MPA聯(lián)考數(shù)學(xué)定積分課件

1第五章定積分基本要求

理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基本定理,了解反常積分的概念,掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法.1第五章定積分基本要求理解定積分的定義2第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分的定義關(guān)于函數(shù)的可積性定積分的幾何意義和物理意義小結(jié)思考題作業(yè)定積分定積分的性質(zhì)***definiteintegral2第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分的定義關(guān)于31.曲邊梯形的面積

定積分概念也是由大量的實(shí)際問題抽象出求由連續(xù)曲線一、定積分問題舉例定積分的概念與性質(zhì)來的,現(xiàn)舉兩例.31.曲邊梯形的面積定積分概念也是由大量的實(shí)4用矩形面積梯形面積．（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代曲顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊定積分的概念與性質(zhì)近似取代曲邊梯形面積4用矩形面積梯形面積．（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代5

采取下列四個步驟來求面積A.(1)

分割(2)

取近似定積分的概念與性質(zhì)長度為為高的小矩形,面積近似代替5采取下列四個步驟來求面積A.(1)分割(2)取6(3)

求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)

求極限為了得到A的精確值,取極限,形的面積:分割無限加細(xì),定積分的概念與性質(zhì)極限值就是曲邊梯6(3)求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值72.求變速直線運(yùn)動的路程思想以不變代變設(shè)某物體作直線運(yùn)動,已知速度是時間間隔的一個連續(xù)函數(shù),求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路把整段時間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．定積分的概念與性質(zhì)72.求變速直線運(yùn)動的路程思想以不變代變設(shè)某物體作直線運(yùn)動,8(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似定積分的概念與性質(zhì)表示在時間區(qū)間內(nèi)走過的路程.某時刻的速度8(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(9二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定義若干個分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積并作和記如果不論對(1)(2)(3)(4)上兩例共同點(diǎn):2)方法一樣;1)量具有可加性,3)結(jié)果形式一樣.定積分的概念與性質(zhì)9二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a10被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.定積分的概念與性質(zhì)積分下限積分上限積分變量[a,b]積分區(qū)間10被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上11(2)的結(jié)構(gòu)和上、下限,

今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性進(jìn)行推理.定積分是一個數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)有關(guān);注無關(guān).而與積分變量的記號無關(guān).11(2)的結(jié)構(gòu)和上、下限,今后將經(jīng)常利12曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值1.幾何意義定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的幾何意義和物理意義12曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值1.幾何意義定積分的13幾何意義定積分的概念與性質(zhì)各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號.它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a,x=b之間的在x軸上方的面積取正號;在x軸下方的面積13幾何意義定積分的概念與性質(zhì)各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號.它14例解2.物理意義t=b所經(jīng)過的路程s.oxy作直線運(yùn)動的物體從時刻t=a到時刻定積分的概念與性質(zhì)定積分表示以變速14例解2.物理意義t=b所經(jīng)過的路程s.oxy作直15定理1定理2或記為

黎曼德國數(shù)學(xué)家(1826–1866)定積分的概念與性質(zhì)四、關(guān)于函數(shù)的可積性可積.且只有有限個間可積.當(dāng)函數(shù)的定積分存在時,可積.黎曼可積,斷點(diǎn),充分條件15定理1定理2或記為黎曼德國數(shù)學(xué)家(1826–186616解例用定義計算由拋物線定積分的概念與性質(zhì)和x軸所圍成的曲邊梯形面積.直線小區(qū)間的長度取16解例用定義計算由拋物線定積分的概念與性質(zhì)和x軸所圍17定積分的概念與性質(zhì)對于任一確定的自然數(shù)積分和當(dāng)n取不同值時,近似值精度不同.n取得越大,近似程度越好.17定積分的概念與性質(zhì)對于任一確定的自然數(shù)積分和當(dāng)n取不同值18定積分的概念與性質(zhì)討論定積分的近似計算問題.存在.n等分,用分點(diǎn)分成n個長度相等的小區(qū)間,長度取有每個小區(qū)間對任一確定的自然數(shù)18定積分的概念與性質(zhì)討論定積分的近似計算問題.存在.n等分19定積分的概念與性質(zhì)取如取矩形法公式矩形法的幾何意義19定積分的概念與性質(zhì)取如取矩形法公式矩形法的20對定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明定積分的概念與性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小．20對定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明定積分的概念與性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)21證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1定積分的概念與性質(zhì)21證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1定積分22證性質(zhì)2性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì).22證性質(zhì)2性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì).23

