最新高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何專題(1)從調(diào)和點(diǎn)列到Apollonius圓到極線

從交比到調(diào)和點(diǎn)列到Apollonius圓到極線極點(diǎn)2023年10月17日結(jié)束的2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題目為：如圖1，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點(diǎn)〔不是邊BC的中點(diǎn)〕，D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于點(diǎn)M．求證：假設(shè)OK⊥MN，那么ABDC四點(diǎn)共圓．圖SEQ圖\*ARABIC1此題頗有難度，參考答案的反證法讓有些人“匪夷所思〞，其實(shí)這是一系列射影幾何中常見(jiàn)而深刻結(jié)論的自然“結(jié)晶〞，此類問(wèn)題在國(guó)家隊(duì)選拔考試等大賽中屢見(jiàn)不鮮。本文擬系統(tǒng)的介紹交比、調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、Apollonius圓、極線等射影幾何的重要概念及應(yīng)用，抽絲剝繭、溯本求源，揭示此類問(wèn)題的來(lái)龍去脈，并在文中給出上題的一種簡(jiǎn)潔明了的直接證明。知識(shí)介紹定義1線束和點(diǎn)列的交比：如圖2，共點(diǎn)于O的四條直線被任意直線所截的有向線段比稱為線束OA、OC、OB、OD或點(diǎn)列ACBD的交比。[1]定理1線束的交比與所截直線無(wú)關(guān)。圖SEQ圖\*ARABIC2證明：本文用[ABC]表示ABC面積，那么從而可知線束交比與所截直線無(wú)關(guān)。定義2調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列：交比為-1，即的線束稱為調(diào)和線束，點(diǎn)列稱為調(diào)和點(diǎn)列。顯然調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列是等價(jià)的，即調(diào)和線束被任意直線截得的四點(diǎn)均為調(diào)和點(diǎn)列，反之，調(diào)和點(diǎn)列對(duì)任意一點(diǎn)的線束為調(diào)和線束。定理2調(diào)和點(diǎn)列常見(jiàn)形式：〔O為CD中點(diǎn)〕〔1〕、〔2〕、(3)、AC*AD=AB*AO(4)、AB*OD=AC*BD證明：由根本關(guān)系式變形即得，從略。定理3一直線被調(diào)和線束中的三條平分當(dāng)且僅當(dāng)它與第四邊平行〔由定義即得，證略〕定義3完全四邊形：如圖3，凸四邊形ABCD各邊延長(zhǎng)交成的圖形稱為完全四邊形ABCDEF，AC、BD、EF稱為其對(duì)角線〔一般的四條直線即交成完全四邊形〕[2]。定理4完全四邊形對(duì)角線互相調(diào)和分割。即AGCH、BGDI、EHFI分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。圖SEQ圖\*ARABIC3分析：只需證EHFI為調(diào)和點(diǎn)列，其余可類似證得，也可由線束的交比不變性得到。證法一：面積法，即。證法二：由Ceva定理，由Menelaus定理得到，故，即EHFI為調(diào)和點(diǎn)列。定理5完全四邊形ABCDEF中，四個(gè)三角形AED、ABF、EBC、FDC的外接圓共點(diǎn)，稱為完全四邊形的密克〔Miquel〕點(diǎn)。證明：設(shè)出兩圓交點(diǎn)，證它在其余圓上即可。圖SEQ圖\*ARABIC4定義4阿波羅尼斯〔Apollonius〕圓：到兩定點(diǎn)A、B距離之比為定值k〔〕的點(diǎn)的軌跡為圓，稱為Apollonius圓，為古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius最先提出并解決[2]〔注：當(dāng)k=1時(shí)軌跡為AB中垂線也可看成半徑為無(wú)窮大的圓〕。