研讀課程標(biāo)準(zhǔn) 固牢數(shù)學(xué)之根

老師為什么那樣教數(shù)學(xué)之一研讀課程標(biāo)準(zhǔn)固牢數(shù)學(xué)之根引言大約最近三四年開始，從不少網(wǎng)絡(luò)平臺上發(fā)現(xiàn)，學(xué)生家長對老師教學(xué)或試卷（作業(yè)）及其評判有了質(zhì)疑的聲音，而且越來越多。它反映了現(xiàn)在家長的知識文化水平和對教育需求都在不斷提高，但從反饋結(jié)果看，老師往往是對的。畢竟教師是一項專業(yè)技術(shù)職業(yè)，老師的教學(xué)和評判是經(jīng)過全面考慮的，是從整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的視角考慮的，有專門的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范。這個標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范就是《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)》（簡稱《課標(biāo)》）。家長看問題通常不能把握全局，帶有一定的片面性。因此，我想那些平時輔導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)的家長們是不是也應(yīng)該適當(dāng)了解一下這些標(biāo)準(zhǔn)，這或有助于他們更好的指導(dǎo)自己孩子的學(xué)習(xí)，減少在孩子學(xué)習(xí)上跟老師的分歧，減少干擾老師的教學(xué)。以此為出發(fā)點，筆者對數(shù)學(xué)《課標(biāo)》進行簡單的梳理，并嘗試做部分淺顯的介紹和解讀，供家長朋友參考，也供青年老師參考。課程標(biāo)準(zhǔn)新《課標(biāo)》是教育部于2022年4月正式發(fā)布的。它是國家對義務(wù)教育課程的目標(biāo)、內(nèi)容和基本要求做出的強制性規(guī)定，體現(xiàn)了國家意志。它是教師實施教學(xué)活動的依據(jù)，必須嚴格執(zhí)行?！墩n標(biāo)》的前身是《教學(xué)大綱》（以下簡稱《大綱》），《大綱》指揮了我國基礎(chǔ)教育幾乎半個世紀(jì)。1985年，隨著改革開放的擴大，鄧小平提出了勞動者素質(zhì)的問題，開啟了對素質(zhì)教育的探討。1994年，第二次全教會把“素質(zhì)教育”的概念正式寫進文件里。1999年，第三次全教會召開后，素質(zhì)教育概念以更加凸顯的、鮮明的、重要的地位出現(xiàn)在全國教育工作者的面前，省編《素質(zhì)教育讀本》幾乎人手一冊。2001年教育部制定了第一部關(guān)于素質(zhì)教育的教學(xué)指導(dǎo)性文件《義務(wù)教育課程設(shè)置實驗方案》，同時摒棄使用了半個世紀(jì)的《大綱》。2011年教育部頒布正式的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》。隨著義務(wù)教育的普及，人們對教育需求有了重大變化，義務(wù)教育課程也與時俱進，對《課標(biāo)》進行了修訂和完善。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也隨之出爐。數(shù)學(xué)之根那么，數(shù)學(xué)《課標(biāo)》里的數(shù)學(xué)之根是什么呢？《課標(biāo)》正文開宗明義第一句告訴了我們說：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。也就是說它是關(guān)于“關(guān)系”的學(xué)問，是研究數(shù)學(xué)關(guān)系的學(xué)科。數(shù)學(xué)關(guān)系包括：一，數(shù)量關(guān)系，即數(shù)與數(shù)的關(guān)系、數(shù)與量的關(guān)系和量與量的關(guān)系；二，圖形關(guān)系，也就是空間形式，即點、線、面、體之間的關(guān)系。