補(bǔ)充例

(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3定積分的概念與性質(zhì)假設(shè)的相對位置如何,上式總成立.不論23補(bǔ)充例(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3定積24證性質(zhì)4性質(zhì)5定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則24證性質(zhì)4性質(zhì)5定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則25解令于是定積分的概念與性質(zhì)比較積分值和的大小.例25解令于是定積分的概念與性質(zhì)比較積分值和的大小.例26性質(zhì)5的推論1證定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則于是性質(zhì)5如果在區(qū)間則26性質(zhì)5的推論1證定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則于是性質(zhì)527證說明性質(zhì)5的推論2定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間則可積性是顯然的.由推論127證說明性質(zhì)5的推論2定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間則28證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6定積分的概念與性質(zhì)分別是函數(shù)最大值及最小值.則28證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6定積分的概念29解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例29解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例30解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例30解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例31證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)7(定積分中值定理）定積分的概念與性質(zhì)如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:積分中值公式至少存在一點(diǎn)使即31證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)7(定積分中值定理）32定理用途

注定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:無論從幾何上,還是從物理上,都容易理解平均值公式求連續(xù)變量的平均值要用到.如何去掉積分號來表示積分值.32定理用途注定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理）如33解例定積分的概念與性質(zhì)定積分幾何意義求電動勢在一個周期上的平均值33解例定積分的概念與性質(zhì)定積分幾何意義求電動勢在一個周期上34積分中值公式的幾何解釋定積分的概念與性質(zhì)至少存在一點(diǎn)在區(qū)間使得以區(qū)間為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個矩形的面積.34積分中值公式的幾何解釋定積分的概念與性質(zhì)至少存在一點(diǎn)在35例證由積分中值定理有(a為常數(shù))定積分的概念與性質(zhì)35例證由積分中值定理有(a為常數(shù))定積分的概念與性質(zhì)363.定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)4.

典型問題(1)估計積分值;(2)不計算定積分比較積分大小.定積分的概念與性質(zhì)六、小結(jié)1.定積分的實(shí)質(zhì):特殊和式的極限.2.定積分的思想和方法:以直代曲、以勻代變.四步曲:分割、取近似、求和、取極限.思想方法363.定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)437思考題1證

夾逼定理即得定積分的概念與性質(zhì)37思考題1證夾逼定理即得定積分的概念與性質(zhì)38思考題2解由定積分幾何意義可知定積分的概念與性質(zhì)用定積分的幾何意義計算并求所圍成圖形的面積(如圖).圖形,38思考題2解由定積分幾何意義可知定積分的概念與性質(zhì)用定積分39定積分的概念與性質(zhì)39定積分的概念與性質(zhì)40第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法小結(jié)思考題作業(yè)定積分的分部積分法definiteintegralbypartsdefiniteintegralbysubstitution第五章定積分40第三節(jié)定積分的換元法定積分的換元法小結(jié)思考題41

上一節(jié)的?！R公式將定積分的計算的形式,而不定積分可用換元法和分部積分法求積,這樣定積分的計算問題已經(jīng)比較完滿地解決了.定積分的換元法和分部積分法歸結(jié)為求不定積分,如果將換元法和分部積分法寫成定積分常可使得計算更簡單.41上一節(jié)的?！R公式將定積分的計算的形式,而不定積分可用42定理1則有定積分換元公式假設(shè)函數(shù)定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法函數(shù)滿足條件:(1)(2)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域definiteintegralbysubstitution42定理1則有定積分換元公式假設(shè)函數(shù)定積分的換元法和分部積分43證故有則由于N--L公式N--L公式則所以存在原函數(shù)定積分的換元法和分部積分法原函數(shù),43證故有則由于N--L公式N--L公式則所以存在原函數(shù)定積44注由于積分限做了相應(yīng)的故積出來的原函數(shù)不必回代;求定積分的方法有兩種方法:

