bit9-3格林公式平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件

一、區(qū)域連通性的分類設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD設(shè)閉區(qū)域D

由分段光滑的曲線L圍成,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有LPdx

QdyDy

x(

Q

P

)dxdy

(1)其中L是D

的取正向的邊界曲線,公式(1)叫做

公式.二、公式定理1L由L1與L2組成L1DL2L2DL1L由L1與L2連成邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D

他的左邊.

1212LLL

LD

Pdx

QdyPdx

Qdy

Pdx

QdyLx

y(

Q

P

)dxdy

證明(1)若區(qū)域D

是單連通區(qū)域，且既是X

型又是

Y型,即平行于坐標(biāo)軸的直線和L至多交于兩點(diǎn).D

{(x,

y)1

(

x)

y

2

(

x),a

x

b}D

{(x,

y)1

(

y)

x

2

(

y),c

y

d}yo

ab

xDcdABCy

1

(

x)E

y

2

(

x)x

2

(

y)x

1

(

y)dxdydxdy

QxdcQ2

(

y

)

1

(

y

)

x

dDdc

c2

1

(

y),

y)dyQ(

(

y),

y)dy

Q(L

Q(

x,

y)dy同理可證

Ldxdy

P(

x,

y)dxDyP

CBE

Q(

x,

y)dy

CAE

Q(

x,

y)dy

CBE

Q(

x,

y)dy

EAC

Q(

x,

y)dyyox

2

(

y)xDcCd

Ex

1

(

y)BA證明(2)若區(qū)域D

是單連通區(qū)域，但不是上述簡(jiǎn)單區(qū)域，可以用一條或幾條直線將其分成若干個(gè)子區(qū)域，使每一個(gè)都既是X-型，又是Y-型.如圖,LL1L2L3DD1D2D3兩式相加得Pdx

Qdy)dxdy

x

yQ

PLD(將D

分成三個(gè)既是X

型又是Y

型的區(qū)域D1

,D2

,D3

.2D31D

(

Q

P

)dxdyx

y

(

Q

P

)dxdy

(

Q

P

)dxdyDPdx

Qdy

Pdx

Qdy32Pdx

Qdy

L1LL

L

Pdx

QdyD1D3LL1D2

L2x

y

x

yL3(L1,

L2

,

L3(

Q

P

)dxdyx

y1

2

3D D

D

Dx

y

(

Q

P

)dxdy

GD2LFCL3EL1AB證明(3)若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成，即其是一個(gè)復(fù)連通區(qū)域.添加直線段

AB,CE.則2D

的邊界曲線由

AB,L

,BA,3AFC,CE,L

,EC

及CGA

構(gòu)成.由(2)知Dx

y

(

Q

P

)dxdyAB

L2

BA

AFC

CE

{

}

(

Pdx

Qdy

)

L3

EC

CGALPdx

Qdy

(2

31LL

L

)(Pdx

Qdy

)(

L1,

L2

,

L3

)便于

形式:公式的實(shí)質(zhì):

溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系.

DP

Q

xy

dxdy

L

Pdx

QdyxoLyB1.簡(jiǎn)化曲線積分例1

計(jì)算AB

xdy,其中曲線AB是半徑為r

的圓在第一象限部分.三、簡(jiǎn)單應(yīng)用ADL

OA

AB

BO應(yīng)用公式,

P

0,

Q

x有解引入輔助曲線L,

dxdy

L

xdyD

OA

xdy

AB

xdy

BO

xdy,4DAB由于OA

xdy

0,

BO

xdy

0,

xdy

dxdy

1

r

2

.例

2

計(jì)算

e

y2

dxdy

,其中D

是D以O(shè)(0,0),A(1,1),B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.y解令2.簡(jiǎn)化二重積分xoA11BD則

y

2

ex

yQ

P,

y2,P

0,

Q

xe應(yīng)用公式,有

e

y

2

dxdy

D

xe

y

2

dyOA

AB

BO122

xe

dyxe

dx

x0

yOA

y2

1

(1

e1

).xoA11

BD例

3

計(jì)算

Lxdy

ydx

y2x

2,其中L為一條無(wú)重點(diǎn),分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?解記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈

,則當(dāng)

x2

y2

0

時(shí),有

x

(

x2

y2

)2

y

.y2Q令,

Q

x2

y2

x2

y2

y

x,

x

2

PP

L(1)當(dāng)(0,0)

D

時(shí),(2)

當(dāng)(0,0)

D

時(shí),D1rlxyoLD由

公式知Lxdy

ydx

0x2

y2r

很小yxoP和Q及其偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處不連續(xù)，因此不能在此區(qū)域上利用作位于D

內(nèi)圓周公式.l

:

x2

y2

r

2

,記D1由L和l

所圍成,lLx2

y2

x2

y2xdy

ydxxdy

ydx

xyoD1lrL0xdy

ydx

L

lx2

y2x2

y2xdy

ydx

(其中l(wèi)

的方向取逆時(shí)針?lè)较?

