壓電陶瓷測量原理

壓電陶瓷測量原理壓電陶瓷及其測量原理近年來，壓電陶瓷的研究發(fā)展迅速，取得一系列重大成果，應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，已深入到國民經(jīng)濟(jì)和尖端技術(shù)的各個方面中，成為不可或缺的現(xiàn)代化工業(yè)材料之一。由于壓電材料的各向異性，每一項(xiàng)性能參數(shù)在不同的方向所表現(xiàn)出的數(shù)值不同，這就使得壓電陶瓷材料的性能參數(shù)比一般各向同性的介質(zhì)材料多得多。同時，壓電陶瓷的眾多的性能參數(shù)也是它廣泛應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。（一）壓電陶瓷的主要性能及參數(shù)（1）壓電效應(yīng)與壓電陶瓷在沒有對稱中心的晶體上施加壓力、張力或切向力時，則發(fā)生與應(yīng)力成比例的介質(zhì)極化，同時在晶體兩端將出現(xiàn)正負(fù)電荷，這一現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)；反之，在晶體上施加電場時，則將產(chǎn)生與電場強(qiáng)度成比例的變形或機(jī)械應(yīng)力，這一現(xiàn)象稱為逆壓電效應(yīng)。這兩種正、逆壓電效應(yīng)統(tǒng)稱為壓電效應(yīng)。晶體是否出現(xiàn)壓電效應(yīng)由構(gòu)成晶體的原子和離子的排列方式，即晶體的對稱性所決定。在聲波測井儀器中，發(fā)射探頭利用的是正壓電效應(yīng)，接收探頭利用的是逆壓電效應(yīng)。

（2）壓電陶瓷的主要參數(shù)1、介質(zhì)損耗l=J

w介質(zhì)損耗是包括壓電陶瓷在內(nèi)的任何電介質(zhì)的重要品質(zhì)指標(biāo)之一。在交變電場下，電介質(zhì)所積蓄的電荷有兩種分量：一種是有功部分（同相），由電導(dǎo)過程所引起；另一種為無功部分（異相），由介質(zhì)弛豫過程所引起。介質(zhì)損耗是異相分量與同相分量的比值，如圖1所示，i為同l=J

wC相分量，I.為異相分量，七與總電流I的夾角為/其正切值為球=L—其中e為交變電場° I?CR的角頻率，R為損耗電阻，C為介質(zhì)電容。矢量圖（有損耗時）2、機(jī)械品質(zhì)因數(shù)機(jī)械品質(zhì)因數(shù)是描述壓電陶瓷在機(jī)械振動時，材

I=J

w料內(nèi)部能量消耗程度的一個參數(shù)，它也是衡量壓電陶瓷材料性能的一個重要參數(shù)。機(jī)械品質(zhì)因數(shù)越大，能量的損耗越小。產(chǎn)生能量損耗的原因在于材料的內(nèi)部摩擦。機(jī)械品質(zhì)因數(shù)Q的定義為：I=J

wQ Q 諧振時振子儲存的機(jī)械能 nm=諧振時振子每周所損失的機(jī)械能X2機(jī)械品質(zhì)因數(shù)可根據(jù)等效電路計(jì)算而得①LQm=ERC式中R為等效電阻（Q），E為串聯(lián)諧振角頻1 S率（Hz）,c為振子諧振時的等效電容（F）,l為1 1振子諧振時的等效電感。Q與其它參數(shù)之間的m關(guān)系將在后續(xù)詳細(xì)推導(dǎo)。不同的壓電器件對壓電陶瓷材料的Q值的m要求不同，在大多數(shù)的場合下（包括聲波測井的壓電陶瓷探頭），壓電陶瓷器件要求壓電陶瓷的Q值要高。m3、壓電常數(shù)壓電陶瓷具有壓電性，即在其外部施加應(yīng)力時能產(chǎn)生額外的電荷。其產(chǎn)生的電荷與施加的應(yīng)力成比例，對于壓力和張力來說，其符號是相反的，電位移D（單位面積的電荷）和應(yīng)力。的關(guān)系表達(dá)式為:D-Q-dr——rA