證明：如圖4由AP=kPB，那么在AB直線上有兩點(diǎn)C、D滿足故PC、PD分別為∠APB的內(nèi)外角平分線，那么CP⊥DP，即P點(diǎn)的軌跡為以CD為直徑的圓O(O為CD中點(diǎn))?！沧ⅲ航馕龇ㄒ嗫勺C得〕顯然圖4中ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。定理6在圖4中，當(dāng)且僅當(dāng)PB⊥AB時(shí)，AP為圓O的切線。證明：當(dāng)PB⊥AB時(shí)∠APC=∠BPC=∠CDP故AP為圓O的切線，反之亦然。定理7Apollonius圓與調(diào)和點(diǎn)列的互推如下三個(gè)條件由其中兩個(gè)可推得第三個(gè)：1.PC〔或PD〕為∠APB內(nèi)〔外〕角平分線2.CP⊥PD3.ACBD構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列〔證略〕定義5反演：設(shè)A為○O〔r〕平面上點(diǎn)，B在射線OA上，且滿足OA*OB=r*r，那么稱A、B以○O為基圓互為反演點(diǎn)。定理8圖4中，以Apollonius圓為基圓，AB互為反演點(diǎn)。〔由定理2〔2〕即得。〕定義6極線與極點(diǎn)：設(shè)A、B關(guān)于○O〔r〕互為反演點(diǎn)，過(guò)B做OA的垂線l稱為A點(diǎn)對(duì)圓O的極線；A點(diǎn)稱為l的極點(diǎn)。[3]定理9當(dāng)A點(diǎn)在○O外時(shí)，A的極線為A的切點(diǎn)弦?！灿啥ɡ?即得?！硤DSEQ圖\*ARABIC5定理10假設(shè)A的極線為l，過(guò)A的圓的割線ACD交l于B點(diǎn)，那么ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。證明：如圖5，設(shè)A的切點(diǎn)弦為PQ，那么即ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。定理11配極定理：如圖6，假設(shè)A點(diǎn)的極線通過(guò)另一點(diǎn)D，那么D點(diǎn)的極線也通過(guò)A。一般的稱A、D互為共軛點(diǎn)。證法一：幾何法，作AF⊥OD于F，那么DFGA共圓，得OF*OD=OG*OA=，由定義6知AF即為D的極線。圖SEQ圖\*ARABIC6證法二：解析法，設(shè)圓O為單位圓，A〔〕,D〔〕，A的極線方程為，由D在其上，得，那么A在上，即A在D的極線上。定理12在圖6中，假設(shè)A、D共軛，那么定義7調(diào)和四邊形：對(duì)邊積相等的圓內(nèi)接四邊形稱為調(diào)和四邊形?！惨驁A上任意一點(diǎn)對(duì)此四點(diǎn)的線束為調(diào)和線束，故以此命名〕定理13圖5中PDQC為調(diào)和四邊形。證明：由定理9的證明過(guò)程即得。例題選講例1如圖7，過(guò)圓O外一點(diǎn)P作其切線PA、PB，OP與圓和AB分別交于I、M，DE為過(guò)M的任意弦。求證：I為△PDE內(nèi)心。〔2001年中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克〕分析：其本質(zhì)顯然為Apollonius圓。證明：由定理6知圓O為P、M的Apollonius圓，那么DI、EI分別為△PDE的內(nèi)角平分線，即I為△PDE內(nèi)心。圖SEQ圖\*ARABIC7例2如圖8，△ABC中，AD⊥BC，H為AD上任一點(diǎn)，那么∠ADF=∠ADE〔1994年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題〕圖SEQ圖\*ARABIC8證明：對(duì)完全四邊形AFHEBC，由定理4知FLEK為調(diào)和點(diǎn)列。又AD⊥BC，由定理7得∠ADF=∠ADE。圖9例3如圖9，完全四邊形ABCDEF中，GJ⊥EF與J，那么∠BJA=∠DJC〔2002年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)選拔考試題〕證明：由定理4及定理7有∠BJG=∠DJG且∠AJG=∠CJG，那么∠BJA=∠DJC。