫助解題。。abcbac例19已知ABC給定一平面面，試過點點C作屬于該平平面的正平平線，過點點A作屬于該平平面的水水平線。mnnm注意同一平面的的水平線和和正平線是是一對相交交直線3.平面上上的最大斜斜度線平面上對投投影面傾角角最大的直直線稱為平平面上對該該投影面的的最大斜度線線。最大斜度線線必垂直于于該平面上上的同面平平行線和跡跡線。平面對H面面的最大斜斜度線