式中Q為產(chǎn)生的電荷（C）,A為電極的面積（m2）,d為壓電應(yīng)變常數(shù)（C/N）。在逆壓電效應(yīng)中，施加電場E時將成比例地產(chǎn)生應(yīng)變S,所產(chǎn)生的應(yīng)變S是膨脹還是收縮，取決于樣品的極化方向。S=dE兩式中的壓電應(yīng)變常數(shù)d在數(shù)值上是相同的，即DSd=—=—bE另一個常用的壓電常數(shù)是壓電電壓常數(shù)g,它表示應(yīng)力與所產(chǎn)生的電場的關(guān)系，或應(yīng)變與所引起的電位移的關(guān)系。常數(shù)g與d之間有如下關(guān)系：dg=—￡式中￡為介電系數(shù)。在聲波測井儀器中，壓電換能器希望具有較高的壓電應(yīng)變常數(shù)和壓電較高的接受靈敏度。電壓常數(shù)，以便能發(fā)射較大能量的聲波并且具有l(wèi)=J電壓常數(shù)，以便能發(fā)射較大能量的聲波并且具有l(wèi)=J4、機(jī)電耦合系數(shù)當(dāng)用機(jī)械能加壓或者充電的方法把能量加到壓電材料上時，由于壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)，機(jī)械能（或電能）中的一部分要轉(zhuǎn)換成電能（或機(jī)械能）。這種轉(zhuǎn)換的強(qiáng)弱用機(jī)電耦合系數(shù)k來

表示，它是一個量綱為一的量。機(jī)電耦合系數(shù)是綜合反映壓電材料性能的參數(shù)，它表示壓電材料的機(jī)械能和電能的耦合效應(yīng)。機(jī)電耦合系數(shù)的定義為：k=電能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能或者k2=機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔茌斎腚娔?輸入機(jī)械能I=J機(jī)電耦合系數(shù)不但與材料參數(shù)有關(guān)，還與具體壓電材料的工作方式有關(guān)。對于壓電陶瓷來說，它的大小還與極化程度相關(guān)。它只是反映機(jī)、電兩類能量通過壓電效應(yīng)耦合的強(qiáng)弱，并不代表兩類能量之間的轉(zhuǎn)換效率。壓電材料的耦合系數(shù)在不同的場合有不同的要求，當(dāng)制作換能器時，希望機(jī)電耦合系數(shù)越大越好。I=J（二）壓電換能器的等效電路壓電換能器的等效電路表示法，是利用電學(xué)網(wǎng)絡(luò)術(shù)語表示壓電陶瓷的機(jī)械振動特性，即把某些力學(xué)量模擬為電學(xué)量的方法。把壓電換能器用等效電路來表示，有很多優(yōu)點(diǎn)：其一，可以把力學(xué)上復(fù)雜的振動問題有效地進(jìn)行簡化；其二，為了得到換能器的各個參數(shù)，從而定量地分析或篩選換能器；其三，實(shí)際應(yīng)用的需要，因?yàn)樵趯?shí)際的應(yīng)用當(dāng)中，壓電換能器也是接入到具體的電子線路中的，得到壓電換能器的等效電路能夠更好地對其外圍電路進(jìn)行匹配設(shè)計(jì)。由此可見，得到壓電換能器的等效電路是十分必要的。2.3壓電換能器的諧振特性將壓電換能器按照圖2-2所示線路連接。當(dāng)改變信號頻率時，可以發(fā)現(xiàn)，通過壓電陶瓷換能器的電流也隨著發(fā)生變化，其變化規(guī)律如圖2-3（a）所示。從圖2-3（a）可以看出，當(dāng)信號為某一頻率f時，通過壓電陶瓷換能器的電流出m現(xiàn)最大值上；而當(dāng)信號變到另一頻率f時，傳輸電流出現(xiàn)最小值/。由流經(jīng)它的電流隨頻率min的變化可以看出，壓電陶瓷換能器的阻抗是隨頻率的變化而變化的，其變化規(guī)律同電流相反，如圖2-3（b）所示。出電陶眨圖2-2壓電陶瓷換能器