可用N--L公式;從換元的觀點(diǎn).(1)換元公式仍成立;(2)在定積分換元公式中,改變,(3)定積分的換元法和分部積分法44注由于積分限做了相應(yīng)的故積出來的原函數(shù)不必回代;求定積分45例解

在用“湊”微分的方法時,不明顯地寫出下限就不要變.定積分的上、新的變量t,注定積分的換元法和分部積分法45例解在用“湊”微分的方法時,不明顯地寫出下限就不要46或例解原式這是半徑為a的四分之一的圓的面積.定積分的換元法和分部積分法46或例解原式這是半徑為a的四分之一的圓的面積.定積分的換47例解原式定積分的換元法和分部積分法47例解原式定積分的換元法和分部積分法48解令原式練習(xí)定積分的換元法和分部積分法48解令原式練習(xí)定積分的換元法和分部積分法49

幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分的例子.

換元積分例證由于由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來確定變換.通常定積分的換元法和分部積分法作變換,還可以證明一些定積分等式,49幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分的例50利用這一結(jié)果計算:則定積分的換元法和分部積分法50利用這一結(jié)果計算:則定積分的換元法和分部積分法51可得:

由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和)也可得.奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)且有則則定積分的換元法和分部積分法51可得:由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和)也52例定積分的換元法和分部積分法52例定積分的換元法和分部積分法53證(1)三角函數(shù)的定積分公式例由此計算設(shè)定積分的換元法和分部積分法證畢.53證(1)三角函數(shù)的定積分公式例由此計算設(shè)定積分的換元54定積分的換元法和分部積分法設(shè)證由此計算54定積分的換元法和分部積分法設(shè)證由此計算55說明:盡管但由于它沒有初等原函數(shù),故此積分無法直接用N--L公式求得.定積分的換元法和分部積分法55說明:盡管但由于它沒有初等原函數(shù),故此積分無法直接用N-56周期函數(shù)的定積分公式這個公式就是說：周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等.(留給同學(xué)證)定積分的換元法和分部積分法56周期函數(shù)的定積分公式這個公式就是說：周期函數(shù)在任何長為一57例解法一定積分的換元法和分部積分法57例解法一定積分的換元法和分部積分法58法二即{定積分的換元法和分部積分法58法二即{定積分的換元法和分部積分法59練習(xí)解被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量x,故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式,應(yīng)先作換元變換,則分析定積分的換元法和分部積分法59練習(xí)解被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量x,故不能直接應(yīng)60定積分的換元法和分部積分法練習(xí)選擇題設(shè)函數(shù)連續(xù),則下列函數(shù)中,必為偶函數(shù)的是分析?2002年考研數(shù)學(xué)選擇3分60定積分的換元法和分部積分法練習(xí)選擇題設(shè)函數(shù)連續(xù),則下列函61定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法二、定積分的分部積分法設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則definiteintegralbyparts定理2由不定積分的分部積分法及N--L公式.61定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法二、定積分62例

解定積分的換元法和分部積分法原式=?62例解定積分的換元法和分部積分法原式=?63例

解定積分的換元法和分部積分法1990年考研數(shù)學(xué)計算5分原式=63例解定積分的換元法和分部積分法1990年考研數(shù)學(xué)64例

解無法直接求出所以因?yàn)闆]有初等原函數(shù),定積分的換元法和分部積分法分析被積函數(shù)中含有“積分上限的函數(shù)”,用分部積分法做.選擇積分上限的函數(shù)為64例65定積分的換元法和分部積分法注今后也可將原積分化為二重積分計算.65定積分的換元法和分部積分法注今后也可將原積分化為二重積分66例證明定積分公式證設(shè)n為正偶數(shù)n為大于1的正奇數(shù)J.Wallis公式十七世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家JohnWallis給出.定積分的換元法和分部積分法66例證明定積分公式證設(shè)n為正偶數(shù)n為大于1的正奇數(shù)67積分關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止因?yàn)槎ǚe分的換元法和分部積分法67積分關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止因?yàn)槎?8所以,當(dāng)n為正偶數(shù)時,當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時,定積分的換元法和分部積分法68所以,當(dāng)n為正偶數(shù)時,當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時,定積分的換69例