圖10例4：如圖10，△ABC內(nèi)角平分線BE、CF交于I，過(guò)I做IQ⊥EF交BC于P，且IP=2IQ。求證：∠BAC=60°證明：做AX⊥EF交BC于Y，由定理4知AD’ID為調(diào)和點(diǎn)列，故，又IP=2IQ，那么AX=XY，即EF為AY中垂線，由正弦定理，那么AFYC共圓，同理AEYB共圓，故∠BYF=∠BAC=∠CYE=∠EYF，故∠BAC=60°。圖SEQ圖\*ARABIC11例5如圖11，P為圓O外一點(diǎn)，PA、PB為圓O的兩條切線。PCD為任意一條割線，CF平行PA且交AB于E。求證：CE=EF〔2006國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題〕證明：由定理10及定理3即得。例6如圖12，PAB、PCD為圓O割線，AD交BC于E，AC交BD于F，那么EF為P的極線。〔1997年CMO試題等價(jià)表述〕證法一：作AEB外接圓交PE于M，那么PE*PM=PA*PB=PC*PD，故CDME共圓〔其實(shí)P為三圓根心且M為PAECBD密克點(diǎn)〕，從而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD，BOMD共圓。∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M為ST中點(diǎn)，PS*PT=PA*PB=PE*PM，由定理2〔3〕知E在P極線上，同理F亦然，故EF為P的極線。圖SEQ圖\*ARABIC12圖SEQ圖\*ARABIC13證法二：如圖13，設(shè)PS、PT為圓O切線。在△ABT中，可以得到由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三線共點(diǎn)于E，同理F亦然，故EF為P的極線。至此，點(diǎn)P在圓O外時(shí)，我們得到了P點(diǎn)極線的四種常見(jiàn)的等價(jià)定義：1、過(guò)P反演點(diǎn)做的OP的垂線。2、過(guò)P任意作割線PAB，AB上與PAB構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的點(diǎn)的軌跡所在的直線。3、P對(duì)圓O的切點(diǎn)弦。4、過(guò)P任意做兩條割線PAB、PCD，AD、BC交點(diǎn)與AC、BD交點(diǎn)的連線。(注：切線為割線特殊情形，故3、4是統(tǒng)一的)例7△ABC內(nèi)切圓I分別切BC、AB于D、F，AD、CF分別交I于G、H。求證：(2023年?yáng)|南數(shù)學(xué)奧林匹克)圖SEQ圖\*ARABIC14證明：如圖14，由定理13知GFDE為調(diào)和四邊形，據(jù)托勒密定理有GD*EF=2FG*DE，同理HF*DE=2DH*EF相乘得GD*FH=4DH*FG又由托勒密定理GD*FH=DH*FG+FD*GH，代入即得圖SEQ圖\*ARABIC15例8：如圖15，△ABC內(nèi)切圓切BC于D，AD交圓于E，作CF=CD，CF交BE于G。求證：GF=FC〔2023年國(guó)家隊(duì)選拔〕證明：設(shè)另兩切點(diǎn)為H、I，HI交BD于J，連JE。由定理10知AEKD為調(diào)和點(diǎn)列，由定理11知AD的極點(diǎn)在HI上，又AD極點(diǎn)在BD上，故J為AD極點(diǎn)；那么JE為切線，BDCJ為調(diào)和點(diǎn)列，由CF=CD且JD=JE知CF//JE，由定理3知GF=FC。〔注：例8中BDCJ為一組常見(jiàn)調(diào)和點(diǎn)列〕例9如圖16，圓內(nèi)接完全四邊形ABCDEF中AC交BD于G，那么EFGO構(gòu)成垂心組〔即任意一點(diǎn)是其余三點(diǎn)的垂心〕。證明：據(jù)例6知EG，F(xiàn)G共軛，由定理12那么OG⊥EF，其余垂直同理可證。圖SEQ圖\*ARABIC16注：△EFG稱為極線三角形。此題結(jié)論優(yōu)美深刻，初版于1929年的[4]已有介紹，它涉及到調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、密克點(diǎn)、極線、Apollonius圓、垂心組等幾何中的核心內(nèi)容。