諧振特性接線示意圖Cb)圖2-3壓電陶瓷換能器電流、阻抗同頻率的關(guān)系曲線(a)電流-頻率關(guān)系曲線(b)阻抗-頻率關(guān)系曲線liiJ從圖中可以看出，當(dāng)信號頻率為f時，通過mliiJ壓電陶瓷換能器的電流最大，即其等效阻抗最小，導(dǎo)納最大；當(dāng)信號頻率為f時，通過壓電陶n瓷換能器的電流最小，即其等效阻抗最大，導(dǎo)納最小。因此把f稱為最大導(dǎo)納頻率或最小阻抗頻m率；而把f稱為最小導(dǎo)納頻率或最大阻抗頻率。n而當(dāng)信號頻率繼續(xù)增大時，還會出現(xiàn)一系列的電流的極大值和極小值，如圖2-4所示。圖2-4壓電陶瓷換能器電流隨頻率變化示意圖（多諧振模式）2.2.4壓電換能器的等效電路根據(jù)交流電路相關(guān)知識，對于圖2-5所示好的LC電路來說，其阻抗Z也隨著頻率的變化而變化。在圖2-2所示的線路中，用LC電路代替壓電陶瓷換能器，可以發(fā)現(xiàn)，在壓電陶瓷換能器的諧振頻率處，只要選擇合適的％、°1、％和c，通過LC電路的電流和LC電路的阻抗0的絕對值隨頻率的變化曲線，分別同圖2-1中的（b）和（c）的關(guān)系曲線非常相似。也就是說，在串聯(lián)諧振頻率附近，壓電陶瓷換能器的阻抗特性和諧振特性同LC電路的阻抗特性和頻率特性非常相似。因此，利用機(jī)電類比的方法，可以用一個LC電路來表示壓電陶瓷換能器的參數(shù)和特性，這個LC電路即為壓電陶瓷換能器的等效電路。L.ClRl II 圖2-5LC電路對壓電陶瓷換能器來說，在任何串聯(lián)諧振頻率附近，其電行為可以用圖2-3所示的LC電路來表示。在壓電陶瓷換能器的串聯(lián)諧振頻率附近，如果值存在一種振動模式，即沒有其它寄生響應(yīng)，則在串聯(lián)諧振頻率附近很窄的頻率范圍內(nèi)，可以認(rèn)為壓電陶瓷換能器的等效參數(shù).、c、1 1勺和c°與頻率無關(guān)。在實(shí)際中通過選擇合適的尺寸進(jìn)行加工處理，是可以將所需要的振動模式同其他模式充分隔離開來的。另外，考慮到在實(shí)際中，在通電之后，壓電陶瓷換能器必然會存在能量的損耗，這一能量損耗可用一個并聯(lián)電阻R來等效。所以其最終R0等效電路圖如圖2-6所示。LCiRiI h |—G.。 II Rn m 圖2-6壓電陶瓷換能器等效電路圖圖中串聯(lián)支路中的乙稱為壓電陶瓷換能器的1動態(tài)電感，c稱為動態(tài)電容，人稱為動態(tài)電阻。1 1這三個參數(shù)用來表征壓電陶瓷換能器在工作(加電源激勵產(chǎn)生振動)的情況下，振動部分所受到的力阻抗和介質(zhì)對振動的反作用的強(qiáng)弱。并聯(lián)電容co又稱靜態(tài)電容，表征壓電陶瓷換能器在未加激勵的情況下等效為一個純電容，它的值的大小與換能器的形狀有關(guān)。并聯(lián)電阻R又稱靜態(tài)0電阻，表征換能器的電損耗的大小。2.2.5壓電換能器的導(dǎo)納特性根據(jù)已得到的壓電換能器的等效電路圖，來進(jìn)一步分析其導(dǎo)納特性。為了簡化推導(dǎo)，先假定壓電陶瓷換能器沒有電損耗，即r=0，此時其等效電路即為一個LC電路，如圖2-5所示。則y=y+y (2-1)式中：Y為換能器的總的導(dǎo)納值，y「bf1—JB—j3為并聯(lián)支路的導(dǎo)納值，y_g—B為串聯(lián)支路的導(dǎo)1lGJD1 1 1納值。先對串聯(lián)支路進(jìn)行分析。