為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)上公式在計算其它積分時可以直接引用.注定積分的換元法和分部積分法69例為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)上公式在計算其它積分時可70例

解用公式n為正偶數(shù)定積分的換元法和分部積分法70例解用公式n為正偶數(shù)定積分的換元法和分部積分法71練習(xí)解用定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法71練習(xí)解用定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法72解則是奇函數(shù),是偶函數(shù),

周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等.定積分的換元法和分部積分法練習(xí)n為正偶數(shù)72解則是奇函數(shù),是偶函數(shù),周期函數(shù)在任何長73定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法三、小結(jié)定積分的換元公式奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式73定積分的分部積分公式定積分的換元法和分部積分法三、小結(jié)定74思考題1

試檢查下面運(yùn)算是否正確?如不正確,定積分的換元法和分部積分法

希指出原因.解答注意必定大于零.上述運(yùn)算的問題在于引進(jìn)的變換不滿足換元法則的前提條件.74思考題1試檢查下面運(yùn)算是否正確?如不正確,定積分的換75思考題2解答定積分的換元法和分部積分法75思考題2解答定積分的換元法和分部積分法76第五章定積分基本要求

理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基本定理,了解反常積分的概念,掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法.1第五章定積分基本要求理解定積分的定義77第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分的定義關(guān)于函數(shù)的可積性定積分的幾何意義和物理意義小結(jié)思考題作業(yè)定積分定積分的性質(zhì)***definiteintegral2第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例定積分的定義關(guān)于781.曲邊梯形的面積

定積分概念也是由大量的實(shí)際問題抽象出求由連續(xù)曲線一、定積分問題舉例定積分的概念與性質(zhì)來的,現(xiàn)舉兩例.31.曲邊梯形的面積定積分概念也是由大量的實(shí)79用矩形面積梯形面積．（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代曲顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊定積分的概念與性質(zhì)近似取代曲邊梯形面積4用矩形面積梯形面積．（五個小矩形）（十個小矩形）思想以直代80

采取下列四個步驟來求面積A.(1)

分割(2)

取近似定積分的概念與性質(zhì)長度為為高的小矩形,面積近似代替5采取下列四個步驟來求面積A.(1)分割(2)取81(3)

求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)

求極限為了得到A的精確值,取極限,形的面積:分割無限加細(xì),定積分的概念與性質(zhì)極限值就是曲邊梯6(3)求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值822.求變速直線運(yùn)動的路程思想以不變代變設(shè)某物體作直線運(yùn)動,已知速度是時間間隔的一個連續(xù)函數(shù),求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路把整段時間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．定積分的概念與性質(zhì)72.求變速直線運(yùn)動的路程思想以不變代變設(shè)某物體作直線運(yùn)動,83(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似定積分的概念與性質(zhì)表示在時間區(qū)間內(nèi)走過的路程.某時刻的速度8(1)分割(3)求和(4)取極限路程的精確值(84二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定義若干個分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積并作和記如果不論對(1)(2)(3)(4)上兩例共同點(diǎn):2)方法一樣;1)量具有可加性,3)結(jié)果形式一樣.定積分的概念與性質(zhì)9二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a85被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.定積分的概念與性質(zhì)積分下限積分上限積分變量[a,b]積分區(qū)間10被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,也不論在小區(qū)間上86(2)的結(jié)構(gòu)和上、下限,

今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性進(jìn)行推理.定積分是一個數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分的概念與性質(zhì)有關(guān);注無關(guān).而與積分變量的記號無關(guān).11(2)的結(jié)構(gòu)和上、下限,今后將經(jīng)常利87曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值1.幾何意義定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的幾何意義和物理意義12曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值1.幾何意義定積分的88幾何意義定積分的概念與性質(zhì)各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號.它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a,x=b之間的在x軸上方的面積取正號;在x軸下方的面積13幾何意義定積分的概念與性質(zhì)各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號.它89例解2.物理意義t=b所經(jīng)過的路程s.oxy作直線運(yùn)動的物體從時刻t=a到時刻定積分的概念與性質(zhì)定積分表示以變速14例解2.物理意義t=b所經(jīng)過的路程s.oxy作直90定理1定理2或記為