數(shù)量關(guān)系中，數(shù)與數(shù)的關(guān)系不含計量單位，是單純數(shù)的比較和各級運算，如加減乘除、乘方開方等。它雖然不與現(xiàn)實生活發(fā)生直接聯(lián)系，或者說沒有現(xiàn)實生活意義，但它卻是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的基礎(chǔ)。其中，各級運算之間的關(guān)系尤為重要，比如減法是加法的逆運算，乘法是若干個相同加數(shù)相加的簡便運算，除法是乘法的逆運算，除法也可說是特定情況下的減法等等。所以，數(shù)與運算被放在《課標(biāo)》第四部分課程內(nèi)容中的每一個學(xué)段的首要位置先，事實就是如此，任何領(lǐng)域知識都離不開數(shù)與運算。數(shù)與量的關(guān)系則是在實際生活生產(chǎn)勞動中需要進行測量或計量時產(chǎn)生的關(guān)系，比如定制衣服時需要測量身高，腰圍等，它以長度為量，測得結(jié)果不光有數(shù)，還必須有計量單位，如米、厘米、尺、寸等。正是有了與現(xiàn)實世界的這種聯(lián)系，數(shù)與數(shù)的關(guān)系才有意義，也正因為此，數(shù)學(xué)必須融入生活。如果測量或計量的對象相同、所用的量也相同，但使用計量單位不同，得到的數(shù)也會不同。比如一個物體重量，1斤，可以說是0.5公斤，也可以說500克等。所以，數(shù)量的比較和運算必須考慮量和計量單位的一致性問題。量與量的關(guān)系有兩種，一是相同量的不同計量單位之間換算關(guān)系，如長度量中，米和分米之間為十進制的換算關(guān)系。時間量中，小時和分鐘之間是60進制的換算關(guān)系等。量與量的第二種關(guān)系是不同量之間的運算關(guān)系，比如，長度÷時間=速度，工作量÷工作時間=效率等。量的關(guān)系是為上面兩種關(guān)系服務(wù)的，但價值與它們同等重要。用字母代替數(shù)進行運算時，同樣包含上述這些關(guān)系。從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，不論是離散的還是連續(xù)的，有限的還是無限的，都是研究這種數(shù)量關(guān)系。圖形關(guān)系在義務(wù)教育階段重點是讓學(xué)生理解、掌握并運用簡單的歐幾里得平面圖形關(guān)系，包括位置、運動等，初步認識簡單的立體圖形，并在此基礎(chǔ)上進行簡單測量和一些基本量的計算。至于統(tǒng)計與概率領(lǐng)域可以看成是代數(shù)領(lǐng)域和幾何領(lǐng)域的綜合形成的一個知識點，實踐與應(yīng)用領(lǐng)域則是三者的綜合運用，對此都不多贅述。在研究這些關(guān)系過程中，或者為了研究這些關(guān)系，數(shù)學(xué)家們發(fā)明創(chuàng)造，或者歸納概括了很多方法，制定了一些規(guī)則，獲得更加高深的數(shù)學(xué)知識。這些都成了數(shù)學(xué)的一部分，蘊含著人類豐富的思想和智慧，比如，各種運算、函數(shù)、幾何定理、坐標(biāo)系等等。其中的坐標(biāo)系把代數(shù)和幾何圖形的關(guān)系建立起來了，人們可以利用代數(shù)來解決幾何問題，比如解析幾何中利用方程組的解分析幾何圖形中點線面之間的關(guān)系；也可以利用圖形研究數(shù)的問題，比如利用函數(shù)圖像分析函數(shù)性質(zhì)等。如此等等都離不開關(guān)系，所以說“關(guān)系”就是數(shù)學(xué)之根。固牢數(shù)學(xué)之根任何解題的技能或技巧都來自對數(shù)學(xué)關(guān)系的分析和判斷，數(shù)學(xué)的思想方法也蘊含在數(shù)學(xué)關(guān)系之中。數(shù)學(xué)關(guān)系作為數(shù)學(xué)之根，也是數(shù)學(xué)老師教學(xué)的根本所在。如果學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識最終匯聚成一棵樹，那么根越扎實牢固，枝葉才能越茂盛，這棵樹才能越來越茁壯成長。