1 1 "j(叫-土)得到:TOC\o"1-5"\h\z, 1JR2+(^L—F1 1①C1(2-2)由式c R?E (2-2)由式G1= ,B1= T-R2+(①L )2 R2+(①L-—^)211若令R「+(—L1—-1—)2=x則.、：x-R「=(—L1— )1 1(2-2)可得：X—R1,B2=(—4「x-R2)2=4(x-R2)=—G2+Gx=G11 R「 1 R「 1 1R1所以，B2+G2—4=0兩邊同時加上（上）2,可得1 1R] 2R](G-上)2+B2=(上)2(2-3)12R] 12R]若以電導(dǎo)為橫坐標(biāo)，電納為縱坐標(biāo)，則式（2-3）表示一個以（_L,0）為圓心，_L為半徑1 1的圓，也即是我們所說的導(dǎo)納圓。如圖2-7中虛線所示納圓圖對于串聯(lián)支路進(jìn)行分析，根據(jù)串聯(lián)諧振頻率的定義，令氣=0,則由式（2-3）可得到g=0或G卷。由于實(shí)際的壓電陶瓷換能器的動態(tài)電阻G=1RTOC\o"1-5"\h\z1 ■ 1r不可能為零，根據(jù)式（2-2）中G］的表達(dá)式可以扇道，只有G=1R滿足串聯(lián)諧振的條件。即：1 ■' 1逐一上=0，所以可以得到串聯(lián)支路的諧振頻率（又1①C1稱機(jī)械共振頻率）：①=」 （2-4）（L￡接著考慮加入靜態(tài)電容后的情況。由式（2-1）可知，考慮靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納相當(dāng)于在串聯(lián)支路的電納（虛部）加上k。鑒于一0般情況下，壓電陶瓷換能器的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)都較大，也即在串聯(lián)諧振頻率。附近，…C的值隨s 0 0頻率的變化很小，可以近似認(rèn)為是一個常數(shù)。因此，只需將串聯(lián)支路所得到的導(dǎo)納圓的縱坐標(biāo)向上平移一個常數(shù)，而橫坐標(biāo)保持不變即可得到加入靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納關(guān)系圖，如圖2-7中點(diǎn)劃線所示。若再考慮到換能器的靜態(tài)電阻并不為零，則實(shí)際中的導(dǎo)納圓不可能與縱軸相切，而是向橫軸的正向平移一定的量（平移距離的大小取決于靜態(tài)電阻的阻值），如圖2-7中實(shí)線圓所示對導(dǎo)納圓圖進(jìn)行簡要的分析可知：當(dāng)f<f即s①睫時，電納值大于零，當(dāng)f>f即geo時，電納值s s s小于零。所以，隨著頻率的增加，導(dǎo)納圓是沿順時針方向變化的。另外，在串聯(lián)諧振頻率的附近，還存在著兩個頻率點(diǎn)使得換能器總的電納為零，此時電源信號經(jīng)過換能器之后只有幅值的改變，而沒有相位的變化，也即電壓和電流信號同相位。這兩個頻率中，值較小的那個頻率f稱為諧r振頻率，較大f的稱為反諧振頻率。另外還存在a使得換能器的導(dǎo)納值取得最大的頻率f，導(dǎo)納m值最小的頻率f。連接原點(diǎn)和串聯(lián)諧振頻率點(diǎn)，n與導(dǎo)納圓的交點(diǎn)處的頻率f稱為并聯(lián)諧振頻率。p另外，需要特別指出的是，上述討論是在一個振動模態(tài)諧振頻率o附近較小的頻率變化范s圍內(nèi)進(jìn)行的，并且只有在導(dǎo)納圓的直徑遠(yuǎn)大于這個頻率范圍內(nèi)"的變化時才是正確的，否則換能器的導(dǎo)納曲線將變得十分復(fù)雜，具有蔓葉曲線的特征。根據(jù)以上導(dǎo)納圓圖的推導(dǎo)過程，下面介紹一下壓電陶瓷換能器等效電路中各個參數(shù)和導(dǎo)納

圓圖的關(guān)系，并給出各自的計(jì)算公式。在換能器的導(dǎo)納圓圖中作平行于縱軸的直徑，交導(dǎo)納圓于兩點(diǎn)，分別記作f、f。在f點(diǎn)處,TOC\o"1-5"\h\zJ1J2 J1串聯(lián)支路的動態(tài)電導(dǎo)和電納值相等，即G-B。由式（2-2）可得:― 1、(2-5)—（oL— ）(2-5)% — 11ogR2（oL—^—）R2+（oL—^^）21 11oC1 11oC在f點(diǎn)處，串聯(lián)支路的動態(tài)電導(dǎo)和電納值J2相等，但符號相反，即G——B。由式（2-2）可TOC\o"1-5"\h\z1 1T1R 也1一oC 1―— ―R2+(oL— )R2+(oL— )21 21oC1 21oC(2-6)結(jié)合式（2-5結(jié)合式（2-5）和式（2-6），可得:L1L1—o-1o2 1再由式(2-4)可得:(2-7)(2-8)機(jī)械品質(zhì)因數(shù)：e機(jī)械品質(zhì)因數(shù)：e①L—s1Ri(2-9)結(jié)合式（2-7）和（2-8）可得：q一二一fm%—籍f2—f1式（2-5）和式（2-6）消去.得到:R1則f=fs 1 2所以：(2-10)①① ①212Q=fm牛動態(tài)電阻的值可以通過導(dǎo)納圓的直徑求得:（2-11）R=1/D W靜態(tài)電容c的值也可由導(dǎo)納圓偏離橫軸的C0距離來確定：「=七（2-12）liiJC=0ws式中y為圓心的縱坐標(biāo)。^0靜態(tài)電阻R的值可由導(dǎo)納圓偏離縱軸的距0離（或圓心的橫坐標(biāo)）來確定：（2-13）1^1《=—X02R1式中x為圓心的橫坐標(biāo)。0至此，我們已得到壓電陶瓷換能器等效電路中所有參數(shù)的計(jì)算公式。2.3測量原理在上一節(jié)中，得到的壓電陶瓷換能器等效電路參數(shù)的計(jì)算公式都是基于導(dǎo)納圓的，也即是基于各個頻率下的電導(dǎo)和電納值的，因此我們需要5：得到每個頻率點(diǎn)的導(dǎo)納值。為此采用圖2-8所示的測量原理圖進(jìn)行測量。l=J