黎曼德國數(shù)學(xué)家(1826–1866)定積分的概念與性質(zhì)四、關(guān)于函數(shù)的可積性可積.且只有有限個間可積.當(dāng)函數(shù)的定積分存在時,可積.黎曼可積,斷點(diǎn),充分條件15定理1定理2或記為黎曼德國數(shù)學(xué)家(1826–186691解例用定義計算由拋物線定積分的概念與性質(zhì)和x軸所圍成的曲邊梯形面積.直線小區(qū)間的長度取16解例用定義計算由拋物線定積分的概念與性質(zhì)和x軸所圍92定積分的概念與性質(zhì)對于任一確定的自然數(shù)積分和當(dāng)n取不同值時,近似值精度不同.n取得越大,近似程度越好.17定積分的概念與性質(zhì)對于任一確定的自然數(shù)積分和當(dāng)n取不同值93定積分的概念與性質(zhì)討論定積分的近似計算問題.存在.n等分,用分點(diǎn)分成n個長度相等的小區(qū)間,長度取有每個小區(qū)間對任一確定的自然數(shù)18定積分的概念與性質(zhì)討論定積分的近似計算問題.存在.n等分94定積分的概念與性質(zhì)取如取矩形法公式矩形法的幾何意義19定積分的概念與性質(zhì)取如取矩形法公式矩形法的95對定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明定積分的概念與性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小．20對定積分的補(bǔ)充規(guī)定說明定積分的概念與性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)96證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1定積分的概念與性質(zhì)21證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1定積分97證性質(zhì)2性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì).22證性質(zhì)2性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為定積分的概念與性質(zhì)線性性質(zhì).98

補(bǔ)充例

(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3定積分的概念與性質(zhì)假設(shè)的相對位置如何,上式總成立.不論23補(bǔ)充例(定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則性質(zhì)3定積99證性質(zhì)4性質(zhì)5定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則24證性質(zhì)4性質(zhì)5定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則100解令于是定積分的概念與性質(zhì)比較積分值和的大小.例25解令于是定積分的概念與性質(zhì)比較積分值和的大小.例101性質(zhì)5的推論1證定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則于是性質(zhì)5如果在區(qū)間則26性質(zhì)5的推論1證定積分的概念與性質(zhì)如果在區(qū)間則于是性質(zhì)5102證說明性質(zhì)5的推論2定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間則可積性是顯然的.由推論127證說明性質(zhì)5的推論2定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間則103證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6定積分的概念與性質(zhì)分別是函數(shù)最大值及最小值.則28證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6定積分的概念104解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例29解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例105解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例30解定積分的概念與性質(zhì)估計積分例106證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)7(定積分中值定理）定積分的概念與性質(zhì)如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:積分中值公式至少存在一點(diǎn)使即31證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:性質(zhì)7(定積分中值定理）107定理用途

注定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則在積分區(qū)間至少存在一點(diǎn)使下式成立:無論從幾何上,還是從物理上,都容易理解平均值公式求連續(xù)變量的平均值要用到.如何去掉積分號來表示積分值.32定理用途注定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)7(定積分中值定理）如108解例定積分的概念與性質(zhì)定積分幾何意義求電動勢在一個周期上的平均值33解例定積分的概念與性質(zhì)定積分幾何意義求電動勢在一個周期上109積分中值公式的幾何解釋定積分的概念與性質(zhì)至少存在一點(diǎn)在區(qū)間使得以區(qū)間為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個矩形的面積.34積分中值公式的幾何解釋定積分的概念與性質(zhì)至少存在一點(diǎn)在110例證由積分中值定理有(a為常數(shù))定積分的概念與性質(zhì)35例證由積分中值定理有(a為常數(shù))定積分的概念與性質(zhì)1113.定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)4.