本文開(kāi)頭提到的2023年聯(lián)賽題為此題的逆命題，熟悉上述內(nèi)容的情況下，采用參考答案的反證法在情理之中：如圖1，設(shè)D不在圓O上，令A(yù)D交圓O于E，CE交AB于P，BE交AC于Q。由例9得PQ//MN；由定理4得MN、AD調(diào)和分割BC，同理PQ亦然，那么PQ//MN//BC，從而K為BC中點(diǎn)，矛盾！故ABCD共圓。其實(shí)此題也可直接證明，如下：如圖17，由例3得∠1=∠2；又K不是BC中點(diǎn)，類似例4證明可得OBJC共圓；∠MJB=∠NJC==∠BAC，由定理5得J為ABDCMN密克點(diǎn)，那么∠BDM=∠BJM=∠BAN故ABDC共圓。圖SEQ圖\*ARABIC17以例9為背景的賽題層出不窮，再舉幾例，以饗讀者。例10△ADE中，過(guò)AD的圓O與AE、DE分別交于B、C，BD交AC于G，直線OG與△ADE外接圓交于P。求證：△PBD、△PAC共內(nèi)心〔2004年泰國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克〕分析：此題顯然為密克點(diǎn)、Apollonius圓、極線及例9等深刻結(jié)論的簡(jiǎn)單組合。證明：如圖16，由定理5及例9知PG互為反演點(diǎn)，據(jù)定理8知圓O為PG的Apollonius圓，由例1知△PBD與△PAC共內(nèi)心。例11△ABC中，D在邊BC上且使得∠DAC=∠ABC，圓O通過(guò)BD且分別交AB、AD于E、F，DE交BF于G，M為AG中點(diǎn)，求證：CM⊥AO〔2023年國(guó)家隊(duì)選拔〕圖SEQ圖\*ARABIC18證明：如圖18，設(shè)EF交BC于J。由定理3得AKGL為調(diào)和點(diǎn)列，由定理2〔4〕有LK*GM=LG*KA，又∠CAD=ABD=∠JFD故EJ//CA，那么即JG//CM而由例9有JG⊥OA，故CM⊥AO。例9中OGEF對(duì)圓外切四邊形亦然。例12如圖19，設(shè)圓O的外切四邊形A’B’C’D’對(duì)邊交于E’F’，A’C’交B’D’交于G’，那么OG’⊥E’F’。〔2023年土耳其國(guó)家隊(duì)選拔〕圖SEQ圖\*ARABIC19證明：設(shè)四邊切點(diǎn)為ABCD，AC交BD于G，AB交CD于E，AD交BC于F，由例6知BD、AC極點(diǎn)E’、F’在EF上，那么G’與G重合，由例9，即得OG’⊥E’F’。圖SEQ圖\*ARABIC20例13如圖20，ABCD為圓O的外切四邊形，OE⊥AC于E，那么∠BEC=∠DEC(2006年協(xié)作題夏令營(yíng)測(cè)試題)分析：由定理7知垂直證等角必為調(diào)和點(diǎn)列。證明：如圖20，做出輔助線，由例12知FI、GH、BD共點(diǎn)于M，且為AC的極點(diǎn)，從而OE也過(guò)M，且BLDM構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，由定理7得∠BEC=∠DEC。最后我們看一道伊朗題及其推廣例14△ABC內(nèi)切圓I切BC于D，AD交I于K。BK、CK交I于E、F，求證：BF、AD、CE三線共點(diǎn)。〔2002年伊朗國(guó)家隊(duì)選拔考試題〕分析：此題一般思路為Ceva定理計(jì)算，計(jì)算量較大。而且有人將其推廣為對(duì)AD上任意一點(diǎn)K，都有本結(jié)論成立〔如圖21〕。推廣題難度極大，網(wǎng)絡(luò)上有人用軟件大量計(jì)算獲證，也有高手通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算得證[5]。其實(shí)從調(diào)和點(diǎn)列、極線角度看此題結(jié)論顯然，對(duì)推廣題證明如下：圖SEQ圖\*ARABIC21證明：如圖21，設(shè)另兩個(gè)切點(diǎn)MN交BC于J，由例8得BDCJ為調(diào)和點(diǎn)列，故對(duì)AD上K點(diǎn)，由定理1知EF必過(guò)J點(diǎn)；由定理4對(duì)完全四邊形BEFCJK必有CE、BF、AK共點(diǎn)。練習(xí)：1H是銳角△ABC的垂心，以BC為直徑作圓，自A作切線AS、AT。求證：S、H、T三點(diǎn)共線。〔1996CMO試題〕提示：此題為例