w壓電陶瓷rRm圖2-8壓電陶瓷換能器測量原理示意圖圖2-8中，AC為頻率可控的交流信號源，R表示源內(nèi)阻，.稱為精密電阻，u為加在壓m a電陶瓷換能器山的電壓信號U為經(jīng)過換能器之B后的電壓信號。根據(jù)前面章節(jié)所介紹的壓電陶瓷的導(dǎo)納特性可以知道，在經(jīng)過換能器之后的電壓信號U相對于U會有一個幅度和相位的變化。不B A失一般性，在這里設(shè)定：Ua-Uaej^^，u=U幻5） （2-14）其中：UB「分別表示兩路信號的幅值，Am Bm3為信號的角頻率，*為信號的初始相位，0為兩路信號的相位差。按照習(xí)慣表達(dá)，先求壓電陶瓷換能器的阻抗，再取倒數(shù)得到導(dǎo)納。z=*=JUUTUBBRm

將式(2-14)代入得ZU e加中一Ue加+o=uUbej(?^+o) Rm(uA，ne一無一1)m=R[(^Amcos0-1)一jUAnsino]—R+jXmUn UnU一X—-R——Amsin0U一X—-R——Amsin0BmBm(2-15)再由導(dǎo)納和阻抗的關(guān)系可得Y—-—―1——G+jB(2-16)ZR+jX(2-16)艮"G—冬，B-一方2 2 2 2由以上推導(dǎo)可以看出，換能器的導(dǎo)納和阻抗值僅與加在其兩端的電壓信號的幅值比和相位差有關(guān)，因此只需要得到兩路信號的幅值和相位信息即可得到換能器等效電路的各個參數(shù)。而實(shí)際中，只需要對兩路信號進(jìn)行采樣，再通過對采樣所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理便可得到幅值和相位信息。2.4正弦信號的測量方法根據(jù)上一節(jié)介紹的測量原理可知，要得到壓電換能器在測試頻率下的電導(dǎo)和電納值，就需要測得其兩端正弦信號的幅值比和相位差。但是實(shí)際中，硬件電路實(shí)現(xiàn)的僅是對兩路信號的A/D

轉(zhuǎn)換采集，也即是得到的是兩路正弦信號的一系列的離散的點(diǎn)。在這一節(jié)中，將介紹從這些采集到的離散的點(diǎn)計(jì)算其幅值和相位的方法。2.4.1數(shù)字相關(guān)法I=j

wl=J

wl=J

w隨著微處理器和大規(guī)模集成電路的迅速發(fā)展，在測試系統(tǒng)中，越來越多的傳統(tǒng)的測量方法被數(shù)字化測量方法所取代。近年來，由于相關(guān)函數(shù)法具有提高測試精度，減少或簡化硬件設(shè)計(jì)，能夠充分利用測試系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和微型計(jì)算機(jī)，提高測試系統(tǒng)的可靠性和可維護(hù)性的諸多優(yōu)點(diǎn)，使得相關(guān)技術(shù)原理在相位差的測量及數(shù)字信號處理中得到了廣泛應(yīng)用，并展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景I=j

wl=J

wl=J

w1、相關(guān)函數(shù)法原理相關(guān)函數(shù)法利用兩同頻正弦信號的延時為零時的互相關(guān)函數(shù)值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差。設(shè)兩路被測信號為：(2.17)x(t)=Asm(2nft)+N(t)，y(t)=Bsin(2功+中)+N(t)其中：A、B^分別表示兩路信號的幅值，f表示信號的頻率，N(t)、n(t)分別表示兩路信號的干擾噪聲信號、表示兩路信號的相位差。顯然，