典型問題(1)估計積分值;(2)不計算定積分比較積分大小.定積分的概念與性質(zhì)六、小結(jié)1.定積分的實(shí)質(zhì):特殊和式的極限.2.定積分的思想和方法:以直代曲、以勻代變.四步曲:分割、取近似、求和、取極限.思想方法363.定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)4112思考題1證

夾逼定理即得定積分的概念與性質(zhì)37思考題1證夾逼定理即得定積分的概念與性質(zhì)113思考題2解由定積分幾何意義可知定積分的概念與性質(zhì)用定積分的幾何意義計算并求所圍成圖形的面積(如圖).圖形,38思考題2解由定積分幾何意義可知定積分的概念與性質(zhì)用定積分114定積分的概念與性質(zhì)39定積分的概念與性質(zhì)115第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法小結(jié)思考題作業(yè)定積分的分部積分法definiteintegralbypartsdefiniteintegralbysubstitution第五章定積分40第三節(jié)定積分的換元法定積分的換元法小結(jié)思考題116

上一節(jié)的?！R公式將定積分的計算的形式,而不定積分可用換元法和分部積分法求積,這樣定積分的計算問題已經(jīng)比較完滿地解決了.定積分的換元法和分部積分法歸結(jié)為求不定積分,如果將換元法和分部積分法寫成定積分常可使得計算更簡單.41上一節(jié)的?！R公式將定積分的計算的形式,而不定積分可用117定理1則有定積分換元公式假設(shè)函數(shù)定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法函數(shù)滿足條件:(1)(2)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域definiteintegralbysubstitution42定理1則有定積分換元公式假設(shè)函數(shù)定積分的換元法和分部積分118證故有則由于N--L公式N--L公式則所以存在原函數(shù)定積分的換元法和分部積分法原函數(shù),43證故有則由于N--L公式N--L公式則所以存在原函數(shù)定積119注由于積分限做了相應(yīng)的故積出來的原函數(shù)不必回代;求定積分的方法有兩種方法:

可用N--L公式;從換元的觀點(diǎn).(1)換元公式仍成立;(2)在定積分換元公式中,改變,(3)定積分的換元法和分部積分法44注由于積分限做了相應(yīng)的故積出來的原函數(shù)不必回代;求定積分120例解

在用“湊”微分的方法時,不明顯地寫出下限就不要變.定積分的上、新的變量t,注定積分的換元法和分部積分法45例解在用“湊”微分的方法時,不明顯地寫出下限就不要121或例解原式這是半徑為a的四分之一的圓的面積.定積分的換元法和分部積分法46或例解原式這是半徑為a的四分之一的圓的面積.定積分的換122例解原式定積分的換元法和分部積分法47例解原式定積分的換元法和分部積分法123解令原式練習(xí)定積分的換元法和分部積分法48解令原式練習(xí)定積分的換元法和分部積分法124

幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分的例子.

換元積分例證由于由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化來確定變換.通常定積分的換元法和分部積分法作變換,還可以證明一些定積分等式,49幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分的例125利用這一結(jié)果計算:則定積分的換元法和分部積分法50利用這一結(jié)果計算:則定積分的換元法和分部積分法126可得:

由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和)也可得.奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)且有則則定積分的換元法和分部積分法51可得:由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和)也127例定積分的換元法和分部積分法52例定積分的換元法和分部積分法128證(1)三角函數(shù)的定積分公式例由此計算設(shè)定積分的換元法和分部積分法證畢.53證(1)三角函數(shù)的定積分公式例由此計算設(shè)定積分的換元129定積分的換元法和分部積分法設(shè)證由此計算54定積分的換元法和分部積分法設(shè)證由此計算130說明:盡管但由于它沒有初等原函數(shù),故此積分無法直接用N--L公式求得.定積分的換元法和分部積分法55說明:盡管但由于它沒有初等原函數(shù),故此積分無法直接用N-131周期函數(shù)的定積分公式這個公式就是說：周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等.(留給同學(xué)證)定積分的換元法和分部積分法56周期函數(shù)的定積分公式這個公式就是說：周期函數(shù)在任何長為一132例解法一定積分的換元法和分部積分法57例解法一定積分的換元法和分部積分法133法二即{定積分的換元法和分部積分法58法二即{定積分的換元法和分部積分法134練習(xí)解被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量x,故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式,應(yīng)先作換元變換,則分析定積分的換元法和分部積分法59練習(xí)解被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量x,故不能直接應(yīng)135