2

.公式的條件)

d0r

2(注意2

r

2

cos2

r

2

sin2

應(yīng)用復(fù)連通域上的公式,得公式:Pdx

QdyLDx(

)dxdy

取

P

y,

Q

x,得2

dxdy

L

xdy

ydx3.計(jì)算平面面積Q

PyDL2A

1

xdy

ydx閉區(qū)域D

的面積取

P

Q

x0取

P

y,

Q

0,.得A

L

xdy得A

L

(

y)dx曲線AMO由函數(shù)y

ax

x,x

[0,a]表示,例4

計(jì)算拋物線(

x

y)2

ax(a

0)與x軸所圍成的面積.解ONA為直線y

0

.L2

A

1

xdy

ydx

1

xdy

ydxAMO2A(a,0)NMOxdy

ydxONA2

1

0xdy

ydxAMO

212

axaaax

x)dx0

x(

1)

(

126xdx

1

a2

.

a40aMA(a,0)N四、小結(jié)連通區(qū)域的概念;二重積分與曲線積分的關(guān)系3.公式的應(yīng)用.DPdx

QdyQ

Px

y

)dxdy

L(公式GyxoPdx

Qdy1L則稱曲線積分L

Pdx

Qdy

在G

內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),否則稱曲線積分與路徑有關(guān).一、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義Pdx

Qdy2L1LBL2A如果在區(qū)域G內(nèi)有二、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件設(shè)區(qū)域G

是一個(gè)單連通域,函數(shù)P(x,y),

Q(x,y)在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則曲線積分

Pdx

Qdy

在G

內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)的LP

Q充要條件是yx

在G成立,L

是G

內(nèi)任一閉曲線.定理2(1)

區(qū)域G

是一個(gè)單連通域.(2)

函數(shù)

P(

x,

y),

Q(

x,

y)

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).兩者有關(guān)定理的說(shuō)明：若G是復(fù)連通區(qū)域y

xP

Q且在G內(nèi)，1LPdx

Qdy

2LPdx

Qdy3LPdx

Qdy

4LPdx

QdyL34LL1ABL2OO在區(qū)域G

內(nèi),曲線積分

Pdx

Qdy

在G

內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)l的充要條件是沿G

內(nèi)任意閉曲線L

都有

Pdx

Qdy=0.L定理2’三、二元函數(shù)的全微分求積如果存在二元函數(shù)u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx

Q(x,y)dy,則稱u(x,y)是P(x,y)dx

Q(x,y)dy的原函數(shù)（或者說(shuō)P(x,y)dx

Q(x,y)dy是u(x,y)的全微分）.定義設(shè)區(qū)域G

是一個(gè)單連通域,函數(shù)P(x,y),

Q(x,y)在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則P(x,y)dx

Q(x,y)dy在G

內(nèi)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分的充要條件是等式P

Qy

x成立.在G說(shuō)明1定理3若Pdx

Qdy有原函數(shù)，則(

x

,

y

)u(

x,

y)

(x

,

y

)

Pdx

Qdy

C0

0便是Pdx

Qdy的全體原函數(shù).若P

Qy

xPdx

QdyA(

x0

,

y0

)1

1B

(

x

,

y

)則yQ(

x

,

y)dyyxx101010或1

1B(

x

,

y

)C(

x1

,y0

)xyoA(

x0

,

y0

)x1xyQ(

x

,

y)dyy0100P(

x,

y

)dx

說(shuō)明211(,x)

yy22

u

xPdx

Qdy

u

x若在Pdx

Qdy的原是D內(nèi)任意兩點(diǎn),則可以(,x)

y22說(shuō)明3定積分的

-公式的推廣例1

計(jì)算

(

x2

2

xy)dx

(

x2

y4

)dy

.L其中L

為由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(1,1)的曲線弧y

sinx2

.P

Qy

x

，積分與路徑無(wú)關(guān)10104(1

y

)dy2

故原式

x

dx

1523

.Q

(

x2

2

xy)