信號x(t)和y(t)是相關(guān)的，則兩路信號的互相關(guān)函數(shù)為：R(t)=-\Tx(t)y(t+t)dtT0xy(2-18)R(t)=TJT[Asin(2功)+N(t)]-[Bsin(2?(t+t)+中)+N(t+t)]xy(2-18)式中T為信號的周期，即/1T=f當(dāng)t=0時，有R(0)=-jT[Asin(2功)+N(t)]-[Bsin(2功+中)+N(t)]dt由于噪聲信號之間不相關(guān)，噪聲和信號之間也不相關(guān)，將上式進(jìn)一步展開得：R=1\TABsin(2功)sin(2功+中)dtxyT0=LjTABsin(2功)[sin(2功)cos中+cos(2功)sin中]dtT0=LjTABsin(2功)sin(2功)cos^dt=—ABcos中T0 2(2-19)所以，可以得到相位差的計(jì)算公式:(2-19)中=arccos(2* ))AB而信號幅值的大小可由信號的自相關(guān)函數(shù)求得R(t)=1j:x(t)x(t+t)dt=1j：Asin(2功)Asin(2寫(t+t))dtxT_T T_T2 2(2-20)當(dāng)T=0時，有

1.工 A2R(0)=j2A2sin2(2nft)dt=一xT-t 22所以可得信號幅值的計(jì)算公式:A-型 (2-21)b=、^R70將上式代入式(2-19),可得相位差計(jì)算公(2-22)式的另一種表達(dá)式：(2-22)中=arccosj⑼=)或(0)Ry(0)而在實(shí)際中；是沒有完整精確的信號的表達(dá)式的，有的是對信號的模數(shù)轉(zhuǎn)換所得到的離散的數(shù)據(jù)，離散序列的自相關(guān)和互相關(guān)的計(jì)算公式如下：R(0)=-習(xí)x(i)y(i)xy nR(0)=-￡2 (2必)xni=0R(0)=-云y(i)2i=0式中：n表示采樣個數(shù)，i表示第i個采樣點(diǎn)，x(i)、y(i)分別表示兩路信號的第i個點(diǎn)的轉(zhuǎn)換得到數(shù)值。由式(2-23)分別求出兩路信號的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)值之后，再由式(2-21)和式(2-22)即可得到兩路信號各自的幅值和它們之間的相位差。但是，需要指出的是，由數(shù)字相關(guān)法求得

i=j的相位差，并不能區(qū)分是超前還是滯后，這就需要采用其他方法來確定相位差符號的正負(fù)號。根據(jù)前面測量原理中的介紹，由式（2-15）和式（2-16）可知，壓電陶瓷換能器的電導(dǎo)值僅取決于兩路信號相位差的余弦值，而電納的值是在電導(dǎo)值取得最大的時候發(fā)生變號。由此，可以先求得電導(dǎo)的值，再通過循環(huán)找其最大值，并從使電導(dǎo)取得最大值時的相位差開始，把相位差變號，得到新的相位差序列，再由新的相位差序列求電納的值即可。圖2-9表示的為采用數(shù)字相關(guān)法對一號壓電換能器測量數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，其中（a）表示的是導(dǎo)納圓圖，（b）表示的是電導(dǎo)和電納值隨測試頻率的變化曲線。i=j(b)圖2-9數(shù)字相關(guān)法處理結(jié)果

2、相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)及誤差分析liiJi=j

wi=j

wliiJi=j

wi=j

wl=jl=Jl=J

wl=J

w由于噪聲干擾信號和原信號并不相關(guān)，所以相關(guān)函數(shù)法能夠有效的抑制噪聲干擾。但是，如果在系統(tǒng)中存在相關(guān)性較強(qiáng)的干擾信號，并且信噪比又比較低的情況下，相關(guān)函數(shù)法測量誤差就會比較大。由相關(guān)函數(shù)法離散序列的最終計(jì)算公式可以看出，其計(jì)算結(jié)果與采樣的點(diǎn)數(shù)有關(guān)，也即是說測量誤差的大小與采樣點(diǎn)數(shù)是相關(guān)的，采樣點(diǎn)數(shù)越大，計(jì)算結(jié)果越接近真實(shí)值，測量誤差也就越小。l=Jl=J