所以老師要做的事就是必須讓學(xué)生完整掌握數(shù)學(xué)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中客觀事物背后的數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)。解答問題就是尋找和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，尋找和發(fā)現(xiàn)題目中各因素與數(shù)學(xué)的定義定理之間的關(guān)系，尋找和發(fā)現(xiàn)題目中已知和和已知、已知和未知、未知和未知之間的關(guān)系等。比如，一道關(guān)于爸爸、媽媽、孩子年齡的問題，最后歸納為下面算式：爸爸年齡+媽媽年齡=60①爸爸年齡+孩子年齡=38②媽媽年齡+孩子年齡=36③很多家長以及有些老師都以“整體意識、全局觀”為出發(fā)點告訴孩子，要學(xué)會觀察，首先，如果知道三個人的年齡和，減去某式兩個人的年齡和，就求出對應(yīng)另外一個人的年齡；其次，觀察發(fā)現(xiàn)三個式子爸爸、媽媽、孩子年齡都出現(xiàn)了兩次，所以把三個式子左右兩邊分別同時相加，得到他們年齡和的二倍是60+38+36=134，即他們的年齡和為67。這種思路是沒錯的，而且很簡潔，但這是中學(xué)生學(xué)習(xí)階段的思維，對大多數(shù)小學(xué)生來說，這種解法特別是三式相加的操作，作為解題技巧，超出了他們的認知基礎(chǔ)，也超出他們認識的深度，如同下象棋，或許他們還考慮不到后續(xù)那么遠的步驟。這種技巧不是小學(xué)生需要的，最起碼對大多數(shù)孩子是不需要的。小學(xué)生應(yīng)該從基本“關(guān)系”出發(fā)，打牢根基，學(xué)會簡單的分析推理，建立簡單的數(shù)學(xué)模型。本題從這個角度思考也是比較簡單的。當(dāng)然，它首先也離不開觀察：①式和②式的左邊都有爸爸的年齡，不同之處一個有媽媽的年齡沒孩子的，另一個有孩子的年齡沒媽媽的；右邊的數(shù)不同，①式中的60比②式中的38大，60-38=22；這個差與左邊有關(guān)系嗎？分析原因，①式中的數(shù)之所以比②式中的數(shù)大，自然是媽媽年齡比孩子年齡大，因為兩式中爸爸年齡是一樣的。于是，媽媽年齡-孩子年齡=22。這種模型在現(xiàn)實中很容易建立，隨堂隨時就可以做到，同學(xué)們從中也能領(lǐng)悟到更多相關(guān)知識，比如等式的基本性質(zhì)，一個群體中總數(shù)的變化只對應(yīng)于變化的個體、與不變的個體無關(guān)等。人的思想就是這么奇怪，明明很淺顯的道理，若是不被別人提起就毫無察覺，更不要說運用了。這些東西在數(shù)學(xué)中展現(xiàn)得清清楚楚，數(shù)學(xué)具有喚醒人類思想的魔力。通過上述分析，明確了母子（女）年齡之間差的關(guān)系，再把它與③式進行對比，利用和差問題的分析方法，就可算出媽媽和孩子的年齡，然后算出爸爸的年齡，水到渠成。這是小學(xué)生容易想出來的解題方法。如果在此基礎(chǔ)上，在學(xué)生學(xué)有余力的情況下再把上面第一種解法作一個補充講解，兩種解法進行對比或許就更好一些了，它不僅可以拓寬學(xué)生的解題思路，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能提高學(xué)生的專研精神。這個例子告訴我們，在新課標(biāo)理念下，老師專注的不是僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)到知識和會做題，更重要的是通過這一系列教學(xué)活動，讓學(xué)生逐步形成理性思維和科學(xué)精神，促進其智力發(fā)展。不僅如此，如同我們前面看到的那樣數(shù)學(xué)教育還擔(dān)負有更多功能，比如，讓學(xué)生們養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