2

xy

y解

P

xyoB(1,1)C(1,0)D(0,1)例2

設(shè)曲線積分

xy2dx

y(

x)dy與路徑L無(wú)關(guān),

其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),

且(0)

0,計(jì)算xy2dx

y(

x)dy.(1,1)(0,0)積分與路徑無(wú)關(guān)，解

P(

x,

y)

xy2

,

Q(

x,

y)

y

(

x),),P

(

xy

2

)

2

xy,y

yP

Qy

x由y(

x)

2

xy

(

x)

x2

c由

(0)

0，知c

0

(

x)

x2

.故(1,1)(0,0)2xy

dx

y(

x)dy01

10

0dx

ydy2

1

.xyoB(1,1)C(1,0)D(0,1)如果一階微分方程可以寫(xiě)成Pdx

Qdy

0且Pdx

Qdy

是某二元函數(shù)的全微分，則稱此微分方程為全微分方程.由上一節(jié)的

知，該微分方程的通解即為該二元函數(shù)，即u(x,y)=C.三’、全微分方程例

求(

y

2e2

x

cos

y)dx

(x

e2

x

sin

y)dy

0的通解.解P

1

2e2

x

sin

y

Q

,y

x故該方程為全微分方程，其左端的一個(gè)原函數(shù)為P(

x,

y)

y

2e2

x

cos

y,Q(

x,

y)

x

e2

x

sin

y,（沿圖中折線計(jì)算曲線積分）(0,0)sin

y)dyu(

x,

y)x

ysinydy

x2

x(

y

2e

cos

y)dxy00

1

cos

y

xy

e2

x

cos

y

cos

y

1

xy

e2

x

cos

y.為xy

e2

x

cos

y

C

.所以微分方程的通解·

(x,y)y(0,y)(0,0)o

x四、小結(jié)與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件在單連通區(qū)域

D

上

P(

x,

y),

Q(

x,

y)

具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題成立.等價(jià)命題在D內(nèi)L

Pdx

Qdy與路徑無(wú)關(guān)C

Pdx

Qdy

0,閉曲線C

D在D內(nèi)存在u(x,y)使du

Pdx

Qdy在D內(nèi),P

Qy

x作業(yè)P2681(6)(7)(8)P2692；3(2)(4)；4(2)；5(3)；6(3)x

y練習(xí)題一、填空題:1、

設(shè)閉區(qū)域D

由分段光滑的曲線L

圍成,

函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及在D

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有(Q

P

)dxdy

；D2、

設(shè)

D

為

平

面

上

的

一

個(gè)

單

連

通

域

,

函

數(shù)P(

x,

y)

,

Q(

x,

y)

在D

內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

則L

Pdx

Qdy

在D

內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是

在D

內(nèi)處處成立；3、

設(shè)D

為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域,其面積為

5,又P(

x

,

y)

及Q(

x,

y)

在D

上有一階連續(xù)偏xQ導(dǎo)數(shù),且

1,

1yP,則Pdx

Qdy

L

.二、計(jì)算yx2

)(d(y)2其中L

是由拋物線

xy所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線,并L

xy2

和2驗(yàn)證

公式的正確性

.3

sin,3ctoa所syt三、利用曲線積分,求星形線圍成的圖形的面積.四、證明曲線積分(3,4)(1,2)xy y

32

dx

xy2

2

)d3(y(x在)6y6整個(gè)xoy

面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),并計(jì)算積分值.五、利用

公式,計(jì)算下列曲線積分:1、L2(x

y)dx

(x

sin

2

y)dy其中L

是在圓周2

x

x

2

上由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的一段??；y

AMB2、求曲線積分I1

(x

y)2

dx

(x

y)2

dy

和ANBI

2

(x

y)2

dx

(x

y)2

dy

的差.其中AMB是過(guò)原點(diǎn)和A(1,1),B(2,6)且其對(duì)稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段,AMB

是連接A

,B

的線段.六、計(jì)算

y

2Lxdy

ydx

x

2L,其中為不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的光滑閉曲線.(取逆時(shí)針?lè)较?七、驗(yàn)證(3