wl=J

w綜合以上對相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)的分析，可知相關(guān)函數(shù)法對于采樣轉(zhuǎn)換信號中的直流偏移和噪聲等干擾具有很強(qiáng)的抑制能力，它的誤差主要是因?yàn)椴捎糜邢揲L度的樣本代替了高斯白噪聲和均勻分布的A/D量化誤差，使得被檢正弦信號與噪聲信號并非完全不相關(guān)。所以，相關(guān)函數(shù)法的測量誤差與A/D轉(zhuǎn)換的位數(shù)、信號的信噪比和采集點(diǎn)數(shù)有關(guān)。2.4.2快速離散傅里葉變換法現(xiàn)代信號分析采用數(shù)字化方式實(shí)現(xiàn)，其核心是離散傅立葉變換，它完成了從時域到頻域的轉(zhuǎn)換，不僅可以實(shí)現(xiàn)線性譜分析，而且還是均方譜分析的關(guān)鍵。離散傅立葉變換(DFT)實(shí)現(xiàn)了信號首次在頻域表示的離散化，使得頻域也能夠用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，但由于用于實(shí)際時計(jì)算量太大而使應(yīng)用受到限制。直到1965年由Cooly和Tukey建立了一種快速傅立葉變換——FFT時，DFT的應(yīng)用才成為現(xiàn)實(shí)1、FFT獲取正弦波幅值和相位的原理設(shè)采集正弦信號得到的離散序列為x(n)，n=12，?“KN。則該序列的離散傅里葉變換為：N-1 .皿X(k)=DFT[x(n)]=先x(n)e-JNnn=0N-1 2兀k 2兀k=先x(n)[cos( n)-jsin( n)]=Re[X(k)]+Im[X(k)]N N'n=0k=0,1,2, N-1 (2-24)則其初始相位為：9=arctan(Re[X(k)]),k=匕+1Im[X(k)] f

其中：是信號的采樣頻率，N是采樣長度。Js在對時域離散序列進(jìn)行傅立葉變換之后，可以得到其離散的幅度譜和相位譜，在幅度譜和相1^1以得到其離散的幅度譜和相位譜，在幅度譜和相1^1位譜中找到對應(yīng)時域波形的頻率的譜線就可以得到時域的正弦波形的幅值和相位信息。圖2-10所示的是采用快速離散傅里葉變換法對采0 2 4 6 322.S 23 23.5 0 2 4 6 322.S 23 23.5 24a )((b)圖2-10快速離散傅里葉變換法處理結(jié)果2、FFT的特點(diǎn)及誤差分析通過傅里葉變換可以只提取基波參數(shù)，因此諧波的存在并不影響基波成分，所以諧波的存在對應(yīng)用這種方法測量相位差幾乎沒有影響；對于噪聲干擾，只有當(dāng)高斯白噪聲接近基波的頻率分量時才會影響到基波的相位，所以應(yīng)用FFT法量時才會影響到基波的相位，所以應(yīng)用FFT法三」i=j

wl=J=1l=J測量相位差也能有效地抑制高斯白噪聲干擾。但是，實(shí)際上信號是連續(xù)的無限長的序列，用FFTi=j

wl=J=1l=J2.4.3正弦曲線參數(shù)擬合法設(shè)被測的正弦信號為：f（t）=Asin（2兀ft+甲）+D （2-25）其中：f表示信號頻率，表示被測信號幅A01=1

w(2-26)值，o表示被測信號的初始相位角，D表示被測信號的直流分量。由于被測信號的頻率為已知的，故只需對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行三參數(shù)的正弦曲線擬合，即可得到被測信號的幅值和相位信息。為此，進(jìn)一步將上式展開可得：1=1

w(2-26)f=Asin（2功）+Bcos（2功）+D其中：一/、1A=Acos^,B=Asin^0 0從而將被測信號的幅值和初始相角轉(zhuǎn)化為

對參數(shù)A、B的求取。l=J其基本思想就是尋找合適的A、B和D的值，使得其測量殘差的平方和取得最小。設(shè)每個頻率下測量的時間序列為t=_L,(i=L2,3...n)，n為測￥sl=J量數(shù)據(jù)的個數(shù)，f為采樣頻率，f為每個點(diǎn)的測s i（2-27）量值。則測量殘差的表達(dá)式為：（2-27）e=￡[f(t)-Asin(2酒t)-Bcos(2啪)-D]2i=1要使得上式取得最小值，可對其參數(shù)求偏[f[f（i）-Asin（2功.）-Bcos（2功.）-D]2X0i=1￡[f（i）-Asin（2功.）-Bcos（2功.）-D]2X0i=1]￡[f（i）-Asin（2功.）-Bcos（2功.）-D]2}=0Ii=1dAdAde=ddB一瓦8e_8聲—8D（2-28）進(jìn)一步化簡得到：￡sin（2功.）[Asin（2功.）+Bcos（2功.）+D]=￡sin（2功.）f（i）TOC\o"1-5"\h\zi=0 i=0￡cos（2功.）[Asin（2功.）+Bcos（2功.）+D]=￡cos（2功.）f（i）i=0 i=0￡[Asin（2^ft）+Bcos（2功.）+D]=￡f（i）(2-29)對于式(2-29),構(gòu)造如下三個矩陣:Ii=0 i=(2-29)對于式(2-29),構(gòu)造如下三個矩陣:sin2功cos2功sin2功cos2功1..sin2功n..cos2功n,X=-A-B,F=「f1(t1)]f1(t2)1 1D…—1'―—1]f1。Jsin2功cos2功1n式(2-29)可寫成如下矩陣形式:VtvX=VtF上式中X的解為:X=(VTV)-1(VtF) (2-30)則被測信號幅值的計(jì)算公式為:A=\ATB (2-31)制始相角的計(jì)算公式為：(2-32)B一(2-32)TOC\o"1-5"\h\zarctan(—) A>0AB 一arctan(—)+兀 A<0A至此，得到了被測信號的幅值和相位信息。采用同樣的方法對第二路信號的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即可得到第二路信號的幅值和相位信息，從而求出兩路信號的幅值比和相位差，進(jìn)一步便可得到每個頻率下?lián)Q能器的電導(dǎo)和電納值。圖2-11為參數(shù)擬合法的處理結(jié)果。

0.632O,O.wEf景=_一電油.S.6.4.20.0.0.0.632O,O.wEf景=_一電油.S.6.4.20.0.0.0.g-E虧至頻車此&圖2-11正弦曲線參數(shù)擬合法處理結(jié)果2.5導(dǎo)納圓的帶約束最小二乘曲線擬合通過以上章節(jié)的介紹，我們已經(jīng)得到了各個liiJ通過以上章節(jié)的介紹，我們已經(jīng)得到了各個liiJ測試頻率下壓電換能器的電導(dǎo)和電納值，繪制出了導(dǎo)納圓圖，但這還是不夠的。由壓電換能器等效電路的各個參數(shù)的計(jì)算公式可以看出，我們還需要得到導(dǎo)納圓的圓心和半徑的值。為此，就需要對所得到的離散點(diǎn)進(jìn)行圓曲線擬合。擬合圓的方法有很多種，常用的有平均值法、加權(quán)平均法和最小二乘法。平均值法的思想是分別計(jì)算各個離散點(diǎn)的

1^11^1橫、縱坐標(biāo)的平均值，作為圓心的橫、縱坐標(biāo)，將圓心到各個離散點(diǎn)的距離的平均值作為半徑。這種方法計(jì)算簡單，適用于離散點(diǎn)分布較均勻的情況，但對于分布不均的情況，所計(jì)算的圓心位置會偏向離散點(diǎn)分布較密集的一側(cè)，半徑的計(jì)算值也會偏小，誤差較大。加權(quán)平均法是對平均值法的改進(jìn)，它在計(jì)算圓心坐標(biāo)時加入一個與兩相鄰點(diǎn)間弧長相關(guān)的系數(shù)，降低了離散點(diǎn)分布不均的影響，減小了誤差。但是，由于兩相鄰點(diǎn)間的弧長是無法精確得到的(實(shí)際中采用兩點(diǎn)間的距離來代替的)，所以其誤差仍較大。相比之下，最小二乘法具有較高的精度。在查閱相關(guān)文獻(xiàn)之后，本文采取一種帶1^11^1約束的最小二乘法進(jìn)行導(dǎo)納圓的擬合設(shè)計(jì)算出的電導(dǎo)和電納值的離散點(diǎn)為：(x,y)i=1,2,...,Nii要得到的圓心坐標(biāo)記為:…)半徑為r。則P(x,y)

0 0 0x,,y)1x,,y)1i=1,2,...,